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Chapitre 7 — Nombres complexes

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. Partie 1 : I. Forme algébrique — II. Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — III. Nombres complexes et géométrie. Partie 2 : IV. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ — V. Transformations du plan — VI. Formules d’Euler et linéarisation — VII. Ensembles de points — Résumé.

Dans tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$ .

I. Forme algébrique d’un nombre complexe

1. Définition

Définition 1 — l’ensemble $\mathbb{C}$

Il existe un ensemble, noté $\mathbb{C}$ , contenant $\mathbb{R}$ , muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et ont les mêmes règles de calcul, et contenant un nombre $i$ tel que $i^2=-1$ .

Tout nombre complexe $z$ s’écrit de façon unique $z=a+ib$ avec $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ : c’est la forme algébrique de $z$ . Le réel $a$ est la partie réelle de $z$ , notée $\Re(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire, notée $\Im(z)$ .

Propriété 1

$z$ est réel $\iff\Im(z)=0$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff\Re(z)=0$ (on note $i\mathbb{R}$ l’ensemble des imaginaires purs).
Pour tous réels $a,b,a',b'$ : $a+ib=a'+ib'\iff a=a'$ et $b=b'$ . En particulier $a+ib=0\iff a=b=0$ .

2. Exemples

Exemple 1

Calculer $(2+3i)+(1-5i)$ et $(2+3i)(1-5i)$ .
Calculer $i^2$ , $i^3$ , $i^4$ , en déduire $i^{4k+r}$ pour $k\in\mathbb{N}$ , puis calculer $i^{2026}$ .

Voir la solution

$(2+3i)+(1-5i)=3-2i$ ; $\quad(2+3i)(1-5i)=2-10i+3i-15i^2=17-7i$ .
Puissances de $i$ : $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ , donc $i^{4k+r}=i^r$ pour $k\in\mathbb{N}$ . Par exemple $i^{2026}=i^{4\times506+2}=-1$ .

3. Représentation géométrique

Définition 2 — affixe

À tout nombre complexe $z=a+ib$ ( $a,b$ réels) on associe le point $M(a;b)$ et le vecteur $\vec w=a\vec u+b\vec v$ . On dit que $z$ est l’affixe de $M$ (et de $\vec w$ ), et que $M$ est l’image de $z$ . On note $M(z)$ .

Propriété 2

Pour des points $A(z_A)$ , $B(z_B)$ :

le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$ ;
le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $z_I=\dfrac{z_A+z_B}2$ ;
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff z_B-z_A=z_C-z_D$ (caractérisation d’un parallélogramme $ABCD$ ).

4. Conjugué et inverse

Définition 3 — conjugué

Le conjugué de $z=a+ib$ ( $a,b$ réels) est le nombre complexe $\overline z=a-ib$ . Les points $M(z)$ et $M'(\overline z)$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Propriété 3

Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ et $n\in\mathbb{N}$ :

$\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$ , $\;\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$ , $\;\overline{z^n}=\left(\overline z\right)^n$ et, si $z'\neq0$ , $\overline{\left(\dfrac z{z'}\right)}=\dfrac{\overline z}{\overline{z'}}$ ;
$z+\overline z=2\Re(z)$ , $\;z-\overline z=2i\Im(z)$ , $\;z\overline z=a^2+b^2$ ;
$z\in\mathbb{R}\iff\overline z=z$ ; $\;z\in i\mathbb{R}\iff\overline z=-z$ .

Méthode — forme algébrique d’un quotient

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\dfrac1{a+ib}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$ .

Application 1

Écrire sous forme algébrique $z_1=\dfrac{3-i}{1+2i}$ et $z_2=(1+i)^4$ .

Voir la solution

$z_1=\dfrac{(3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{3-6i-i+2i^2}{1+4}=\dfrac{1-7i}5=\dfrac15-\dfrac75i$ .

$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$ , donc $z_2=(2i)^2=-4$ .

II. Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle

1. Module

Définition 4 — module

Le module de $z=a+ib$ ( $a,b$ réels) est le réel positif $|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{a^2+b^2}$ . Si $M$ est l’image de $z$ , alors $|z|=OM$ ; et pour $A(z_A)$ , $B(z_B)$ : $AB=\left|z_B-z_A\right|$ .

Propriété 4

Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ et $n\in\mathbb{N}$ : $|z|=0\iff z=0$ ; $|\overline z|=|-z|=|z|$ ; $|zz'|=|z||z'|$ ; $\left|z^n\right|=|z|^n$ ; si $z'\neq0$ , $\left|\dfrac z{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; et l’inégalité triangulaire $|z+z'|\le|z|+|z'|$ .

Exemple 2

Calculer $|3-4i|$ , $\left|\dfrac{1+i}{\sqrt3-i}\right|$ et $\left|(1-i)^{10}\right|$ .

Voir la solution

$|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$ ; $\quad\left|\dfrac{1+i}{\sqrt3-i}\right|=\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\quad\left|(1-i)^{10}\right|=\left(\sqrt2\right)^{10}=32$ .

2. Argument

Définition 5 — argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul d’image $M$ . On appelle argument de $z$ toute mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec u,\overrightarrow{OM}\right)$ . On note $\arg(z)\equiv\theta\;[2\pi]$ .

