Une équation de $(S)$ est $(x-1)^2+(y-0)^2+(z-1)^2=3^2$, soit $x^2-2x+1+y^2+z^2-2z+1-9=0$, c’est-à-dire $x^2+y^2+z^2-2x-2z-7=0.$ Pour $A(2,2,-1)$ : $4+4+1-4+2-7=0$. Donc $A\in(S)$.

$d\big(\Omega,(P)\big)=\frac{|2\times1+0+2\times1-13|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3.$ $d(\Omega,(P))=3=R$, donc le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$.

$\vec{u}(2,1,2)$ est un vecteur normal à $(P)$ ; comme $(D)\perp(P)$, $\vec{u}$ dirige $(D)$.

$\overrightarrow{\Omega A}(1,2,-2)$ et $\vec{u}(2,1,2)$ : $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}=\begin{vmatrix}2&1\\-2&2\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}1&2\\-2&2\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}\vec{k}=(4+2)\vec{i}-(2+4)\vec{j}+(1-4)\vec{k}.$ Donc $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}$ a pour coordonnées $(6,-6,-3)$.

$\left\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}\right\|=\sqrt{36+36+9}=9$ et $\|\vec{u}\|=\sqrt{4+1+4}=3$, donc $d\big(\Omega,(D)\big)=\frac{\left\|\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec{u}\right\|}{\|\vec{u}\|}=\frac{9}{3}=3=R.$ La distance du centre à la droite est égale au rayon : $(D)$ est tangente à $(S)$. Comme $A\in(D)$ et $A\in(S)$, le point de contact est $A$.

$\Delta=36-100=-64=(8i)^2$. Les solutions sont $z_1=\dfrac{6-8i}{2}=3-4i$ et $z_2=\dfrac{6+8i}{2}=3+4i$. $S=\{3-4i\,;\,3+4i\}$.

$\frac{d-c}{a-c}=\frac{3+3i}{1+i}=\frac{3(1+i)}{1+i}=3.$ Ce quotient est réel, donc $\overrightarrow{CD}=3\,\overrightarrow{CA}$ : les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

$h(A)=P\iff p-b=\dfrac32(a-b)$. Or $a-b=8i$, donc $p=b+\dfrac32\times8i=3-4i+12i=3+8i$.

$\frac{d-p}{a-p}=\frac{2-2i}{-4i}=\frac{(2-2i)\,i}{-4i^2}=\frac{2+2i}{4}=\frac12+\frac12i=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$ Donc $\left(\widehat{\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PD}}\right)\equiv\arg\dfrac{d-p}{a-p}\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$ et $\dfrac{PD}{PA}=\left|\dfrac{d-p}{a-p}\right|=\dfrac{\sqrt2}{2}$, d’où $PA=\dfrac{2}{\sqrt2}PD=\sqrt2\,PD$.

On peut tirer $0$, $1$ ou $2$ boules blanches ; il en reste alors $2$, $1$ ou $0$. Donc $X(\Omega)=\{0,1,2\}$.

$\operatorname{card}\Omega=A_9^2=9\times8=72$.

$(X=0)$ : les deux boules tirées sont blanches : $A_2^2=2$ cas, $p(X=0)=\dfrac{2}{72}=\dfrac{1}{36}$.

$(X=1)$ : une blanche et une noire, dans l’ordre $BN$ ou $NB$ : $2\times(2\times7)=28$ cas, $p(X=1)=\dfrac{28}{72}=\dfrac{7}{18}$.

$(X=2)$ : deux noires : $A_7^2=42$ cas, $p(X=2)=\dfrac{42}{72}=\dfrac{7}{12}$ (on vérifie $\frac{2+28+42}{72}=1$).

$E(X)=0\times\frac{1}{36}+1\times\frac{7}{18}+2\times\frac{7}{12}=\frac{7}{18}+\frac{21}{18}=\frac{28}{18}=\frac{14}{9}.$

$1-u_{n+1}=\frac{7-2u_n-1-4u_n}{7-2u_n}=\frac{6-6u_n}{7-2u_n}=\frac{6(1-u_n)}{5+2(1-u_n)}\quad(\text{car }7-2u_n=5+2-2u_n).$

Récurrence. Pour $n=0$ : $1-u_0=1>0$. Supposons $1-u_n>0$. Alors $6(1-u_n)>0$ et $5+2(1-u_n)>0$, donc $1-u_{n+1}>0$.

