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Chapitre 8 — Trigonométrie

Semestre 1

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Plan du chapitre. I. Rappels (valeurs usuelles, identités fondamentales, angles associés) — II. Formules d’addition et de duplication — III. Tangente et formules de linéarisation — IV. Des produits aux sommes, et réciproquement — V. Transformation de $a\cos x+b\sin x$ — VI. Équations et inéquations trigonométriques — Résumé.

Cadre. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ ; $(\mathcal C)$ désigne le cercle trigonométrique de centre $O$ , $I(1;0)$ et $J(0;1)$ . Les lettres $x$ , $y$ , $a$ , $b$ , $p$ , $q$ désignent des réels et $k$ un entier relatif. Une égalité contenant $\tan$ n’est écrite que lorsque toutes les expressions sont définies. Le symbole $\iff$ n’est employé que si chaque étape est réversible.

I. Rappels

1. Valeurs usuelles et identités fondamentales

$x$	$0$	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}2$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac{\sqrt3}2$	$1$
$\tan x$	$0$	$\frac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$	non défini

Propriété — identités fondamentales, parité

Pour tout $x\in\R$ : $\cos^2x+\sin^2x=1$ ; $\ -1\le\cos x\le1$ et $-1\le\sin x\le1$ ; $\cos(x+2k\pi)=\cos x$ , $\sin(x+2k\pi)=\sin x$ .
Pour tout $x\in\R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ : $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ et $1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$ ; $\tan(x+k\pi)=\tan x$ .
$\cos$ est paire, $\sin$ et $\tan$ sont impaires : $\cos(-x)=\cos x$ , $\sin(-x)=-\sin x$ , $\tan(-x)=-\tan x$ .
Signes sur $]-\pi;\pi]$ : $\sin x\ge0\iff x\in[0;\pi]$ ; $\cos x\ge0\iff x\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]$ .

2. Angles associés

	$-x$	$\pi-x$	$\pi+x$	$\frac\pi2-x$	$\frac\pi2+x$
$\cos$	$\cos x$	$-\cos x$	$-\cos x$	$\sin x$	$-\sin x$
$\sin$	$-\sin x$	$\sin x$	$-\sin x$	$\cos x$	$\cos x$
$\tan$	$-\tan x$	$-\tan x$	$\tan x$	$\frac1{\tan x}$	$-\frac1{\tan x}$

3. Exercices de révision

Exercice d’application de révision 1

Donner $\cos\frac\pi3$ , $\sin\frac\pi3$ , $\tan\frac\pi4$ , $\sin\frac\pi6$ , $\tan\frac\pi6$ , $\cos\pi$ , $\sin\frac{3\pi}2$ .
Calculer $\cos\frac{3\pi}4$ , $\sin\frac{5\pi}6$ , $\cos\left(-\frac{5\pi}6\right)$ , $\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)$ , $\tan\frac{5\pi}4$ , $\tan\left(-\frac{2\pi}3\right)$ .

Voir la solution

$\frac12$ ; $\frac{\sqrt3}2$ ; $1$ ; $\frac12$ ; $\frac{\sqrt3}3$ ; $-1$ ; $-1$ .
$\cos\frac{3\pi}4=\cos\left(\pi-\frac\pi4\right)=-\frac{\sqrt2}2$ ; $\sin\frac{5\pi}6=\sin\frac\pi6=\frac12$ ; $\cos\left(-\frac{5\pi}6\right)=\cos\frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt3}2$ ; $\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)=-\sin\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}2$ ; $\tan\frac{5\pi}4=\tan\frac\pi4=1$ ; $\tan\left(-\frac{2\pi}3\right)=\tan\left(-\frac{2\pi}3+\pi\right)=\tan\frac\pi3=\sqrt3$ .

Exercice d’application de révision 2

Déterminer l’abscisse curviligne principale (dans $]-\pi;\pi]$ ) de chacun des points $A\left(-\frac{125\pi}6\right)$ et $B\left(\frac{47\pi}4\right)$ du cercle $(\mathcal C)$ .
En déduire la mesure principale des angles orientés $\ang{\V{OI}}{\V{OA}}$ et $\ang{\V{OI}}{\V{OB}}$ .

Voir la solution

$-\frac{125\pi}6=-\frac{5\pi}6-20\pi=-\frac{5\pi}6+2\times(-10)\pi$ : abscisse principale $-\frac{5\pi}6$ . $\ \frac{47\pi}4=-\frac\pi4+12\pi$ : abscisse principale $-\frac\pi4$ .
$\ang{\V{OI}}{\V{OA}}\equiv-\frac{5\pi}6\ [2\pi]$ et $\ang{\V{OI}}{\V{OB}}\equiv-\frac\pi4\ [2\pi]$ : ce sont les mesures principales.

Exercice d’application de révision 3

Calculer $\cos x$ sachant que $\sin x=-\frac13$ et $x\in\left]-\frac\pi2;0\right[$ .
Calculer $\sin y$ et $\tan y$ sachant que $\cos y=-\frac14$ et $y\in\left]\frac\pi2;\pi\right[$ .
Soit $\alpha\in\left]\pi;\frac{3\pi}2\right[$ tel que $\tan\alpha=2$ . Calculer $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ .

Voir la solution

$\cos^2x=1-\frac19=\frac89$ et $\cos x>0$ sur $\left]-\frac\pi2;0\right[$ : $\cos x=\frac{2\sqrt2}3$ .
$\sin^2y=1-\frac1{16}=\frac{15}{16}$ et $\sin y>0$ sur $\left]\frac\pi2;\pi\right[$ : $\sin y=\frac{\sqrt{15}}4$ , puis $\tan y=-\sqrt{15}$ .
$\frac1{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=5$ et $\cos\alpha<0$ sur $\left]\pi;\frac{3\pi}2\right[$ : $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}5$ , puis $\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha=-\frac{2\sqrt5}5$ .

Exercice d’application de révision 4

Pour $x\in\R$ , écrire en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ : $A=3\cos(x+5\pi)-2\cos(7\pi-x)+\sin\left(\tfrac{3\pi}2-x\right),\quad B=\sin\left(\tfrac\pi2+x\right)\sin(41\pi-x)+\cos\left(\tfrac\pi2+x\right)\cos(17\pi+x),$ $C=\sin^2(x+13\pi)+\cos^2(21\pi-x)+\sin^2\left(x-\tfrac{7\pi}2\right).$

Voir la solution

$\cos(x+5\pi)=\cos(x+\pi)=-\cos x$ ; $\cos(7\pi-x)=\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin\left(\frac{3\pi}2-x\right)=-\cos x$ . Donc $A=-3\cos x+2\cos x-\cos x=-2\cos x$ .

$\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos x$ ; $\sin(41\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x$ ; $\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin x$ ; $\cos(17\pi+x)=-\cos x$ . Donc $B=2\sin x\cos x$ .

$\sin^2(x+13\pi)=\sin^2x$ ; $\cos^2(21\pi-x)=\cos^2x$ ; $\sin\left(x-\frac{7\pi}2\right)=\sin\left(x+\frac\pi2-4\pi\right)=\cos x$ . Donc $C=1+\cos^2x$ .

Exercice d’application de révision 5

On pose $A=\cos^2\frac\pi8+\cos^2\frac{3\pi}8+\cos^2\frac{5\pi}8+\cos^2\frac{7\pi}8$ et $B=\displaystyle\sum_{k=1}^{8}\sin^2\frac{k\pi}{18}$ .

Montrer que $A=2$ (on pourra remarquer que $\frac{7\pi}8=\pi-\frac\pi8$ , $\frac{5\pi}8=\pi-\frac{3\pi}8$ et $\frac{3\pi}8=\frac\pi2-\frac\pi8$ ).
Montrer que $B=4$ .

Voir la solution

$\cos^2\frac{7\pi}8=\cos^2\frac\pi8$ , $\cos^2\frac{5\pi}8=\cos^2\frac{3\pi}8=\sin^2\frac\pi8$ . Donc $A=2\left(\cos^2\frac\pi8+\sin^2\frac\pi8\right)=2$ .
Pour $k\in\{1;\ldots;4\}$ , $\frac{(9-k)\pi}{18}=\frac\pi2-\frac{k\pi}{18}$ , donc $\sin^2\frac{(9-k)\pi}{18}=\cos^2\frac{k\pi}{18}$ . En regroupant les termes d’indices $k$ et $9-k$ : $B=\sum_{k=1}^4\left(\sin^2\frac{k\pi}{18}+\cos^2\frac{k\pi}{18}\right)=4$ .