Propriété 5

Pour $z,z'$ non nuls et $n\in\mathbb{N}$ :

Règle	Formule
produit, puissance	$\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\;[2\pi]$ , $\;\arg\left(z^n\right)\equiv n\arg z\;[2\pi]$
quotient	$\arg\left(\dfrac z{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'\;[2\pi]$ , $\;\arg\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg z\;[2\pi]$
conjugué, opposé	$\arg\overline z\equiv-\arg z\;[2\pi]$ , $\;\arg(-z)\equiv\pi+\arg z\;[2\pi]$
réels, imaginaires	$z\in\mathbb{R}^_+\iff\arg z\equiv0$ ; $z\in\mathbb{R}^\iff\arg z\equiv0\;[\pi]$ ; $z\in i\mathbb{R}^*\iff\arg z\equiv\frac\pi2\;[\pi]$

3. Forme trigonométrique

Propriété 6

Tout nombre complexe non nul $z$ , de module $r$ et d’argument $\theta$ , s’écrit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ : c’est une forme trigonométrique de $z$ . Réciproquement, si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r>0$ , alors $|z|=r$ et $\arg z\equiv\theta\;[2\pi]$ .

Passage de la forme algébrique $z=a+ib$ à la forme trigonométrique : $r=\sqrt{a^2+b^2}$ , $\cos\theta=\dfrac ar$ et $\sin\theta=\dfrac br$ .

Attention

L’écriture $-2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)$ n’est pas une forme trigonométrique (le facteur doit être strictement positif) ; on écrit $-2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)=2\left(\cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3\right)$ .

Application 2

Donner une forme trigonométrique de $z_1=1-i\sqrt3$ et de $z_2=-3+3i$ , puis de $z_1z_2$ .

Voir la solution

$|z_1|=\sqrt{1+3}=2$ et $z_1=2\left(\frac12-\frac{\sqrt3}2i\right)=2\left(\cos\left(-\frac\pi3\right)+i\sin\left(-\frac\pi3\right)\right)$ .

$|z_2|=\sqrt{18}=3\sqrt2$ et $z_2=3\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i\right)=3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4\right)$ .

Donc $|z_1z_2|=6\sqrt2$ et $\arg(z_1z_2)\equiv-\frac\pi3+\frac{3\pi}4=\frac{5\pi}{12}\;[2\pi]$ : $z_1z_2=6\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$ .

4. Notation exponentielle et formule de Moivre

Définition 6

Pour tout réel $\theta$ , on note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Tout complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit $z=re^{i\theta}$ : c’est sa forme exponentielle.

Propriété 7

Pour tous réels $\theta,\theta'$ et tout $n\in\mathbb{Z}$ : $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $\;\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ ; $\;\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ ; $\;\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ .

Formule de Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ .

Valeurs à connaître : $e^{i0}=1$ , $e^{i\frac\pi2}=i$ , $e^{i\pi}=-1$ , $e^{-i\frac\pi2}=-i$ .

Application 3

On pose $z=1+i$ . Calculer $z^{8}$ et montrer que $(1+i)^{2026}$ est imaginaire pur.

Voir la solution

$z=\sqrt2e^{i\frac\pi4}$ , donc $z^8=\left(\sqrt2\right)^8e^{i2\pi}=16$ .

$(1+i)^{2026}=\left(\sqrt2\right)^{2026}e^{i\frac{2026\pi}4}=2^{1013}e^{i\frac{1013\pi}2}$ . Or $\frac{1013\pi}2=506\pi+\frac\pi2$ et $506\pi\equiv0\;[2\pi]$ , donc $(1+i)^{2026}=2^{1013}e^{i\frac\pi2}=2^{1013}i\in i\mathbb{R}$ .

III. Nombres complexes et géométrie

1. Distances et angles

Propriété 8

Pour des points distincts $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ , $D(d)$ :

$AB=|b-a|$ et $\left(\vec u,\overrightarrow{AB}\right)\equiv\arg(b-a)\;[2\pi]$ ;
$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\;[2\pi]$ ; en particulier $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\;[2\pi]$ .

2. Configurations remarquables

À retenir — caractérisations ( $A$ , $B$ , $C$ distincts)

Situation	Condition
$A$ , $B$ , $C$ alignés	$\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}$
$(AB)\perp(AC)$	$\dfrac{c-a}{b-a}\in i\mathbb{R}$
$ABC$ isocèle en $A$	$\left\vert \dfrac{c-a}{b-a}\right\vert =1$
$ABC$ rectangle isocèle en $A$	$\dfrac{c-a}{b-a}=i$ ou $-i$
$ABC$ équilatéral	$\dfrac{c-a}{b-a}=e^{i\frac\pi3}$ ou $e^{-i\frac\pi3}$
$A,B,C,D$ cocycliques ou alignés	$\dfrac{c-a}{b-a}\times\dfrac{b-d}{c-d}\in\mathbb{R}$

Application 4

On considère les points $A(1+i)$ , $B(3+2i)$ et $C(3i)$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ .

Voir la solution

$\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-1+2i}{2+i}=\dfrac{(-1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\dfrac{-2+i+4i+2}5=i$ .

Donc $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=1$ , soit $AC=AB$ , et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg i\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ : le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ .

IV. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Théorème 1

On considère l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq0$ , de discriminant $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta>0$ : deux solutions réelles $z_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ : une solution réelle double $z_0=-\dfrac b{2a}$ .
Si $\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Dans tous les cas, $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ , $z_1+z_2=-\dfrac ba$ et $z_1z_2=\dfrac ca$ .

Application 5

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-6z+13=0$ , puis écrire les solutions sous forme trigonométrique lorsque c’est simple.