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $1-u_n>0$.

$v_n$ est défini car $u_n\neq1$. On a : $2u_{n+1}-1=\frac{2+8u_n-7+2u_n}{7-2u_n}=\frac{5(2u_n-1)}{7-2u_n}\quad\text{et}\quad u_{n+1}-1=\frac{6(u_n-1)}{7-2u_n}.$ Donc $v_{n+1}=\dfrac{5(2u_n-1)}{6(u_n-1)}=\dfrac56\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac56$, de premier terme $v_0=\dfrac{-1}{-1}=1$. $v_n=\left(\frac56\right)^n\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.$

$v_n(u_n-1)=2u_n-1\iff u_n(v_n-2)=v_n-1\iff u_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}$ (car $v_n\leqslant1<2$). Donc $u_n=\dfrac{\left(\frac56\right)^n-1}{\left(\frac56\right)^n-2}$. Comme $0<\dfrac56<1$, $\left(\dfrac56\right)^n\to0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12$.

La fonction est de la forme $u'u^{2009}$ avec $u(x)=x^2-1$. Ses primitives sur $\mathbb{R}$ sont $x\mapsto\frac{\left(x^2-1\right)^{2010}}{2010}+k\qquad(k\in\mathbb{R}).$ $\int_1^{\sqrt2}2x\left(x^2-1\right)^{2009}dx=\left[\frac{\left(x^2-1\right)^{2010}}{2010}\right]_1^{\sqrt2}=\frac{1^{2010}}{2010}-0=\frac{1}{2010}.$

On pose $u(x)=\ln(x+1)$, $v'(x)=2x+1$ ; alors $u'(x)=\dfrac{1}{x+1}$ et on choisit $v(x)=x^2+x=x(x+1)$. $\int_0^2(2x+1)\ln(x+1)\,dx=\Big[(x^2+x)\ln(x+1)\Big]_0^2-\int_0^2\frac{x(x+1)}{x+1}dx=6\ln3-\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=6\ln3-2.$

On multiplie numérateur et dénominateur par $e^{-2x}\neq0$ : $\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\dfrac{e^{-2x}\left(e^{2x}-1\right)}{e^{-2x}\left(e^{2x}+1\right)}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$.

$D_f=\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, et pour tout réel $x$, avec 1.a : $f(-x)=-x\,\frac{e^{-2x}-1}{e^{-2x}+1}=x\,\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=f(x).$ Donc $f$ est paire. Ensuite : $f(x)-x=x\left(\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}-1\right)=x\cdot\frac{1-e^{-2x}-1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=\frac{-2xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$

$\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-2x}=0$, donc $\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\to1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

En posant $t=2x$ : $2xe^{-2x}=te^{-t}\to0$ quand $t\to+\infty$ ; et $1+e^{-2x}\to1$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}=0$.

Ainsi $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0$ : la droite $(D):y=x$ est asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

Pour $x\geqslant0$ : $-2xe^{-2x}\leqslant0$ et $1+e^{-2x}>0$, donc $f(x)-x\leqslant0$. La courbe $(C)$ est au-dessous de $(D)$ sur $[0,+\infty[$ (elles se coupent en $O$).

$f(x)=x\cdot q(x)$ avec $q(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$, $q'(x)=\dfrac{2e^{2x}\left(e^{2x}+1\right)-2e^{2x}\left(e^{2x}-1\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^2}=\dfrac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}$. $f'(x)=q(x)+xq'(x)=\frac{\left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)+4xe^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}=\frac{e^{4x}-1+4xe^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}.$ $f'(0)=\dfrac{1-1+0}{4}=0$.

Pour $x\geqslant0$ : $4x\geqslant0$ donc $e^{4x}\geqslant e^0=1$, soit $e^{4x}-1\geqslant0$. De plus $4xe^{2x}\geqslant0$. La somme de deux nombres positifs est positive : $e^{4x}-1+4xe^{2x}\geqslant0$ sur $[0,+\infty[$.

D’après 3.b, $f'(x)\geqslant0$ sur $[0,+\infty[$ (nul seulement en $0$) : $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$, avec $f(0)=0$.

On trace la partie sur $[0,+\infty[$ (tangente horizontale en $O$, au-dessous de $y=x$, asymptote $y=x$), puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ($f$ paire) : en $-\infty$, l’asymptote est la droite $y=-x$.