II. Formules d’addition et de duplication

1. Activité

Activité 1

Montrer que les propositions « $(\forall(x;y)\in\R^2)\ \cos(x+y)=\cos x+\cos y$ » et « $(\forall(x;y)\in\R^2)\ \sin(x+y)=\sin x+\sin y$ » sont fausses.
Soient $a$ , $b$ deux réels et $A$ , $B$ les points de $(\mathcal C)$ tels que $\ang{\vec\imath}{\V{OA}}\equiv a\ [2\pi]$ et $\ang{\vec\imath}{\V{OB}}\equiv b\ [2\pi]$ . a. Montrer que $\ang{\V{OB}}{\V{OA}}\equiv a-b\ [2\pi]$ , puis que $\V{OB}\cdot\V{OA}=\cos(a-b)$ . b. Vérifier que $\V{OA}=\cos a\,\vec\imath+\sin a\,\vec\jmath$ et $\V{OB}=\cos b\,\vec\imath+\sin b\,\vec\jmath$ . c. En déduire que $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ , puis l’expression de $\cos(a+b)$ (avec $a+b=a-(-b)$ ). d. En utilisant $\sin x=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$ , en déduire $\sin(a-b)$ et $\sin(a+b)$ . e. En déduire $\cos2a$ et $\sin2a$ .

Voir la solution

Pour $x=y=\frac\pi2$ : $\cos\pi=-1\neq0=\cos\frac\pi2+\cos\frac\pi2$ et $\sin\pi=0\neq2$ .
a. Chasles : $\ang{\V{OB}}{\V{OA}}\equiv\ang{\V{OB}}{\vec\imath}+\ang{\vec\imath}{\V{OA}}\equiv-b+a\ [2\pi]$ . Comme $OA=OB=1$ : $\V{OB}\cdot\V{OA}=1\times1\times\cos(a-b)$ . b. Ce sont les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique d’abscisse curviligne $a$ (resp. $b$ ). c. Dans la base orthonormée : $\V{OB}\cdot\V{OA}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . Puis $\cos(a+b)=\cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ . d. $\sin(a-b)=\cos\left(\left(\frac\pi2-a\right)+b\right)=\cos\left(\frac\pi2-a\right)\cos b-\sin\left(\frac\pi2-a\right)\sin b=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ , puis $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (remplacer $b$ par $-b$ ). e. Avec $b=a$ : $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a$ et $\sin2a=2\sin a\cos a$ .

2. Formules

Propriété 1 : formules d’addition et de duplication

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ ;
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ;
$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ ;
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ ;
$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ ;
$\sin2a=2\sin a\cos a$ .

Exemple 1

a. Vérifier que $\frac{7\pi}{12}=\frac\pi3+\frac\pi4$ et $\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4$ . b. Calculer $\cos\frac{7\pi}{12}$ , $\sin\frac{7\pi}{12}$ , $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$ .
a. En remarquant que $\frac{3\pi}4=2\times\frac{3\pi}8$ , montrer que $\cos\frac{3\pi}4=2\cos^2\frac{3\pi}8-1$ . b. En déduire que $\cos\frac{3\pi}8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$ . c. Montrer de deux manières que $\sin\frac{3\pi}8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ . d. Vérifier que $\sin\frac{3\pi}4=2\sin\frac{3\pi}8\cos\frac{3\pi}8$ .

Voir la solution

a. $\frac\pi3+\frac\pi4=\frac{4\pi+3\pi}{12}=\frac{7\pi}{12}$ et $\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$ . b. $\cos\frac{7\pi}{12}=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2-\sqrt6}4$ ; $\sin\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$ ; $\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}4$ ; $\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ .
a. Formule 5 avec $a=\frac{3\pi}8$ . b. $2\cos^2\frac{3\pi}8=1-\frac{\sqrt2}2$ , donc $\cos^2\frac{3\pi}8=\frac{2-\sqrt2}4$ ; or $\frac{3\pi}8\in\left]0;\frac\pi2\right[$ , donc $\cos\frac{3\pi}8>0$ et $\cos\frac{3\pi}8=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$ . c. Méthode 1 : $\sin^2\frac{3\pi}8=1-\frac{2-\sqrt2}4=\frac{2+\sqrt2}4$ et $\sin\frac{3\pi}8>0$ . Méthode 2 : $\cos\frac{3\pi}4=1-2\sin^2\frac{3\pi}8$ donne $\sin^2\frac{3\pi}8=\frac{1+\frac{\sqrt2}2}2=\frac{2+\sqrt2}4$ . d. $2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2=\frac{\sqrt{4-2}}2=\frac{\sqrt2}2=\sin\frac{3\pi}4$ .

Application 1

Soient $a\in\left]0;\frac\pi2\right[$ et $b\in\left]\frac\pi2;\pi\right[$ tels que $\cos a=\frac35$ et $\sin b=\frac5{13}$ . Calculer $\sin a$ , $\cos b$ , puis $\cos(a+b)$ , $\sin(a-b)$ , $\sin2a$ et $\cos2b$ .

Voir la solution

$\sin a=\frac45$ ( $\sin a>0$ ) et $\cos b=-\frac{12}{13}$ ( $\cos b<0$ ). Puis $\cos(a+b)=\frac35\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)-\frac45\cdot\frac5{13}=-\frac{56}{65}$ ; $\sin(a-b)=\frac45\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)-\frac35\cdot\frac5{13}=-\frac{63}{65}$ ; $\sin2a=2\cdot\frac45\cdot\frac35=\frac{24}{25}$ ; $\cos2b=1-2\cdot\frac{25}{169}=\frac{119}{169}$ .

III. Tangente et formules de linéarisation

1. Activité

Activité 2

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Montrer que $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}2$ et $\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}2$ .
On suppose que $a$ , $b$ , $a+b$ et $a-b$ n’appartiennent pas à $\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ . a. En divisant numérateur et dénominateur de $\dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}$ par $\cos a\cos b$ , montrer que $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ . b. En déduire $\tan(a-b)$ , puis $\tan2a$ lorsque de plus $2a\notin\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ .

Voir la solution

De $\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$ .
a. $\cos a\cos b\neq0$ et $\tan(a+b)=\dfrac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ (le dénominateur vaut $\frac{\cos(a+b)}{\cos a\cos b}\neq0$ ). b. En remplaçant $b$ par $-b$ ( $\tan$ est impaire) : $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ ; avec $b=a$ : $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ .

2. Formules

Propriété 2

Pour tout réel $a$ : $\quad$ 7. $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}2$ $\quad$ 8. $\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}2$ .

Si $a$ , $b$ , $a+b$ , $a-b$ ne sont pas de la forme $\frac\pi2+k\pi$ ( $k\in\Z$ ) :

$\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ ; $\quad$ 10. $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ .

Si $a$ et $2a$ ne sont pas de la forme $\frac\pi2+k\pi$ : $\quad$ 11. $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ .

Exemple 2

Calculer $\tan\frac{7\pi}{12}$ , puis $\tan\frac{3\pi}8$ (on posera $t=\tan\frac{3\pi}8$ et on utilisera $\tan\frac{3\pi}4$ ).
a. Montrer que, pour tout réel $x$ : $\cos^2\frac x2=\dfrac{1+\cos x}2$ et $\sin^2\frac x2=\dfrac{1-\cos x}2$ . b. Montrer de deux manières que, pour tout réel $x$ : $(1-\cos x)(1+\cos x)=4\sin^2\frac x2\cos^2\frac x2$ .

Voir la solution

$\tan\frac{7\pi}{12}=\tan\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{1-3}=-(2+\sqrt3)$ . Ensuite $\frac{3\pi}4\neq\frac\pi2+k\pi$ et $\tan\frac{3\pi}4=-1=\dfrac{2t}{1-t^2}$ , d’où $t^2-2t-1=0$ et $t\in\{1-\sqrt2;1+\sqrt2\}$ ; comme $\frac{3\pi}8\in\left]0;\frac\pi2\right[$ , $t>0$ : $\tan\frac{3\pi}8=1+\sqrt2$ .
a. Formules 7 et 8 avec $a=\frac x2$ . b. Méthode 1 : $(1-\cos x)(1+\cos x)=2\sin^2\frac x2\times2\cos^2\frac x2$ d’après a. Méthode 2 : $(1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2x=\left(2\sin\frac x2\cos\frac x2\right)^2$ .

Application 2 : linéarisation

Montrer que, pour tout réel $x$ : $\cos^4x=\dfrac{3+4\cos2x+\cos4x}8$ .

Voir la solution

$\cos^4x=\left(\dfrac{1+\cos2x}2\right)^2=\dfrac{1+2\cos2x+\cos^22x}4=\dfrac{1+2\cos2x+\frac{1+\cos4x}2}4=\dfrac{3+4\cos2x+\cos4x}8$ .

IV. Des produits aux sommes, et réciproquement

1. Activité

Activité 3

Soient $a$ et $b$ deux réels.

En ajoutant ou en soustrayant les formules d’addition, montrer que $\cos a\cos b=\frac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)$ , $\sin a\sin b=-\frac12\big(\cos(a+b)-\cos(a-b)\big)$ et $\sin a\cos b=\frac12\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big)$ .
On pose $p=a+b$ et $q=a-b$ . Vérifier que $a=\frac{p+q}2$ et $b=\frac{p-q}2$ , puis en déduire les quatre formules de transformation d’une somme en produit.

Voir la solution

$\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ ; $\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b$ ; $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$ .
$p+q=2a$ et $p-q=2b$ . En reportant dans les égalités de 1 : $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2$ , $\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2$ , $\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2$ ; enfin $\sin p-\sin q=\sin p+\sin(-q)=2\sin\frac{p-q}2\cos\frac{p+q}2$ .