Voir la solution

$\Delta=36-52=-16=(4i)^2$ . Les solutions sont $z_1=\dfrac{6-4i}2=3-2i$ et $z_2=3+2i$ : $S=\{3-2i;3+2i\}$ . Leur module vaut $\sqrt{13}$ ; leurs arguments ne sont pas des angles remarquables, on garde la forme algébrique.

V. Transformations du plan

Propriété 9 — écritures complexes

Soit $M(z)$ un point et $M'(z')$ son image.

Transformation	Écriture complexe
translation de vecteur $\vec w(b)$	$z'=z+b$
homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\mathbb{R}^*$	$z'-\omega=k(z-\omega)$
rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d’angle $\theta$	$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$

Réciproquement, la transformation d’écriture $z'=az+b$ est : une translation si $a=1$ ; une homothétie de rapport $a$ si $a\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\}$ ; une rotation d’angle $\arg a$ si $|a|=1$ et $a\neq1$ . Dans les deux derniers cas, le centre est l’unique point invariant, d’affixe $\omega=\dfrac b{1-a}$ .

Application 6

Déterminer l’écriture complexe de la rotation $R$ de centre $\Omega(1+i)$ et d’angle $\frac\pi2$ , puis l’image de $A(3+i)$ .
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ d’écriture $z'=-2z+3i$ .

Voir la solution

$z'-(1+i)=i\left(z-(1+i)\right)$ , soit $z'=iz+2$ . Image de $A$ : $i(3+i)+2=1+3i$ .
$a=-2\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\}$ : $f$ est une homothétie de rapport $-2$ . Son centre est le point invariant : $\omega=-2\omega+3i\iff\omega=i$ . $f$ est l’homothétie de centre $\Omega(i)$ et de rapport $-2$ .

VI. Formules d’Euler et linéarisation

Propriété 10 — formules d’Euler

Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ , $\;\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ , et $e^{in\theta}+e^{-in\theta}=2\cos(n\theta)$ , $\;e^{in\theta}-e^{-in\theta}=2i\sin(n\theta)$ .

Méthode — linéariser

Pour écrire une puissance ou un produit de $\cos$ et $\sin$ comme combinaison de $\cos(kx)$ et $\sin(kx)$ : on remplace chaque facteur par sa formule d’Euler, on développe (binôme), puis on regroupe les termes conjugués $e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$ .

Application 7

Linéariser $\cos^3x$ pour $x\in\mathbb{R}$ .

Voir la solution

$\cos^3x=\dfrac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3}8=\dfrac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}8=\dfrac{2\cos3x+6\cos x}8=\dfrac14\cos3x+\dfrac34\cos x$ .

VII. Ensembles de points

À retenir — ensembles classiques ( $A(a)$ , $B(b)$ distincts, $r>0$ )

Condition sur $M(z)$	Ensemble
$\vert z-a\vert =r$	cercle de centre $A$ et de rayon $r$
$\vert z-a\vert =\vert z-b\vert$	médiatrice de $[AB]$
$\dfrac{z-a}{z-b}\in\mathbb{R}$	droite $(AB)$ privée de $B$
$\dfrac{z-a}{z-b}\in i\mathbb{R}$	cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$
$\arg(z-a)\equiv\theta\;[2\pi]$	demi-droite d’origine $A$ (privée de $A$ ) dirigée par $e^{i\theta}$

Application 8

Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M(z)$ tels que $|iz+1-2i|=3$ , puis l’ensemble $(\Delta)$ des points $M(z)$ tels que $|z-1|=|z+i|$ .

Voir la solution

$iz+1-2i=i\left(z+\frac{1-2i}i\right)=i(z-2-i)$ , donc $|iz+1-2i|=|z-(2+i)|$ . $(\Gamma)$ est le cercle de centre $\Omega(2+i)$ et de rayon $3$ .

$|z-1|=|z-(-i)|$ : $(\Delta)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(1)$ et $B(-i)$ , c’est-à-dire la droite d’équation $y=-x$ .

Résumé

À retenir

Notion	À retenir
Forme algébrique	$z=a+ib$ , $\overline z=a-ib$ , $z\overline z=a^2+b^2$
Module, argument	$\vert z\vert =\sqrt{a^2+b^2}$ ; $\vert zz'\vert =\vert z\vert \vert z'\vert$ ; $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'$
Formes	$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ ; Moivre $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$
Géométrie	$AB=\vert b-a\vert$ ; $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg\frac{c-a}{b-a}$
Second degré	$\Delta<0$ : $z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
Transformations	$z'=z+b$ ; $z'-\omega=k(z-\omega)$ ; $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$
Euler	$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ , $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

Série d’exercices

Dans toute la série, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u,\vec v)$ .

Exercice 1 — Forme algébrique Facile ★☆☆☆☆

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $z_1=\frac1{3+4i}\ ;\quad z_2=\frac{2-i}{1+3i}\ ;\quad z_3=(1+2i)^2\ ;\quad z_4=i^{2027}\ ;\quad z_5=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3\ ;$ $z_6=\frac1{2+i}+\frac1{2-i}+\frac i5\ ;\qquad z_7=\frac{(2-i)^3-(1+i)^3}{(1-2i)^3+(1-i)^2}.$

Voir la solution

$z_1=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3-4i}{25}=\dfrac3{25}-\dfrac4{25}i$ .
$z_2=\dfrac{(2-i)(1-3i)}{1+9}=\dfrac{2-6i-i+3i^2}{10}=-\dfrac1{10}-\dfrac7{10}i$ .
$z_3=1+4i+4i^2=-3+4i$ .
$2027=4\times506+3$ , donc $z_4=i^3=-i$ .
$\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{2}=\dfrac{2i}2=i$ , donc $z_5=i^3=-i$ .
$\dfrac1{2+i}+\dfrac1{2-i}=\dfrac{(2-i)+(2+i)}{5}=\dfrac45$ , donc $z_6=\dfrac45+\dfrac15i$ .
$(2-i)^3=8-12i+6i^2-i^3=2-11i$ et $(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=-2+2i$ : le numérateur vaut $4-13i$ . $(1-2i)^3=1-6i+12i^2-8i^3=-11+2i$ et $(1-i)^2=-2i$ : le dénominateur vaut $-11$ . Donc $z_7=-\dfrac4{11}+\dfrac{13}{11}i$ .