2. Formules

Propriété 3 : produits en sommes (12) et sommes en produits (13)

Pour tous réels $a$ , $b$ , $p$ , $q$ :

Produits $\to$ sommes	Sommes $\to$ produits
$\cos a\cos b=\frac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)$	$\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2$
$\sin a\sin b=-\frac12\big(\cos(a+b)-\cos(a-b)\big)$	$\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2$
$\sin a\cos b=\frac12\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big)$	$\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2$
$\cos a\sin b=\frac12\big(\sin(a+b)-\sin(a-b)\big)$	$\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2$

Exemple 3

Pour $x\in\R$ , transformer en sommes : $A(x)=\cos x\cos3x$ , $\ B(x)=\sin3x\cos5x$ , $\ C(x)=\sin\left(x+\frac\pi6\right)\sin\left(x-\frac\pi6\right)$ , $\ D(x)=\cos\left(x+\frac\pi4\right)\sin\left(x-\frac\pi4\right)$ .
Pour $x\in\R$ , transformer en produits : $E(x)=\cos2x-\cos6x$ , $\ F(x)=\cos x+\cos2x+\cos3x$ , $\ G(x)=1+\cos2x+\cos4x+\cos6x$ .
Montrer, sans calculatrice, que $\cos\frac\pi{12}+\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt2}2$ .

Voir la solution

$A(x)=\frac12(\cos4x+\cos2x)$ ; $B(x)=\frac12(\sin8x-\sin2x)$ ; $C(x)=-\frac12\left(\cos2x-\cos\frac\pi3\right)=\frac14-\frac12\cos2x$ ; $D(x)=\frac12\left(\sin2x-\sin\frac\pi2\right)=\frac12(\sin2x-1)$ .
$E(x)=-2\sin4x\sin(-2x)=2\sin4x\sin2x$ . $\ F(x)=(\cos x+\cos3x)+\cos2x=2\cos2x\cos x+\cos2x=\cos2x\,(2\cos x+1)$ . $\ G(x)=(1+\cos6x)+(\cos2x+\cos4x)=2\cos^23x+2\cos3x\cos x=2\cos3x(\cos3x+\cos x)=4\cos3x\cos2x\cos x$ .
$\cos\frac\pi{12}+\cos\frac{7\pi}{12}=2\cos\frac\pi3\cos\left(-\frac\pi4\right)=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$ .

V. Transformation de $a\cos x+b\sin x$

1. Activité

Activité 4

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $(a;b)\neq(0;0)$ ; on pose $r=\sqrt{a^2+b^2}$ et, pour $x\in\R$ , $A(x)=a\cos x+b\sin x$ .

Vérifier que $A(x)=r\left(\dfrac ar\cos x+\dfrac br\sin x\right)$ et que $\left(\dfrac ar\right)^2+\left(\dfrac br\right)^2=1$ .
En déduire qu’il existe un réel $\alpha$ tel que $\cos\alpha=\dfrac ar$ et $\sin\alpha=\dfrac br$ , puis que $A(x)=r\cos(x-\alpha)$ .

Voir la solution

$r>0$ et $\frac{a^2+b^2}{r^2}=1$ .
Le point $M\left(\frac ar;\frac br\right)$ est sur le cercle trigonométrique : il a une abscisse curviligne $\alpha$ . Alors $A(x)=r(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=r\cos(x-\alpha)$ .

2. Propriété

Propriété 4 (formule 14)

Soient $a$ , $b$ deux réels non tous deux nuls. Il existe un réel $\alpha$ tel que, pour tout $x\in\R$ : $a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\alpha),\qquad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad\cos\alpha=\frac ar,\quad\sin\alpha=\frac br .$

Remarque — conséquences

On peut aussi écrire $a\cos x+b\sin x=r\sin(x+\beta)$ avec $\cos\beta=\frac br$ et $\sin\beta=\frac ar$ .
Pour tout $x\in\R$ : $-r\le a\cos x+b\sin x\le r$ , et les deux bornes sont atteintes (pour $x=\alpha$ et $x=\alpha+\pi$ ).
L’équation $a\cos x+b\sin x=c$ admet des solutions si et seulement si $|c|\le r$ .

Exemple 4

Écrire sous la forme $r\cos(x-\alpha)$ , avec $r>0$ : $A(x)=\sqrt3\cos x+\sin x$ et $B(x)=\cos x-\sin x$ .
Montrer que, pour tout réel $x$ : a. $\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\iff\cos\left(x-\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi4$ ; b. $\cos3x+\sqrt3\sin3x=-1\iff\cos\left(3x-\frac\pi3\right)=\cos\frac{2\pi}3$ .

Voir la solution

$A$ : $r=2$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}2$ , $\sin\alpha=\frac12$ , $\alpha=\frac\pi6$ : $A(x)=2\cos\left(x-\frac\pi6\right)$ . $B$ : $r=\sqrt2$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}2$ , $\sin\alpha=-\frac{\sqrt2}2$ , $\alpha=-\frac\pi4$ : $B(x)=\sqrt2\cos\left(x+\frac\pi4\right)$ .
a. $\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\iff2\cos\left(x-\frac\pi6\right)=\sqrt2\iff\cos\left(x-\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt2}2=\cos\frac\pi4$ . b. $\cos3x+\sqrt3\sin3x=2\cos\left(3x-\frac\pi3\right)$ (même calcul avec $a=1$ , $b=\sqrt3$ , $\alpha=\frac\pi3$ , appliqué à $3x$ ). Donc l’équation équivaut à $\cos\left(3x-\frac\pi3\right)=-\frac12=\cos\frac{2\pi}3$ .

VI. Équations et inéquations trigonométriques

1. Équations de référence

Propriété 5 (formule 15)

Pour tout réel $\alpha$ :

$\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ , $k\in\Z$ ;
$\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ , $k\in\Z$ ;
si $\alpha\notin\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ : $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$ , $k\in\Z$ .

Remarque — cas particuliers

$\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi$ ; $\ \sin x=0\iff x=k\pi$ ; $\ \cos x=1\iff x=2k\pi$ ; $\ \sin x=1\iff x=\frac\pi2+2k\pi$ ( $k\in\Z$ ). Si $|c|>1$ , les équations $\cos x=c$ et $\sin x=c$ n’ont pas de solution.

Exemple 5

Résoudre dans $\R$ :

$(E_1):\cos x=\frac{\sqrt3}2$ ; $\ (E_2):\sin x=\frac{\sqrt2}2$ ; $\ (E_3):\tan x=\sqrt3$ .
$(E_4):\cos x=-\frac{\sqrt2}2$ ; $\ (E_5):\sin x=-\frac{\sqrt3}2$ ; $\ (E_6):\tan x=-\frac{\sqrt3}3$ .

Voir la solution

$S_1=\left\{\pm\frac\pi6+2k\pi\mid k\in\Z\right\}$ ; $S_2=\left\{\frac\pi4+2k\pi;\ \frac{3\pi}4+2k\pi\mid k\in\Z\right\}$ ; $S_3=\left\{\frac\pi3+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ .
$-\frac{\sqrt2}2=\cos\frac{3\pi}4$ : $S_4=\left\{\pm\frac{3\pi}4+2k\pi\mid k\in\Z\right\}$ . $\ -\frac{\sqrt3}2=\sin\left(-\frac\pi3\right)$ : $S_5=\left\{-\frac\pi3+2k\pi;\ \frac{4\pi}3+2k\pi\mid k\in\Z\right\}$ . $\ -\frac{\sqrt3}3=\tan\left(-\frac\pi6\right)$ : $S_6=\left\{-\frac\pi6+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ .

Exemple 6

Résoudre dans $\R$ , puis dans $]-\pi;\pi]$ , l’équation $(E_7):\cos3x=\sin\left(x+\frac\pi6\right)$ .

Voir la solution

$\sin\left(x+\frac\pi6\right)=\cos\left(\frac\pi2-x-\frac\pi6\right)=\cos\left(\frac\pi3-x\right)$ . Donc $(E_7)\iff3x=\frac\pi3-x+2k\pi$ ou $3x=-\frac\pi3+x+2k\pi\iff x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}2$ ou $x=-\frac\pi6+k\pi$ ( $k\in\Z$ ).

Dans $]-\pi;\pi]$ : $-\pi<\frac\pi{12}+\frac{k\pi}2\le\pi\iff-\frac{13}6<k\le\frac{11}6\iff k\in\{-2;-1;0;1\}$ , et $-\pi<-\frac\pi6+k\pi\le\pi\iff k\in\{0;1\}$ . Ensemble des solutions : $\left\{-\frac{11\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};-\frac\pi6;\frac\pi{12};\frac{7\pi}{12};\frac{5\pi}6\right\}$ .

2. Inéquations

Méthode — résoudre une inéquation sur un intervalle (formule 16)

Résoudre l’équation associée et placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants, ainsi que les extrémités de l’intervalle d’étude.
Repérer l’arc (ou les arcs) où l’inégalité est vraie : pour $\cos x\ge c$ , les points d’abscisse $\ge c$ ; pour $\sin x\ge c$ , les points d’ordonnée $\ge c$ ; pour $\tan$ , on lit sur l’axe des tangentes en excluant $\frac\pi2+k\pi$ .
Traduire les arcs en intervalles contenus dans l’intervalle d’étude (attention aux extrémités).

Exemple 7

Résoudre dans $I=]-\pi;\pi]$ :

$(E_8):\cos x\le\frac{\sqrt2}2$ ; $\ (E_9):\sin x>-\frac12$ ; $\ (E_{10}):\tan x<1$ ;
$(E_{11}):(2\cos x-1)(2\sin x+\sqrt3)<0$ ; $\ (E_{12}):-\sqrt3\le\tan x\le\frac{\sqrt3}3$ .

Voir la solution

$(E_8)$ : $S_8=\left]-\pi;-\frac\pi4\right]\cup\left[\frac\pi4;\pi\right]$ . $(E_9)$ : $\sin x=-\frac12$ pour $x\in\left\{-\frac{5\pi}6;-\frac\pi6\right\}$ et $S_9=\left]-\pi;-\frac{5\pi}6\right[\cup\left]-\frac\pi6;\pi\right]$ . $(E_{10})$ : sur chaque intervalle où $\tan$ est définie, $\tan x<1\iff x<\frac\pi4+k\pi$ ; $S_{10}=\left]-\pi;-\frac{3\pi}4\right[\cup\left]-\frac\pi2;\frac\pi4\right[\cup\left]\frac\pi2;\pi\right]$ .
$(E_{11})$ : $2\cos x-1>0\iff x\in\left]-\frac\pi3;\frac\pi3\right[$ et $2\sin x+\sqrt3>0\iff x\in\left]-\pi;-\frac{2\pi}3\right[\cup\left]-\frac\pi3;\pi\right]$ . Tableau de signes sur $I$ (valeurs remarquables $-\frac{2\pi}3$ , $-\frac\pi3$ , $\frac\pi3$ ) :

$x$	$]-\pi;-\frac{2\pi}3[$	$]-\frac{2\pi}3;-\frac\pi3[$	$]-\frac\pi3;\frac\pi3[$	$]\frac\pi3;\pi]$
$2\cos x-1$	$-$	$-$	$+$	$-$
$2\sin x+\sqrt3$	$+$	$-$	$+$	$+$
produit	$-$	$+$	$+$	$-$

$S_{11}=\left]-\pi;-\frac{2\pi}3\right[\cup\left]\frac\pi3;\pi\right]$ . $(E_{12})$ : sur chaque intervalle $\left]-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right[$ , $\tan$ est strictement croissante et $-\sqrt3\le\tan x\le\frac{\sqrt3}3\iff x\in\left[-\frac\pi3+k\pi;\frac\pi6+k\pi\right]$ . Pour $k\in\{-1;0;1\}$ et en se restreignant à $I$ : $S_{12}=\left]-\pi;-\frac{5\pi}6\right]\cup\left[-\frac\pi3;\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{2\pi}3;\pi\right]$ .

Exemple 8

Résoudre dans $\R$ , puis dans $[0;2\pi]$ , l’équation $\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2$ .
Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’inéquation $\sqrt3\cos x+\sin x>\sqrt2$ .

Voir la solution

D’après l’exemple 4 : $\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\iff\cos\left(x-\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi4\iff x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi$ ou $x=-\frac\pi{12}+2k\pi$ ( $k\in\Z$ ). Dans $[0;2\pi]$ : $\left\{\frac{5\pi}{12};\frac{23\pi}{12}\right\}$ .
L’inéquation équivaut à $\cos\left(x-\frac\pi6\right)>\frac{\sqrt2}2$ . Pour $x\in[0;2\pi]$ , on pose $X=x-\frac\pi6\in\left[-\frac\pi6;\frac{11\pi}6\right]$ ; sur cet intervalle, $\cos X>\frac{\sqrt2}2\iff X\in\left[-\frac\pi6;\frac\pi4\right[\cup\left]\frac{7\pi}4;\frac{11\pi}6\right]$ . D’où $S=\left[0;\frac{5\pi}{12}\right[\cup\left]\frac{23\pi}{12};2\pi\right]$ .

Résumé : trigonométrie

N°	Formule
1–2	$\cos(a\mp b)=\cos a\cos b\pm\sin a\sin b$
3–4	$\sin(a\mp b)=\sin a\cos b\mp\cos a\sin b$
5	$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a$ $=2\cos^2a-1$ $=1-2\sin^2a$
6	$\sin2a=2\sin a\cos a$
7–8	$\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2$ , $\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2$
9–10	$\tan(a\mp b)=\frac{\tan a\mp\tan b}{1\pm\tan a\tan b}$
11	$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$
12	$\cos a\cos b=\frac12(\cos(a+b)+\cos(a-b))$ , etc.
13	$\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2$ , etc.
14	$a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\alpha)$ , $r=\sqrt{a^2+b^2}$
15	$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi$
15	$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$
15	$\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $\pi-\alpha+2k\pi$
16	inéquation : cercle trigonométrique, arcs, intervalle

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Formules : addition et duplication (1 à 6), linéarisation (7, 8), tangente (9 à 11), produits $\leftrightarrow$ sommes (12, 13), $a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\alpha)$ (14).
Équations : se ramener à $\cos X=\cos\alpha$ , $\sin X=\sin\alpha$ ou $\tan X=\tan\alpha$ (15), ou à un produit nul ; inéquations : cercle trigonométrique ou tableau de signes (16).
Pour les solutions dans un intervalle, on encadre l’entier $k$ .
Tous les calculs (identités, solutions, signes) ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot4.py).

Cadre. Dans toute la série, $x$ , $y$ , $a$ , $b$ désignent des réels et $k$ un entier relatif ; une égalité contenant $\tan$ n’est à établir que lorsque toutes les expressions sont définies. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole $\iff$ n’est employé que si chaque étape est réversible. Les inéquations se résolvent à l’aide du cercle trigonométrique. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Formules d’addition — calcul d’un angle Facile ★★☆☆☆

Soit $x\in\R$ . Montrer de deux façons (formules d’addition, puis transformation d’une somme en produit) que : a. $\cos x+\cos\left(x+\frac{2\pi}3\right)+\cos\left(x+\frac{4\pi}3\right)=0$ ; b. $\sin x+\sin\left(x+\frac{2\pi}3\right)+\sin\left(x+\frac{4\pi}3\right)=0$ .
On considère deux réels $a$ et $b$ de $\left]0;\frac\pi2\right[$ tels que $\tan a=\frac12$ et $\tan b=\frac13$ . a. Calculer $\cos a$ , $\sin a$ , $\cos b$ et $\sin b$ . b. Calculer $\sin(a+b)$ et $\cos(a+b)$ , puis en déduire la valeur de $a+b$ .

Voir la solution

1. a. Méthode 1 : $\cos\left(x+\frac{2\pi}3\right)=-\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}2\sin x$ et $\cos\left(x+\frac{4\pi}3\right)=-\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}2\sin x$ ; la somme des trois termes vaut $\cos x-\cos x=0$ . Méthode 2 : $\cos\left(x+\frac{2\pi}3\right)+\cos\left(x+\frac{4\pi}3\right)=2\cos(x+\pi)\cos\left(-\frac\pi3\right)=-\cos x$ .

1. b. Méthode 1 : $\sin\left(x+\frac{2\pi}3\right)=-\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}2\cos x$ et $\sin\left(x+\frac{4\pi}3\right)=-\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}2\cos x$ : la somme vaut $0$ . Méthode 2 : $\sin\left(x+\frac{2\pi}3\right)+\sin\left(x+\frac{4\pi}3\right)=2\sin(x+\pi)\cos\frac\pi3=-\sin x$ .

2. a. $\frac1{\cos^2a}=1+\tan^2a=\frac54$ et $\cos a>0$ : $\cos a=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5$ , puis $\sin a=\tan a\cos a=\frac{\sqrt5}5$ . De même $\frac1{\cos^2b}=\frac{10}9$ : $\cos b=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ et $\sin b=\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

2. b. $\sin(a+b)=\frac{1\times3+2\times1}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac5{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$ et $\cos(a+b)=\frac{2\times3-1\times1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}2$ . Donc $a+b\equiv\frac\pi4\ [2\pi]$ ; or $a+b\in]0;\pi[$ , d’où $a+b=\frac\pi4$ .

Exercice 2 — Identités avec la tangente Facile ★★☆☆☆

On considère un réel $x$ tel que $x\notin\left\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\Z\right\}$ et $x\notin\left\{\frac\pi4+\frac{k\pi}2\mid k\in\Z\right\}$ . Montrer que $\tan\left(\frac\pi4+x\right)-\tan\left(\frac\pi4-x\right)=2\tan2x$ .
On considère un réel $x$ tel que $x\notin\{k\pi\mid k\in\Z\}$ . Montrer que $\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac1{\tan\frac x2}$ .