Exercice 2 — Équation, rotation, valeurs remarquables Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2+z+1=0$ .
On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i$ , $z_B=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i$ et $z_C=\dfrac{\sqrt7-\sqrt3}2$ . On note $A'$ l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac\pi2$ . Déterminer l’affixe de $A'$ , puis montrer que le triangle $AA'C$ est isocèle en $A'$ .
On note $B'$ l’image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac\pi4$ . a. Exprimer $z_{B'}$ en fonction de $z_B$ . b. En déduire une forme trigonométrique de $z_{B'}$ . c. Déterminer la forme algébrique de $z_{B'}$ . d. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ .

Voir la solution

1. $\Delta=1-4=-3=\left(i\sqrt3\right)^2$ : $S=\left\{-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\,;\,-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right\}$ .

2. $z_{A'}=e^{i\frac\pi2}z_A=iz_A=-\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12i$ .

$z_A-z_{A'}=\dfrac{\sqrt3-1}2+\dfrac{\sqrt3+1}2i$ , donc $A'A^2=\dfrac{\left(\sqrt3-1\right)^2+\left(\sqrt3+1\right)^2}4=\dfrac84=2$ .

$z_C-z_{A'}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt3}2+\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i=\dfrac{\sqrt7}2+\dfrac12i$ , donc $A'C^2=\dfrac74+\dfrac14=2$ .

Ainsi $A'A=A'C=\sqrt2$ : le triangle $AA'C$ est isocèle en $A'$ .

3. a. $z_{B'}=e^{i\frac\pi4}z_B$ .

3. b. $z_B=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i=\cos\left(-\dfrac{2\pi}3\right)+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}3\right)=e^{-i\frac{2\pi}3}$ , donc $z_{B'}=e^{i\left(\frac\pi4-\frac{2\pi}3\right)}=e^{-i\frac{5\pi}{12}}=\cos\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)$ .

3. c. $z_{B'}=\dfrac{\sqrt2}2(1+i)\left(-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i\right)=\dfrac{\sqrt2}2\left(\dfrac{\sqrt3-1}2-\dfrac{\sqrt3+1}2i\right)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4i$ .

3. d. Par identification des parties réelles et imaginaires (et parité de $\cos$ , imparité de $\sin$ ) : $\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$ .

Exercice 3 — Équation et rotation Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-2z+5=0$ .
On considère les points $A$ , $B$ et $\Omega$ d’affixes respectives $a=3$ , $b=3+4i$ et $\omega=1+2i$ . a. On pose $u=b-\omega$ . Vérifier que $u=2+2i$ , puis montrer que $\arg(u)\equiv\dfrac\pi4\;[2\pi]$ . b. Déterminer un argument du nombre $\overline u$ . c. Vérifier que $a-\omega=\overline u$ , puis en déduire que $\Omega A=\Omega B$ et que $\arg\left(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ . d. On note $R$ la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\dfrac\pi2$ . Déterminer l’image du point $A$ par $R$ .

Voir la solution

1. $\Delta=4-20=-16=(4i)^2$ : $S=\{1-2i\,;\,1+2i\}$ .

2. a. $u=3+4i-(1+2i)=2+2i$ . $|u|=2\sqrt2$ et $u=2\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt2}2i\right)=2\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$ , donc $\arg(u)\equiv\dfrac\pi4\;[2\pi]$ .

2. b. $\arg\left(\overline u\right)\equiv-\arg(u)\equiv-\dfrac\pi4\;[2\pi]$ .

2. c. $a-\omega=3-1-2i=2-2i=\overline u$ . Donc $\Omega A=|a-\omega|=|\overline u|=|u|=|b-\omega|=\Omega B$ , et $\arg\left(\dfrac{b-\omega}{a-\omega}\right)\equiv\arg u-\arg\overline u\equiv\dfrac\pi4+\dfrac\pi4=\dfrac\pi2\;[2\pi]$ .

2. d. On a $\Omega A=\Omega B$ et $\left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega B}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ : l’image de $A$ par $R$ est $B$ . (Vérification : $\omega+i(a-\omega)=1+2i+i(2-2i)=3+4i=b$ .)

Exercice 4 — Alignement, rotation, triangle Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2+2z+4=0$ .
On considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d’affixes respectives $a=-1+i\sqrt3$ , $b=2+2i$ , $c=-\sqrt3-i$ et $d=2-2\sqrt3$ . a. Vérifier que $a-d=-\sqrt3\,(c-d)$ . b. En déduire que les points $A$ , $C$ et $D$ sont alignés.
On considère un point $M$ d’affixe $z$ et son image $M'$ , d’affixe $z'$ , par la rotation $R$ de centre $O$ et d’angle $\dfrac{2\pi}3$ . Vérifier que $z'=\dfrac12az$ .
On note $H$ l’image de $B$ par $R$ , d’affixe $h$ , et $P$ le point d’affixe $p=a-c$ . a. Vérifier que $h=ip$ . b. Montrer que le triangle $OHP$ est rectangle et isocèle en $O$ .