Voir la solution

1. On pose $t=\tan x$ ; les hypothèses donnent $t^2\neq1$ . $\tan\left(\frac\pi4+x\right)=\frac{1+t}{1-t}$ et $\tan\left(\frac\pi4-x\right)=\frac{1-t}{1+t}$ , donc $\tan\left(\tfrac\pi4+x\right)-\tan\left(\tfrac\pi4-x\right)=\frac{(1+t)^2-(1-t)^2}{1-t^2}=\frac{4t}{1-t^2}=2\times\frac{2t}{1-t^2}=2\tan2x .$

2. $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2\neq0$ , donc $\sin\frac x2\neq0$ et $\cos\frac x2\neq0$ . Avec $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ : $\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac{2\cos^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}=\dfrac{\cos\frac x2}{\sin\frac x2}=\dfrac1{\tan\frac x2}$ .

Exercice 3 — Produits et sommes Facile ★★☆☆☆

Pour $x\in\R$ , transformer en sommes :
$A(x)=\sin3x\cos x$ ; $\quad B(x)=\cos4x\cos2x$ ;
$C(x)=\sin\left(x+\frac\pi4\right)\sin\left(x-\frac\pi4\right)$ ;
$D(x)=\cos\left(2x-\frac\pi6\right)\sin\left(x+\frac\pi3\right)$ .
Pour $x\in\R$ , transformer en produits : $E(x)=\sin5x-\sin3x$ et $F(x)=\sin x+\sin3x+\sin5x+\sin7x$ .
Montrer, sans calculatrice, que $\cos\frac\pi{12}-\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt2}2$ et $\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac\pi{12}=\frac{2+\sqrt3}4$ .

Voir la solution

1. $A(x)=\frac12(\sin4x+\sin2x)$ ; $\ B(x)=\frac12(\cos6x+\cos2x)$ ; $\ C(x)=-\frac12\left(\cos2x-\cos\frac\pi2\right)=-\frac12\cos2x$ ; $\ D(x)=\frac12\left(\sin\left(3x+\frac\pi6\right)-\sin\left(x-\frac\pi2\right)\right)=\frac12\left(\sin\left(3x+\frac\pi6\right)+\cos x\right)$ .

2. $E(x)=2\cos4x\sin x$ . $\ F(x)=(\sin x+\sin7x)+(\sin3x+\sin5x)=2\sin4x\cos3x+2\sin4x\cos x=2\sin4x(\cos3x+\cos x)=4\sin4x\cos2x\cos x$ .

3. $\cos\frac\pi{12}-\cos\frac{5\pi}{12}=-2\sin\frac\pi4\sin\left(-\frac\pi6\right)=2\times\frac{\sqrt2}2\times\frac12=\frac{\sqrt2}2$ . $\ \sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac\pi{12}=\frac12\left(\sin\frac\pi2+\sin\frac\pi3\right)=\frac12\left(1+\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{2+\sqrt3}4$ .

Exercice 4 — Linéarisation et équation Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $A$ définie sur $\R$ par $A(x)=\cos^2\left(x+\frac\pi{12}\right)-\sin^2\left(x-\frac\pi{12}\right)$ .

Calculer $A\left(\frac\pi{12}\right)$ et $A\left(\frac\pi4\right)$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $2\cos^2\left(x+\frac\pi{12}\right)=1+\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x$ et $2\sin^2\left(x-\frac\pi{12}\right)=1-\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x$ .
En déduire que, pour tout $x\in\R$ , $A(x)=\frac{\sqrt3}2\cos2x$ .
Résoudre dans $\R$ l’équation $A(x)=\frac34$ .

Voir la solution

1. $A\left(\frac\pi{12}\right)=\cos^2\frac\pi6-\sin^20=\frac34$ ; $\ A\left(\frac\pi4\right)=\cos^2\frac\pi3-\sin^2\frac\pi6=\frac14-\frac14=0$ .

2. $2\cos^2\left(x+\frac\pi{12}\right)=1+\cos\left(2x+\frac\pi6\right)=1+\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x$ ; $\ 2\sin^2\left(x-\frac\pi{12}\right)=1-\cos\left(2x-\frac\pi6\right)=1-\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x$ .

3. Par différence : $2A(x)=\sqrt3\cos2x$ , donc $A(x)=\frac{\sqrt3}2\cos2x$ . (Contrôle : $A\left(\frac\pi{12}\right)=\frac{\sqrt3}2\cos\frac\pi6=\frac34$ .)

4. $A(x)=\frac34\iff\cos2x=\frac{\sqrt3}2\iff2x=\pm\frac\pi6+2k\pi\iff x=\pm\frac\pi{12}+k\pi$ ( $k\in\Z$ ).

Exercice 5 — Identités trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Soient $x$ et $y$ deux réels. Montrer les identités suivantes (lorsque toutes les expressions sont définies) :

$\cos3x=\cos x\,(2\cos2x-1)$ et $\sin3x=\sin x\,(2\cos2x+1)$ ;
$\dfrac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)}=\dfrac{1-\tan x\tan y}{1+\tan x\tan y}$ ;
$\tan x+\tan y=\dfrac{2\sin(x+y)}{\cos(x+y)+\cos(x-y)}$ ;
$\dfrac{\cos(x+y)\cos(x-y)}{\cos^2x\cos^2y}=1-\tan^2x\tan^2y$ .

Voir la solution

1. $\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=\cos2x\cos x-2\sin^2x\cos x=\cos x\big(\cos2x-(1-\cos2x)\big)=\cos x(2\cos2x-1)$ . $\ \sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=\sin x\left(2\cos^2x+\cos2x\right)=\sin x(2\cos2x+1)$ .

2. On divise numérateur et dénominateur par $\cos x\cos y\neq0$ : $\dfrac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}=\dfrac{1-\tan x\tan y}{1+\tan x\tan y}$ .

3. $\tan x+\tan y=\dfrac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y}=\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}$ et $\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cos y$ , d’où l’égalité.

4. $\cos(x+y)\cos(x-y)=(\cos x\cos y)^2-(\sin x\sin y)^2$ (produit d’une somme et d’une différence). En divisant par $\cos^2x\cos^2y$ : $1-\tan^2x\tan^2y$ .

Exercice 6 — Trigonométrie dans un triangle Moyen ★★★☆☆

On considère un réel $\alpha\in\left]0;\frac\pi6\right[$ et un triangle $ABC$ tel que $\widehat{BAC}=\alpha$ et $\widehat{ABC}=3\alpha$ . On note $D$ le pied de la hauteur issue de $C$ et $h=CD$ .

Justifier que $D\in[AB]$ , puis que $0<\tan\alpha<\frac{\sqrt3}3$ .
Montrer que $\dfrac1{\tan\alpha}+\dfrac1{\tan3\alpha}=\dfrac{AB}h$ .
En déduire que $h=AB\times\dfrac{\tan\alpha\left(3-\tan^2\alpha\right)}{4\left(1-\tan^2\alpha\right)}$ .

Voir la solution

1. Les angles $\widehat{BAC}=\alpha$ et $\widehat{ABC}=3\alpha$ sont aigus ( $3\alpha<\frac\pi2$ ) ; le pied $D$ de la hauteur issue de $C$ est donc sur le segment $]AB[$ . Comme $\alpha\in\left]0;\frac\pi6\right[$ et que $\tan$ est strictement croissante sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ : $0<\tan\alpha<\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}3$ .

2. Dans les triangles rectangles $ADC$ et $BDC$ : $\tan\alpha=\frac h{AD}$ et $\tan3\alpha=\frac h{DB}$ . Donc $AB=AD+DB=\frac h{\tan\alpha}+\frac h{\tan3\alpha}$ et $\dfrac1{\tan\alpha}+\dfrac1{\tan3\alpha}=\dfrac{AB}h$ .

3. Avec $t=\tan\alpha$ ( $0<t^2<\frac13$ ) : $\tan2\alpha=\frac{2t}{1-t^2}$ et $\tan3\alpha=\dfrac{\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\frac{2t^2}{1-t^2}}=\dfrac{3t-t^3}{1-3t^2}$ . Alors $\frac{AB}h=\frac1t+\frac{1-3t^2}{t(3-t^2)}=\frac{4-4t^2}{t(3-t^2)},\qquad\text{donc}\qquad h=AB\times\frac{t\left(3-t^2\right)}{4\left(1-t^2\right)} .$

Exercice 7 — Relations dans un triangle Difficile ★★★★☆

Soient $A$ , $B$ et $C$ les mesures, en radians, des angles d’un triangle, de sorte que $A+B+C=\pi$ . Montrer que :

$\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1-4\cos A\cos B\cos C$ ;
si le triangle n’est pas rectangle : $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ .

Voir la solution

1. $\cos2A+\cos2B=2\cos(A+B)\cos(A-B)=-2\cos C\cos(A-B)$ et $\cos2C=2\cos^2C-1=-2\cos C\cos(A+B)-1$ . Donc la somme vaut $-1-2\cos C\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big)=-1-4\cos A\cos B\cos C$ .