Voir la solution

1. $\Delta=4-16=-12=\left(2i\sqrt3\right)^2$ : $S=\left\{-1-i\sqrt3\,;\,-1+i\sqrt3\right\}$ .

2. a. $a-d=-3+2\sqrt3+i\sqrt3$ et $c-d=\left(\sqrt3-2\right)-i$ , donc $-\sqrt3(c-d)=-3+2\sqrt3+i\sqrt3=a-d$ .

2. b. $\dfrac{a-d}{c-d}=-\sqrt3\in\mathbb{R}$ : les points $A$ , $C$ et $D$ sont alignés.

3. $z'=e^{i\frac{2\pi}3}z$ et $e^{i\frac{2\pi}3}=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=\dfrac12a$ , donc $z'=\dfrac12az$ .

4. a. $h=\dfrac12ab=\left(-1+i\sqrt3\right)(1+i)=\left(-1-\sqrt3\right)+\left(\sqrt3-1\right)i$ . Et $p=a-c=\left(\sqrt3-1\right)+\left(\sqrt3+1\right)i$ , donc $ip=-\left(\sqrt3+1\right)+\left(\sqrt3-1\right)i=h$ .

4. b. $\dfrac{h-0}{p-0}=i$ : donc $OH=OP$ et $\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OH}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ . Le triangle $OHP$ est rectangle et isocèle en $O$ .

Exercice 5 — Construction géométrique Moyen ★★★☆☆

On considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d’affixes respectives $a=1$ , $b=1+2i$ , $c=1+\sqrt3-i$ et $d=1-\sqrt3-i$ . Le but de l’exercice est de construire les points $C$ et $D$ à la règle et au compas.

a. Montrer que le point $D$ est l’image du point $B$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{2\pi}3$ . b. En déduire que $B$ et $D$ appartiennent à un même cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ , dont on précisera le rayon.
On note $F$ l’image du point $A$ par l’homothétie de centre $B$ et de rapport $\dfrac32$ . a. Montrer que $F$ a pour affixe $z_F=1-i$ . b. Montrer que $F$ est le milieu du segment $[CD]$ . c. Montrer que $\dfrac{c-z_F}{a-z_F}=-i\sqrt3$ . d. En déduire une forme exponentielle du nombre $\dfrac{c-z_F}{a-z_F}$ .
Déduire des questions précédentes que la droite $(AF)$ est la médiatrice du segment $[CD]$ .

Voir la solution

1. a. L’écriture complexe de la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{2\pi}3$ est $z'-1=e^{i\frac{2\pi}3}(z-1)$ . L’image de $B$ a pour affixe $1+\left(-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)(2i)=1-i-\sqrt3=d$ .

1. b. Une rotation conserve les distances au centre : $AD=AB=|2i|=2$ . $B$ et $D$ appartiennent au cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ et de rayon $2$ .

2. a. $z_F-b=\dfrac32(a-b)$ , donc $z_F=1+2i+\dfrac32(-2i)=1-i$ .

2. b. $\dfrac{c+d}2=\dfrac{2-2i}2=1-i=z_F$ : $F$ est le milieu de $[CD]$ .

2. c. $c-z_F=\sqrt3$ et $a-z_F=i$ , donc $\dfrac{c-z_F}{a-z_F}=\dfrac{\sqrt3}i=-i\sqrt3$ .

2. d. $-i\sqrt3=\sqrt3\,e^{-i\frac\pi2}$ .

3. D’après 2.d, $\left(\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FC}\right)\equiv-\dfrac\pi2\;[2\pi]$ : $(AF)\perp(FC)$ , c’est-à-dire $(AF)\perp(CD)$ (car $F\in[CD]$ ). Comme $F$ est le milieu de $[CD]$ , la droite $(AF)$ est la médiatrice de $[CD]$ .

Construction : on place $F$ (image de $A$ par l’homothétie), on trace la perpendiculaire à $(AF)$ en $F$ ; comme $AC=|\sqrt3-i|=2$ et $AD=2$ , les points $C$ et $D$ sont les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle $(\Gamma)$ .

Exercice 6 — Ensembles de points Facile ★★☆☆☆

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant la condition indiquée :

$|z-2+i|=3$ ;
$|z-1+2i|=|z+3-i|$ ;
$\dfrac{z+2i}{z-4+i}\in\mathbb{R}$ ;
$\dfrac{z+2i}{z-4+i}\in i\mathbb{R}$ ;
$\dfrac{1+iz}{1-z}\in i\mathbb{R}$ ;
$\dfrac{z-2}{iz}\in i\mathbb{R}$ ;
$|z+1-3i|=2$ ;
$|iz+3-i|=4$ ;
$|z-2-i|=|z+1-2i|$ ;
$z\overline z+\left(z+\overline z\right)-i\left(z-\overline z\right)=-2$ ;
$\arg(z)\equiv\dfrac\pi3\;[2\pi]$ .

Voir la solution

On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels.

$|z-(2-i)|=3$ : cercle de centre $\Omega_1(2-i)$ et de rayon $3$ .
$|z-(1-2i)|=|z-(-3+i)|$ : médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(1-2i)$ , $B(-3+i)$ , c’est-à-dire la droite d’équation $8x-6y+5=0$ .
Avec $A(-2i)$ et $B(4-i)$ : $\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\in\mathbb{R}$ ( $z\neq z_B$ ) $\iff M=A$ ou $\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right)\equiv0\;[\pi]$ : droite $(AB)$ privée de $B$ .
$\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\in i\mathbb{R}$ $\iff M=A$ ou $(AM)\perp(BM)$ : cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$ .
$1+iz=i(z-i)$ et $1-z=-(z-1)$ , donc $\dfrac{1+iz}{1-z}=-i\,\dfrac{z-i}{z-1}$ , qui est imaginaire pur si et seulement si $\dfrac{z-i}{z-1}\in\mathbb{R}$ : droite passant par $C(i)$ et $D(1)$ , privée de $D$ .
Pour $z\neq0$ : $\dfrac{z-2}{iz}=-i\,\dfrac{z-2}{z}\in i\mathbb{R}\iff\dfrac{z-2}z\in\mathbb{R}$ : droite $(OE)$ avec $E(2)$ , privée de $O$ , c’est-à-dire l’axe des abscisses privé de $O$ .
$|z-(-1+3i)|=2$ : cercle de centre $\Omega_2(-1+3i)$ et de rayon $2$ .
$iz+3-i=i\left(z-1-3i\right)$ et $|i|=1$ : $|z-(1+3i)|=4$ , cercle de centre $\Omega_3(1+3i)$ et de rayon $4$ .
$|z-(2+i)|=|z-(-1+2i)|$ : médiatrice du segment joignant les points d’affixes $2+i$ et $-1+2i$ , c’est-à-dire la droite d’équation $y=3x$ .
$z\overline z=x^2+y^2$ , $z+\overline z=2x$ , $z-\overline z=2iy$ : la condition s’écrit $x^2+y^2+2x+2y=-2$ , soit $(x+1)^2+(y+1)^2=0$ , d’où $x=y=-1$ . L’ensemble est réduit au point d’affixe $-1-i$ .
Demi-droite d’origine $O$ (privée de $O$ ) dirigée par le vecteur d’affixe $e^{i\frac\pi3}$ .

Exercice 7 — Forme trigonométrique et alignement Difficile ★★★★☆

On considère les nombres complexes $a=2-\sqrt3+i$ , $b=1-\left(2-\sqrt3\right)i$ et $c=-\sqrt3+i$ .

Montrer que $a=ib$ .
On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$ : $z^2-2\left(2-\sqrt3\right)z+4\left(2-\sqrt3\right)=0$ . a. Montrer que $a$ est une solution de l’équation $(E)$ . b. En déduire que $a^2=2\left(2-\sqrt3\right)c$ . c. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $c$ . d. En déduire une forme trigonométrique du nombre complexe $a$ . e. Montrer que $\arg\left(\dfrac ab\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ .
On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d’affixes respectives $a^2$ , $b^2$ et $c$ . a. Montrer que $A$ est l’image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\pi$ . b. Montrer que les points $A$ , $B$ , $C$ et $O$ sont alignés.

Voir la solution

1. $ib=i+\left(2-\sqrt3\right)=a$ .

2. a. $a^2=\left(2-\sqrt3\right)^2-1+2\left(2-\sqrt3\right)i=\left(6-4\sqrt3\right)+2\left(2-\sqrt3\right)i$ et $2\left(2-\sqrt3\right)a=\left(14-8\sqrt3\right)+2\left(2-\sqrt3\right)i$ . Donc $a^2-2\left(2-\sqrt3\right)a+4\left(2-\sqrt3\right)=6-4\sqrt3-14+8\sqrt3+8-4\sqrt3=0$ .

2. b. De 2.a : $a^2=2\left(2-\sqrt3\right)a-4\left(2-\sqrt3\right)=2\left(2-\sqrt3\right)(a-2)=2\left(2-\sqrt3\right)\left(-\sqrt3+i\right)=2\left(2-\sqrt3\right)c$ .

2. c. $|c|=\sqrt{3+1}=2$ et $c=2\left(-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)$ : $\arg c\equiv\dfrac{5\pi}6\;[2\pi]$ .

2. d. $2\left(2-\sqrt3\right)>0$ , donc $\left|a^2\right|=4\left(2-\sqrt3\right)$ et $\arg\left(a^2\right)\equiv\dfrac{5\pi}6\;[2\pi]$ . Ainsi $|a|=2\sqrt{2-\sqrt3}$ et $2\arg a\equiv\dfrac{5\pi}6\;[2\pi]$ , soit $\arg a\equiv\dfrac{5\pi}{12}\;[\pi]$ . Comme $\Re(a)=2-\sqrt3>0$ et $\Im(a)=1>0$ , un argument de $a$ appartient à $\left]0;\frac\pi2\right[$ : $\arg a\equiv\dfrac{5\pi}{12}\;[2\pi]$ et $a=2\sqrt{2-\sqrt3}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).$

2. e. $\dfrac ab=i$ , donc $\arg\left(\dfrac ab\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ .

3. a. $b=\dfrac ai=-ia$ , donc $b^2=-a^2$ , soit $a^2=-b^2$ : $A$ est l’image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\pi$ (d’écriture $z'=-z$ ).

3. b. $\dfrac{a^2}c=2\left(2-\sqrt3\right)\in\mathbb{R}$ : $O$ , $A$ , $C$ sont alignés. Et $\dfrac{b^2}{a^2}=-1\in\mathbb{R}$ : $O$ , $A$ , $B$ sont alignés. Donc $A$ , $B$ , $C$ et $O$ sont alignés.