2. Aucun angle n’est droit, donc $\cos A\cos B\cos C\neq0$ . $A+B=\pi-C$ et $\cos(A+B)=-\cos C\neq0$ , d’où $\tan(A+B)=-\tan C$ , soit $\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C$ (le dénominateur vaut $\frac{\cos(A+B)}{\cos A\cos B}\neq0$ ). En chassant le dénominateur : $\tan A+\tan B=-\tan C+\tan A\tan B\tan C$ .

Exercice 8 — Équations trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Résoudre les équations suivantes dans $\R$ , puis dans l’intervalle $I$ indiqué :

$(E_1):\ 2\cos\left(2x-\frac\pi3\right)+\sqrt2=0$ ; $\ I=[0;2\pi[$ ;
$(E_2):\ \sqrt3\sin2x-\cos2x=\sqrt2$ ; $\ I=[-\pi;\pi[$ ;
$(E_3):\ \sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x=0$ ; $\ I=\R$ ;
$(E_4):\ \tan^2x+\left(1-\sqrt3\right)\tan x-\sqrt3=0$ ; $\ I=[-3\pi;-\pi[$ .

Voir la solution

1. $(E_1)\iff\cos\left(2x-\frac\pi3\right)=-\frac{\sqrt2}2=\cos\frac{3\pi}4\iff2x-\frac\pi3=\pm\frac{3\pi}4+2k\pi\iff x=\frac{13\pi}{24}+k\pi$ ou $x=-\frac{5\pi}{24}+k\pi$ . Dans $[0;2\pi[$ : $\left\{\frac{13\pi}{24};\frac{19\pi}{24};\frac{37\pi}{24};\frac{43\pi}{24}\right\}$ .

2. $-\cos2x+\sqrt3\sin2x=2\cos\left(2x-\frac{2\pi}3\right)$ ( $r=2$ , $\cos\alpha=-\frac12$ , $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}2$ ). $(E_2)\iff\cos\left(2x-\frac{2\pi}3\right)=\frac{\sqrt2}2\iff2x-\frac{2\pi}3=\pm\frac\pi4+2k\pi\iff x=\frac{11\pi}{24}+k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{24}+k\pi$ . Dans $[-\pi;\pi[$ : $\left\{-\frac{19\pi}{24};-\frac{13\pi}{24};\frac{5\pi}{24};\frac{11\pi}{24}\right\}$ .

3. $\sin x+\sin4x=2\sin\frac{5x}2\cos\frac{3x}2$ et $\sin2x+\sin3x=2\sin\frac{5x}2\cos\frac x2$ , donc le premier membre vaut $2\sin\frac{5x}2\left(\cos\frac{3x}2+\cos\frac x2\right)=4\sin\frac{5x}2\cos x\cos\frac x2$ . Ainsi $(E_3)\iff\sin\frac{5x}2=0$ ou $\cos x=0$ ou $\cos\frac x2=0$ : $S_3=\left\{\frac{2k\pi}5\ ;\ \frac\pi2+k\pi\ ;\ \pi+2k\pi\ \Big|\ k\in\Z\right\}.$

4. Avec $t=\tan x$ : $t^2+(1-\sqrt3)t-\sqrt3=(t-\sqrt3)(t+1)$ . $(E_4)\iff\tan x=\sqrt3$ ou $\tan x=-1\iff x=\frac\pi3+k\pi$ ou $x=-\frac\pi4+k\pi$ . Dans $[-3\pi;-\pi[$ : $\left\{-\frac{8\pi}3;-\frac{9\pi}4;-\frac{5\pi}3;-\frac{5\pi}4\right\}$ .

Exercice 9 — Inéquations trigonométriques Facile ★★☆☆☆

Résoudre chaque inéquation dans l’intervalle $I$ indiqué :

$\sin x\ge\frac12$ ; $\ I=]-\pi;\pi]$ ;
$\cos x>-\frac{\sqrt2}2$ ; $\ I=[0;2\pi]$ ;
$\tan x\le\sqrt3$ ; $\ I=[0;2\pi]$ ;
$\sin x<-\frac{\sqrt3}2$ ; $\ I=[0;2\pi]$ ;
$\tan x>-\frac{\sqrt3}3$ ; $\ I=[-\pi;\pi]$ .

Voir la solution

1. $\sin x=\frac12$ pour $x\in\left\{\frac\pi6;\frac{5\pi}6\right\}$ : $S=\left[\frac\pi6;\frac{5\pi}6\right]$ .

2. $\cos x=-\frac{\sqrt2}2$ pour $x\in\left\{\frac{3\pi}4;\frac{5\pi}4\right\}$ : $S=\left[0;\frac{3\pi}4\right[\cup\left]\frac{5\pi}4;2\pi\right]$ .

3. On exclut $\frac\pi2$ et $\frac{3\pi}2$ . Sur $\left[0;\frac\pi2\right[$ : $x\le\frac\pi3$ ; sur $\left]\frac\pi2;\frac{3\pi}2\right[$ : $x\le\frac{4\pi}3$ ; sur $\left]\frac{3\pi}2;2\pi\right]$ : $\tan x\le0$ , toujours vrai. $S=\left[0;\frac\pi3\right]\cup\left]\frac\pi2;\frac{4\pi}3\right]\cup\left]\frac{3\pi}2;2\pi\right]$ .

4. $\sin x=-\frac{\sqrt3}2$ pour $x\in\left\{\frac{4\pi}3;\frac{5\pi}3\right\}$ : $S=\left]\frac{4\pi}3;\frac{5\pi}3\right[$ .

5. On exclut $\pm\frac\pi2$ . Sur $\left[-\pi;-\frac\pi2\right[$ , $\tan x\ge0$ : toujours vrai ; sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ : $x>-\frac\pi6$ ; sur $\left]\frac\pi2;\pi\right]$ : $x>\frac{5\pi}6$ . $S=\left[-\pi;-\frac\pi2\right[\cup\left]-\frac\pi6;\frac\pi2\right[\cup\left]\frac{5\pi}6;\pi\right]$ .

Exercice 10 — Factorisation, équation et signe Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $A$ définie sur $\R$ par $A(x)=2\sin2x+2\cos x-\sqrt2\,(2\sin x+1)$ .

Calculer $A\left(\frac\pi4\right)$ et $A\left(-\frac\pi6\right)$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R$ , $A(x)=\left(2\cos x-\sqrt2\right)(2\sin x+1)$ .
Résoudre l’équation $A(x)=0$ dans $]-\pi;\pi[$ , puis représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
Étudier le signe de $A(x)$ sur l’intervalle $]-\pi;\pi[$ .

Voir la solution

1. $A\left(\frac\pi4\right)=2+\sqrt2-\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)=0$ ; $\ A\left(-\frac\pi6\right)=2\sin\left(-\frac\pi3\right)+2\cos\frac\pi6-\sqrt2(-1+1)=-\sqrt3+\sqrt3=0$ .

2. $\left(2\cos x-\sqrt2\right)(2\sin x+1)=4\sin x\cos x+2\cos x-2\sqrt2\sin x-\sqrt2=2\sin2x+2\cos x-\sqrt2(2\sin x+1)=A(x)$ .

3. $A(x)=0\iff\cos x=\frac{\sqrt2}2$ ou $\sin x=-\frac12$ . Dans $]-\pi;\pi[$ : $S=\left\{-\frac{5\pi}6;-\frac\pi4;-\frac\pi6;\frac\pi4\right\}$ .

4. $2\cos x-\sqrt2>0\iff x\in\left]-\frac\pi4;\frac\pi4\right[$ et $2\sin x+1>0\iff x\in\left]-\pi;-\frac{5\pi}6\right[\cup\left]-\frac\pi6;\pi\right[$ (sur $]-\pi;\pi[$ ).

$x$	$]-\pi;-\frac{5\pi}6[$	$]-\frac{5\pi}6;-\frac\pi4[$	$]-\frac\pi4;-\frac\pi6[$	$]-\frac\pi6;\frac\pi4[$	$]\frac\pi4;\pi[$
$2\cos x-\sqrt2$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$
$2\sin x+1$	$+$	$-$	$-$	$+$	$+$
$A(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$	$-$

Exercice 11 — Factorisation et inéquation Difficile ★★★★☆

On considère la fonction $A$ définie sur $\R$ par $A(x)=2\sin^3x-\sin x+2\cos x-2\cos^3x$ .

Calculer $A\left(\frac\pi2\right)$ et $A\left(\frac\pi4\right)$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $2\sin^3x-\sin x=-\sin x\cos2x$ et $2\cos x-2\cos^3x=\sin x\sin2x$ .
En déduire que, pour tout $x\in\R$ , $A(x)=\sqrt2\sin x\,\sin\left(2x-\frac\pi4\right)$ .
Résoudre dans $\R$ l’équation $A(x)=0$ .
Résoudre dans $[0;\pi]$ l’inéquation $A(x)\ge0$ .

Voir la solution

1. $A\left(\frac\pi2\right)=2-1+0-0=1$ ; $\ A\left(\frac\pi4\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}4-\frac{\sqrt2}2+\sqrt2-2\cdot\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt2}2$ .

2. $2\sin^3x-\sin x=\sin x\left(2\sin^2x-1\right)=-\sin x\cos2x$ ; $\ 2\cos x-2\cos^3x=2\cos x\sin^2x=\sin x\,(2\sin x\cos x)=\sin x\sin2x$ .