Exercice 8 — Rotation, translation, carré Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-4z+5=0$ .
On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a=3$ et $b=2-i$ . a. On considère un point $M$ d’affixe $z$ et son image $M'$ , d’affixe $z'$ , par la rotation $R$ de centre $A$ et d’angle $-\dfrac\pi2$ . Montrer que $z'=-iz+3+3i$ . b. Vérifier que l’affixe du point $C$ , image de $B$ par $R$ , est $c=2+i$ . c. En déduire la nature du triangle $ABC$ .
On note $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $D$ l’image de $C$ par $t$ . a. Déterminer l’affixe $d$ du point $D$ . b. En déduire la nature du quadrilatère $ABDC$ . c. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|z-2-i|=|2+i|$ .

Voir la solution

1. $\Delta=16-20=-4=(2i)^2$ : $S=\{2-i\,;\,2+i\}$ .

2. a. $z'-3=e^{-i\frac\pi2}(z-3)=-i(z-3)$ , donc $z'=-iz+3+3i$ .

2. b. $c=-i(2-i)+3+3i=-2i-1+3+3i=2+i$ .

2. c. $C=R(B)$ avec $R$ de centre $A$ et d’angle $-\frac\pi2$ : $AC=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv-\dfrac\pi2\;[2\pi]$ . Le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ .

3. a. $d=c+(b-a)=2+i+(-1-i)=1$ .

3. b. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ : $ABDC$ est un parallélogramme ; il a deux côtés consécutifs égaux et perpendiculaires ( $AB=AC$ , $(AB)\perp(AC)$ ) : $ABDC$ est un carré.

3. c. $|z-c|=|c|=OC=\sqrt5$ : cercle de centre $C$ et de rayon $\sqrt5$ (il passe par $O$ ).

Exercice 9 — Carré et triangle équilatéral Difficile ★★★★☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-4\sqrt3\,z+16=0$ .
On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a=2\sqrt3-2i$ et $b=2+2\sqrt3\,i$ . a. Écrire $a$ et $b$ sous forme trigonométrique, puis vérifier que $a^{18}$ est un nombre réel. b. Montrer que le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $O$ .
a. Déterminer l’affixe du point $E$ , image de $A$ par la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OB}$ . b. Montrer que $OAEB$ est un carré.
On considère la rotation $R$ de centre $B$ et d’angle $-\dfrac\pi2$ , qui transforme le point $M$ d’affixe $z$ en $M'$ d’affixe $z'$ . a. Montrer que $z'=-iz+2-2\sqrt3+\left(2+2\sqrt3\right)i$ . b. En déduire que l’affixe du point $C$ , image de $A$ par $R$ , est $c=-2\sqrt3+2i$ .
On considère le point $D$ d’affixe $d=2\sqrt3+6i$ . a. Montrer que les points $O$ , $B$ et $D$ sont alignés. b. Montrer que $\dfrac{d-c}{a-c}=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i$ , puis en déduire que le triangle $ADC$ est équilatéral.

Voir la solution

1. $\Delta=48-64=-16=(4i)^2$ : $S=\left\{2\sqrt3-2i\,;\,2\sqrt3+2i\right\}$ .

2. a. $|a|=|b|=4$ ; $a=4\left(\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12i\right)=4\left(\cos\left(-\dfrac\pi6\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi6\right)\right)$ et $b=4\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i\right)=4\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)$ .

D’après la formule de Moivre, $a^{18}=4^{18}\left(\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)\right)=-4^{18}\in\mathbb{R}$ .

2. b. $\dfrac ba=e^{i\left(\frac\pi3+\frac\pi6\right)}=e^{i\frac\pi2}=i$ : $OB=OA$ et $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ . Le triangle $OAB$ est rectangle et isocèle en $O$ .

3. a. $e=a+b=\left(2\sqrt3+2\right)+\left(2\sqrt3-2\right)i$ .

3. b. $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ : $OAEB$ est un parallélogramme, et d’après 2.b il a un angle droit en $O$ et deux côtés consécutifs égaux : c’est un carré.

4. a. $z'-b=-i(z-b)$ , donc $z'=-iz+(1+i)b=-iz+(1+i)\left(2+2\sqrt3\,i\right)=-iz+2-2\sqrt3+\left(2+2\sqrt3\right)i$ .

4. b. $c=-i\left(2\sqrt3-2i\right)+2-2\sqrt3+\left(2+2\sqrt3\right)i=-2\sqrt3\,i-2+2-2\sqrt3+2i+2\sqrt3\,i=-2\sqrt3+2i$ .

5. a. $d=2\sqrt3+6i=\sqrt3\left(2+2\sqrt3\,i\right)=\sqrt3\,b$ : $\dfrac db=\sqrt3\in\mathbb{R}$ , donc $O$ , $B$ et $D$ sont alignés.

5. b. $\dfrac{d-c}{a-c}=\dfrac{4\sqrt3+4i}{4\sqrt3-4i}=\dfrac{\left(\sqrt3+i\right)^2}{4}=\dfrac{2+2\sqrt3\,i}4=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i=e^{i\frac\pi3}$ .

Donc $CD=CA$ et $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)\equiv\dfrac\pi3\;[2\pi]$ : le triangle $ADC$ est équilatéral.

Exercice 10 — Transformation $z'=az+b$ Facile ★☆☆☆☆

On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d’affixe $z$ , associe le point $M'$ d’affixe $z'=-3z+8+4i$ . Déterminer l’unique point invariant de $f$ , puis en déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .

Voir la solution

$M(z)$ est invariant $\iff z=-3z+8+4i\iff z=2+i$ : le seul point invariant est $\Omega(2+i)$ .

Alors $z'-(2+i)=-3z+6+3i=-3\left(z-(2+i)\right)$ : $f$ est l’homothétie de centre $\Omega(2+i)$ et de rapport $-3$ .

Exercice 11 — Homothétie et cocyclicité Difficile ★★★★☆

On considère les points $A$ , $B$ , $S$ et $\Omega$ d’affixes respectives $a=2+i$ , $b=-i$ , $s=-1+2i$ et $\omega=2-i$ . On note $h$ l’homothétie de centre $S$ et de rapport $3$ , et $C$ et $D$ les images respectives de $A$ et $B$ par $h$ .

a. Déterminer l’écriture complexe de l’homothétie $h$ . b. Montrer que $C$ et $D$ ont pour affixes respectives $c=8-i$ et $d=2-7i$ . c. Montrer que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont cocycliques.
On note $P$ le milieu du segment $[AC]$ . a. Déterminer l’affixe $p$ du point $P$ . b. Montrer que $\dfrac{\omega-p}{b-d}=\dfrac12i$ , puis en déduire que $DB=2P\Omega$ et $\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{P\Omega}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ .

Voir la solution

1. a. $z'-s=3(z-s)$ , soit $z'=3z-2s=3z+2-4i$ .

1. b. $c=3(2+i)+2-4i=8-i$ et $d=3(-i)+2-4i=2-7i$ .

1. c. $\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{6-2i}{-2-2i}=-1+2i\notin\mathbb{R}$ ( $A$ , $B$ , $C$ non alignés) et $\dfrac{b-d}{c-d}=\dfrac{-2+6i}{6+6i}=\dfrac{1+2i}3$ .

Donc $\dfrac{c-a}{b-a}\times\dfrac{b-d}{c-d}=\dfrac{(-1+2i)(1+2i)}3=-\dfrac53\in\mathbb{R}$ : les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont cocycliques.

2. a. $p=\dfrac{a+c}2=\dfrac{10}2=5$ .

2. b. $\dfrac{\omega-p}{b-d}=\dfrac{-3-i}{-2+6i}=\dfrac{(-3-i)(-2-6i)}{40}=\dfrac{20i}{40}=\dfrac12i$ .

En passant au module : $P\Omega=\dfrac12DB$ , soit $DB=2P\Omega$ . En passant à l’argument : $\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{P\Omega}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{\omega-p}{b-d}\right)\equiv\dfrac\pi2\;[2\pi]$ .

Exercice 12 — Formules d’Euler Facile ★★☆☆☆

Linéariser $\sin^2(x)\cos^3(2x)$ pour $x\in\mathbb{R}$ .
À l’aide des formules d’Euler, montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ : $\sin(a)\sin(b)=\dfrac12\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)$ .

Voir la solution

1. $\sin^2x=\left(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2=\dfrac{2-e^{2ix}-e^{-2ix}}4=\dfrac{1-\cos2x}2$ et $\cos^3(2x)=\dfrac{\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)^3}8=\dfrac{2\cos6x+6\cos2x}8=\dfrac{\cos6x+3\cos2x}4$ .

Donc $\sin^2x\cos^3(2x)=\dfrac18\left(3\cos2x+\cos6x-3\cos^22x-\cos2x\cos6x\right)$ . Avec $\cos^22x=\dfrac{1+\cos4x}2$ et $\cos2x\cos6x=\dfrac{\cos4x+\cos8x}2$ : $\sin^2x\cos^3(2x)=-\frac3{16}+\frac38\cos2x-\frac14\cos4x+\frac18\cos6x-\frac1{16}\cos8x.$

2. $\sin a\sin b=\dfrac{\left(e^{ia}-e^{-ia}\right)\left(e^{ib}-e^{-ib}\right)}{(2i)^2}=-\dfrac{e^{i(a+b)}+e^{-i(a+b)}-e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)}}4=-\dfrac{2\cos(a+b)-2\cos(a-b)}4$ , soit $\sin a\sin b=\dfrac12\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)$ .

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 41.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 7 — Nombres complexes

Cours

I. Forme algébrique d’un nombre complexe

1. Définition

2. Exemples

3. Représentation géométrique

4. Conjugué et inverse

II. Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle

1. Module

2. Argument

3. Forme trigonométrique

4. Notation exponentielle et formule de Moivre

III. Nombres complexes et géométrie

1. Distances et angles

2. Configurations remarquables

IV. Équations du second degré dans C\mathbb{C}C

V. Transformations du plan

VI. Formules d’Euler et linéarisation

VII. Ensembles de points

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Forme algébrique Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Équation, rotation, valeurs remarquables Moyen ★★★☆☆

Exercice 3 — Équation et rotation Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Alignement, rotation, triangle Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Construction géométrique Moyen ★★★☆☆

Exercice 6 — Ensembles de points Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Forme trigonométrique et alignement Difficile ★★★★☆

Exercice 8 — Rotation, translation, carré Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Carré et triangle équilatéral Difficile ★★★★☆

Exercice 10 — Transformation z′=az+bz'=az+bz′=az+b Facile ★☆☆☆☆

Exercice 11 — Homothétie et cocyclicité Difficile ★★★★☆

Exercice 12 — Formules d’Euler Facile ★★☆☆☆

Quiz — testez-vous

IV. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Exercice 10 — Transformation $z'=az+b$ Facile ★☆☆☆☆