3. $A(x)=\sin x\,(\sin2x-\cos2x)$ et $\sin2x-\cos2x=\sqrt2\left(\sin2x\cos\frac\pi4-\cos2x\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\sin\left(2x-\frac\pi4\right)$ . (Contrôle : $A\left(\frac\pi2\right)=\sqrt2\sin\frac{3\pi}4=1$ .)

4. $A(x)=0\iff\sin x=0$ ou $\sin\left(2x-\frac\pi4\right)=0\iff x=k\pi$ ou $x=\frac\pi8+\frac{k\pi}2$ ( $k\in\Z$ ).

5. Sur $[0;\pi]$ , $\sin x\ge0$ , avec égalité seulement en $0$ et $\pi$ . Pour $x\in]0;\pi[$ : $A(x)\ge0\iff\sin\left(2x-\frac\pi4\right)\ge0$ ; or $2x-\frac\pi4\in\left]-\frac\pi4;\frac{7\pi}4\right[$ , et sur cet intervalle $\sin X\ge0\iff X\in[0;\pi]$ , soit $x\in\left[\frac\pi8;\frac{5\pi}8\right]$ . Conclusion : $S=\{0\}\cup\left[\frac\pi8;\frac{5\pi}8\right]\cup\{\pi\}$ .

Exercice 12 — Équations se ramenant à un polynôme Moyen ★★★☆☆

Montrer que, pour tout $x\in\R$ , $\sin2x=2\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)-1$ .
En déduire les solutions dans $\R$ de l’équation $4\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)=3$ .
On considère la fonction $A$ définie sur $\R$ par $A(x)=4\sin^3x-12\sin^2x-\sin x+3$ . a. Montrer que, pour tout $x\in\R$ , $A(x)=(3-\sin x)\left(1-4\sin^2x\right)$ . b. Montrer que, pour tout $x\in\R$ , $3-\sin x>0$ . c. Résoudre dans $\R$ l’équation $A(x)=0$ .

Voir la solution

1. $2\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)-1=-\cos\left(2x+\frac\pi2\right)=\sin2x$ .

2. $4\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)=3\iff2\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)-1=\frac12\iff\sin2x=\frac12\iff x=\frac\pi{12}+k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ ( $k\in\Z$ ).

3. a. $(3-\sin x)(1-4\sin^2x)=3-12\sin^2x-\sin x+4\sin^3x=A(x)$ .

3. b. $\sin x\le1<3$ .

3. c. D’après a et b : $A(x)=0\iff\sin^2x=\frac14\iff\sin x=\frac12$ ou $\sin x=-\frac12\iff x=\pm\frac\pi6+k\pi$ ( $k\in\Z$ ).

Exercice 13 — Équation du second degré en $\cos x+\sin x$ Difficile ★★★★☆

a. Vérifier que $8+4\sqrt3=\left(\sqrt6+\sqrt2\right)^2$ . b. Résoudre dans $\R$ l’équation $2X^2+\left(\sqrt6-\sqrt2\right)X-\sqrt3=0$ , d’inconnue $X$ .
On considère la fonction $A$ définie sur $\R$ par $A(x)=2\sin2x+\left(\sqrt6-\sqrt2\right)(\cos x+\sin x)+2-\sqrt3$ . a. Calculer $(\cos x+\sin x)^2$ et en déduire l’expression de $\sin2x$ en fonction de $\cos x+\sin x$ . b. Résoudre dans $\R$ l’équation $A(x)=0$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $A(x)=-16\sin\left(\frac x2+\frac\pi{24}\right)\sin\left(\frac x2-\frac{7\pi}{24}\right)\cos\left(\frac x2-\frac\pi{24}\right)\cos\left(\frac x2-\frac{5\pi}{24}\right)$ . b. Étudier le signe de $A(x)$ sur l’intervalle $\left[0;\frac{7\pi}{12}\right]$ .

Voir la solution

1. a. $\left(\sqrt6+\sqrt2\right)^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt3$ .

1. b. $\Delta=\left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2+8\sqrt3=8-4\sqrt3+8\sqrt3=8+4\sqrt3=\left(\sqrt6+\sqrt2\right)^2$ . Solutions : $X=\frac{-(\sqrt6-\sqrt2)+(\sqrt6+\sqrt2)}4=\frac{\sqrt2}2$ et $X=\frac{-(\sqrt6-\sqrt2)-(\sqrt6+\sqrt2)}4=-\frac{\sqrt6}2$ .

2. a. $(\cos x+\sin x)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$ , donc $\sin2x=(\cos x+\sin x)^2-1$ .

2. b. Avec $X=\cos x+\sin x$ : $A(x)=2X^2-2+(\sqrt6-\sqrt2)X+2-\sqrt3=2X^2+(\sqrt6-\sqrt2)X-\sqrt3$ . Donc $A(x)=0\iff X=\frac{\sqrt2}2$ ou $X=-\frac{\sqrt6}2$ . Or $X=\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi4\right)$ :

$\cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac12\iff x=\frac\pi4\pm\frac\pi3+2k\pi$ , soit $x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi$ ou $x=-\frac\pi{12}+2k\pi$ ;
$\cos\left(x-\frac\pi4\right)=-\frac{\sqrt3}2\iff x=\frac\pi4\pm\frac{5\pi}6+2k\pi$ , soit $x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi$ ou $x=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi$ .

3. a. On pose $\theta=x-\frac\pi4$ . $A(x)=2\left(X-\frac{\sqrt2}2\right)\left(X+\frac{\sqrt6}2\right)=4\left(\cos\theta-\cos\frac\pi3\right)\left(\cos\theta+\cos\frac\pi6\right)$ . Or $\cos\theta-\cos\frac\pi3=-2\sin\frac{\theta+\frac\pi3}2\sin\frac{\theta-\frac\pi3}2$ et $\cos\theta+\cos\frac\pi6=2\cos\frac{\theta+\frac\pi6}2\cos\frac{\theta-\frac\pi6}2$ , avec $\frac{\theta+\frac\pi3}2=\frac x2+\frac\pi{24}$ , $\frac{\theta-\frac\pi3}2=\frac x2-\frac{7\pi}{24}$ , $\frac{\theta+\frac\pi6}2=\frac x2-\frac\pi{24}$ , $\frac{\theta-\frac\pi6}2=\frac x2-\frac{5\pi}{24}$ . D’où la formule annoncée.

3. b. Pour $x\in\left[0;\frac{7\pi}{12}\right]$ : $\frac x2+\frac\pi{24}\in\left[\frac\pi{24};\frac\pi3\right]$ (sinus $>0$ ) ; $\frac x2-\frac{7\pi}{24}\in\left[-\frac{7\pi}{24};0\right]$ (sinus $\le0$ , nul seulement pour $x=\frac{7\pi}{12}$ ) ; $\frac x2-\frac\pi{24}\in\left[-\frac\pi{24};\frac\pi4\right]$ et $\frac x2-\frac{5\pi}{24}\in\left[-\frac{5\pi}{24};\frac\pi{12}\right]$ (cosinus $>0$ ). Donc $A(x)\ge0$ sur $\left[0;\frac{7\pi}{12}\right]$ , et $A(x)=0$ seulement pour $x=\frac{7\pi}{12}$ .

Exercice 14 — Calcul de $\cos\frac\pi5$ Difficile ★★★★☆

Soit $x$ un réel.

Exprimer $\cos3x$ en fonction de $\cos x$ .
Résoudre dans $\R$ l’équation $(E):\ 4\cos^3x+2\cos^2x-3\cos x-1=0$ (on pourra montrer que $(E)$ équivaut à $\cos3x+\cos2x=0$ ).
En déduire les solutions de l’équation $(E)$ dans l’intervalle $[0;2\pi]$ .
On considère l’équation $(F):\ 4X^3+2X^2-3X-1=0$ , d’inconnue réelle $X$ . a. Vérifier que $-1$ est une solution de $(F)$ , puis déterminer les autres solutions. b. Montrer que $\cos\frac\pi5$ est une solution de $(F)$ . c. En déduire que $\cos\frac\pi5=\dfrac{1+\sqrt5}4$ .

Voir la solution

1. $\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=(2\cos^2x-1)\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x=4\cos^3x-3\cos x$ .

2. $4\cos^3x+2\cos^2x-3\cos x-1=(4\cos^3x-3\cos x)+(2\cos^2x-1)=\cos3x+\cos2x$ . Donc $(E)\iff\cos3x=\cos(\pi-2x)\iff3x=\pi-2x+2k\pi$ ou $3x=-\pi+2x+2k\pi\iff x=\frac\pi5+\frac{2k\pi}5$ ou $x=-\pi+2k\pi$ . La seconde famille est contenue dans la première ( $-\pi+2k\pi=\frac\pi5+\frac{2(5k-3)\pi}5$ ) : $S=\left\{\frac{(2k+1)\pi}5\mid k\in\Z\right\}$ .

3. $0\le\frac{(2k+1)\pi}5\le2\pi\iff k\in\{0;1;2;3;4\}$ : $\left\{\frac\pi5;\frac{3\pi}5;\pi;\frac{7\pi}5;\frac{9\pi}5\right\}$ .

4. a. $4(-1)^3+2(-1)^2-3(-1)-1=0$ . Puis $4X^3+2X^2-3X-1=(X+1)(4X^2-2X-1)$ et $4X^2-2X-1=0\iff X=\frac{1\pm\sqrt5}4$ . Solutions : $-1$ , $\frac{1-\sqrt5}4$ , $\frac{1+\sqrt5}4$ .

4. b. $\frac\pi5$ est solution de $(E)$ (question 2), donc $X=\cos\frac\pi5$ vérifie $(F)$ .

4. c. $\frac\pi5\in\left]0;\frac\pi2\right[$ , donc $\cos\frac\pi5>0$ ; les solutions $-1$ et $\frac{1-\sqrt5}4$ sont négatives. Donc $\cos\frac\pi5=\frac{1+\sqrt5}4$ .

Exercice 15 — Problème — les cosinus de $\frac{2\pi}7$ Difficile ★★★★★

Résoudre dans $\R$ l’équation $\cos4x=\cos3x$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ et $\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1$ .
En déduire que l’équation $8t^4-4t^3-8t^2+3t+1=0$ , d’inconnue réelle $t$ , a pour ensemble de solutions $S=\left\{1;\ \cos\frac{2\pi}7;\ \cos\frac{4\pi}7;\ \cos\frac{6\pi}7\right\}.$
Factoriser le polynôme $P(t)=8t^4-4t^3-8t^2+3t+1$ en produit de facteurs du premier degré.
En déduire que $\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{6\pi}7=-\frac12$ et que $\cos\frac{2\pi}7\times\cos\frac{4\pi}7\times\cos\frac{6\pi}7=\frac18$ .

Voir la solution

1. $\cos4x=\cos3x\iff4x=3x+2k\pi$ ou $4x=-3x+2k\pi\iff x=2k\pi$ ou $x=\frac{2k\pi}7$ . La première famille est contenue dans la seconde : $S=\left\{\frac{2k\pi}7\mid k\in\Z\right\}$ .

2. Voir l’exercice 14 pour $\cos3x$ . $\ \cos4x=2\cos^22x-1=2\left(2\cos^2x-1\right)^2-1=8\cos^4x-8\cos^2x+1$ .

3. Pour tout $x\in\R$ : $\cos4x-\cos3x=P(\cos x)$ avec $P(t)=8t^4-4t^3-8t^2+3t+1$ . Pour $x=\frac{2k\pi}7$ , $P(\cos x)=0$ ; les valeurs de $\cos\frac{2k\pi}7$ ( $k\in\{0;\ldots;6\}$ ) sont $1$ , $\cos\frac{2\pi}7$ , $\cos\frac{4\pi}7$ , $\cos\frac{6\pi}7$ (car $\cos\frac{8\pi}7=\cos\frac{6\pi}7$ , $\cos\frac{10\pi}7=\cos\frac{4\pi}7$ , $\cos\frac{12\pi}7=\cos\frac{2\pi}7$ ). Ces quatre réels sont distincts ( $\cos$ est strictement décroissante sur $[0;\pi]$ et $0<\frac{2\pi}7<\frac{4\pi}7<\frac{6\pi}7<\pi$ ). Un polynôme de degré $4$ ayant au plus $4$ racines, l’ensemble des solutions est exactement $S$ .

4. $1$ étant racine : $P(t)=(t-1)\left(8t^3+4t^2-4t-1\right)$ . Les trois autres racines de $P$ sont celles du second facteur, de coefficient dominant $8$ ; par factorisations successives : $P(t)=8(t-1)\left(t-\cos\tfrac{2\pi}7\right)\left(t-\cos\tfrac{4\pi}7\right)\left(t-\cos\tfrac{6\pi}7\right).$

5. On note $c_1,c_2,c_3$ ces trois cosinus. $8(t-c_1)(t-c_2)(t-c_3)=8t^3-8(c_1+c_2+c_3)t^2+8(c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3)t-8c_1c_2c_3$ . Par identification avec $8t^3+4t^2-4t-1$ : $c_1+c_2+c_3=-\frac12$ et $c_1c_2c_3=\frac18$ .

Exercice 16 — Sommes trigonométriques Difficile ★★★★★

Soit $n\in\N^*$ . Montrer que :

pour tout réel $x\notin\{2k\pi\mid k\in\Z\}$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)=\frac{\sin\frac{nx}2\,\sin\frac{(n+1)x}2}{\sin\frac x2}$ ;
pour tout réel $x\notin\{k\pi\mid k\in\Z\}$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos\big((2k-1)x\big)=\frac{\sin(2nx)}{2\sin x}$ ;
pour tout réel $x$ tel que $\sin\left(2^{n+1}x\right)\neq0$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}2^k\tan\left(2^kx\right)=\frac1{\tan x}-\frac{2^n}{\tan\left(2^nx\right)}$ (on pourra d’abord établir que $\tan a=\frac1{\tan a}-\frac2{\tan2a}$ lorsque $\sin2a\neq0$ ).

Voir la solution

1. $\sin\frac x2\neq0$ . Pour tout $k$ : $2\sin(kx)\sin\frac x2=\cos\left(\left(k-\frac12\right)x\right)-\cos\left(\left(k+\frac12\right)x\right)$ . En sommant de $k=1$ à $n$ , les termes se télescopent : $2\sin\tfrac x2\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\cos\tfrac x2-\cos\left(\left(n+\tfrac12\right)x\right)=2\sin\tfrac{(n+1)x}2\sin\tfrac{nx}2 ,$ d’où la formule en divisant par $2\sin\frac x2$ .

2. $\sin x\neq0$ et $2\sin x\cos\big((2k-1)x\big)=\sin(2kx)-\sin\big((2k-2)x\big)$ . En sommant : $2\sin x\sum_{k=1}^n\cos((2k-1)x)=\sin(2nx)-\sin0=\sin(2nx)$ .

3. Lemme : si $\sin2a\neq0$ (donc $\sin a\neq0$ et $\cos a\neq0$ ), $\dfrac1{\tan a}-\dfrac2{\tan2a}=\dfrac{\cos a}{\sin a}-\dfrac{\cos2a}{\sin a\cos a}=\dfrac{\cos^2a-\cos2a}{\sin a\cos a}=\dfrac{\sin^2a}{\sin a\cos a}=\tan a$ .

Comme $\sin(2^{j+1}x)=2\sin(2^jx)\cos(2^jx)$ , l’hypothèse $\sin(2^{n+1}x)\neq0$ entraîne, de proche en proche, $\sin(2^{j+1}x)\neq0$ pour tout $j\in\{0;\ldots;n\}$ : toutes les expressions sont définies. Le lemme avec $a=2^kx$ , multiplié par $2^k$ , donne $2^k\tan(2^kx)=\dfrac{2^k}{\tan(2^kx)}-\dfrac{2^{k+1}}{\tan(2^{k+1}x)}$ ; la somme de $k=0$ à $n-1$ est télescopique et vaut $\dfrac1{\tan x}-\dfrac{2^n}{\tan(2^nx)}$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 30.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 8 — Trigonométrie

Cours

I. Rappels

1. Valeurs usuelles et identités fondamentales

2. Angles associés

3. Exercices de révision

II. Formules d’addition et de duplication

1. Activité

2. Formules

III. Tangente et formules de linéarisation

1. Activité

2. Formules

IV. Des produits aux sommes, et réciproquement

1. Activité

2. Formules

V. Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin xacosx+bsinx

1. Activité

2. Propriété

VI. Équations et inéquations trigonométriques

1. Équations de référence

2. Inéquations

Résumé : trigonométrie

Série d’exercices

Exercice 1 — Formules d’addition — calcul d’un angle Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Identités avec la tangente Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Produits et sommes Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Linéarisation et équation Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Identités trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Exercice 6 — Trigonométrie dans un triangle Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Relations dans un triangle Difficile ★★★★☆

Exercice 8 — Équations trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Exercice 9 — Inéquations trigonométriques Facile ★★☆☆☆

Exercice 10 — Factorisation, équation et signe Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Factorisation et inéquation Difficile ★★★★☆

Exercice 12 — Équations se ramenant à un polynôme Moyen ★★★☆☆

Exercice 13 — Équation du second degré en cos⁡x+sin⁡x\cos x+\sin xcosx+sinx Difficile ★★★★☆

Exercice 14 — Calcul de cos⁡π5\cos\frac\pi5cos5π​ Difficile ★★★★☆

Exercice 15 — Problème — les cosinus de 2π7\frac{2\pi}772π​ Difficile ★★★★★

Exercice 16 — Sommes trigonométriques Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

V. Transformation de $a\cos x+b\sin x$

Exercice 13 — Équation du second degré en $\cos x+\sin x$ Difficile ★★★★☆

Exercice 14 — Calcul de $\cos\frac\pi5$ Difficile ★★★★☆

Exercice 15 — Problème — les cosinus de $\frac{2\pi}7$ Difficile ★★★★★