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Chapitre 9 — Dérivation

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Dérivabilité en un point --- II. Interprétation géométrique --- III. Approximation affine --- IV. Dérivabilité à droite et à gauche --- V. Fonction dérivée --- VI. Opérations sur les dérivées --- VII. Dérivées successives --- VIII. Sens de variation --- IX. Extremums --- X. Équation différentielle $y''+\omega^2 y=0$ .

Durée indicative : 10 heures. Prérequis : limites d’une fonction, fonctions de référence, trigonométrie.

I. Dérivabilité d’une fonction en un point

Activité 1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ .

1) Montrer que $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=6$ .

2) En déduire que $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=6$ .

3) Montrer que $f$ est dérivable en $-1$ et calculer $f'(-1)$ .

Voir la solution

1) $f(x)-f(3)=x^2-9=(x-3)(x+3)$ , donc pour $x\neq3$ : $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=x+3\to3+3=6$ .

2) On pose $h=x-3$ . Quand $x\to3$ , on a $h\to0$ , et $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h\to6$ .

3) $\dfrac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{x^2-1}{x+1}=x-1$ pour $x\neq-1$ . Donc $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=-1-1=-2$ . Ainsi $f$ est dérivable en $-1$ et $f'(-1)=-2$ .

Définition 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ .

On dit que $f$ est dérivable en $a$ s’il existe un réel $\ell$ tel que $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$ Le réel $\ell$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ . On le note $f'(a)$ .

Remarque 1

Si l’on pose $h=x-a$ , alors $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$ est équivalent à $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell$ .

Application 1

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ dans les cas suivants :

1) $f(x)=x^2$ et $a=1$ ; $\quad$ 2) $f(x)=2x^2-7x+7$ et $a=2$ ;

3) $f(x)=\sin(2x)$ et $a=0$ ; $\quad$ 4) $f(x)=\cos x$ et $a=0$ .

Voir la solution

1) $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2$ . Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$ .

2) $f(2)=2\times4-14+7=1$ . $\dfrac{f(x)-1}{x-2}=\dfrac{2x^2-7x+6}{x-2}$ . Or $2x^2-7x+6=(x-2)(2x-3)$ , donc le quotient vaut $2x-3\to1$ . Ainsi $f'(2)=1$ .

3) $\dfrac{\sin(2x)-\sin0}{x-0}=\dfrac{\sin(2x)}{x}=2\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2x}\to2\times1=2$ . Donc $f'(0)=2$ .

4) $\dfrac{\cos x-\cos0}{x}=\dfrac{\cos x-1}{x}\to0$ (limite usuelle). Donc $f'(0)=0$ .

II. Interprétation géométrique du nombre dérivé

Définition 2

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.

On appelle tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $a$ la droite passant par $A\bigl(a;f(a)\bigr)$ et de coefficient directeur $f'(a)$ .

Son équation est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Application 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x+3}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $1$ .

Voir la solution

$f(1)=\sqrt4=2$ . Pour $x\neq1$ : $\dfrac{f(x)-2}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ . On multiplie par la conjuguée : $\dfrac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac1{4}.$ Donc $f'(1)=\dfrac14$ et $(T):y=\dfrac14(x-1)+2$ , soit $y=\dfrac14x+\dfrac74$ .

Remarque 2

La tangente en un point de la courbe permet de déterminer la position de celle-ci au voisinage de ce point. Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ appartiennent à la tangente $(T)$ , alors $f'(a)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .

III. Approximation affine d’une fonction

Définition 3

Soit $f$ dérivable en $a$ . La fonction affine $g$ définie par $g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ est appelée approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ . Pour tout réel $h$ voisin de $a$ , on a $f(h)\simeq g(h)$ .

Application 3

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(1+x)^2$ .

1) Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$ .

2) Déterminer la fonction $g$ , approximation affine de $f$ au voisinage de $0$ .

3) Vérifier que $(1{,}0001)^2=f(0{,}0001)$ et $(1{,}009)^2=f(0{,}009)$ , puis en déduire une valeur approchée de ces deux nombres.

4) Montrer que, pour tout réel $h$ voisin de zéro, on a $(1+h)^2\simeq1+2h$ .

Voir la solution

1) $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h\to2$ . Donc $f'(0)=2$ .

2) $g(x)=f'(0)(x-0)+f(0)=2x+1$ .

3) $f(0{,}0001)=(1{,}0001)^2$ et $f(0{,}009)=(1{,}009)^2$ . Approximations : $g(0{,}0001)=1{,}0002$ et $g(0{,}009)=1{,}018$ .

4) $g(h)=1+2h$ , donc $(1+h)^2\simeq1+2h$ .

IV. Dérivabilité à droite et à gauche

Définition 4

Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $[a;b[$ .

On dit que $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est finie. Cette limite est notée $f'_d(a)$ .

Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $]b;a]$ .

On dit que $f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est finie. Cette limite est notée $f'_g(a)$ .

Application 4

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $a$ dans les cas suivants :

1) $f(x)=\begin{cases}\sqrt x&\text{si }x\ge4\\ x^2+3&\text{si }x<4\end{cases}$ , $a=4$ ;

2) $f(x)=|x-3|$ , $a=3$ .

Voir la solution

1) $f(4)=\sqrt4=2$ .

À droite : $\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\dfrac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\dfrac1{\sqrt{4+h}+2}\to\dfrac14$ . Donc $f'_d(4)=\dfrac14$ .

À gauche : $\dfrac{(4+h)^2+3-2}{h}=\dfrac{16+8h+h^2+1}{h}$ avec $h\to0^-$ : le numérateur tend vers $17$ et le dénominateur vers $0^-$ , donc la limite vaut $-\infty$ . Ainsi $f$ n’est pas dérivable à gauche en $4$ .

2) $f(3)=0$ . Pour $x>3$ , $|x-3|=x-3$ , donc $\dfrac{f(x)}{x-3}=1\to1$ : $f'_d(3)=1$ . Pour $x<3$ , $|x-3|=3-x$ , donc $\dfrac{f(x)}{x-3}=-1\to-1$ : $f'_g(3)=-1$ .

Propriété 3

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ et $f'_d(a)=f'_g(a)$ .

Application 5

Étudier la dérivabilité de $f$ en $a$ dans les cas de l’application précédente.

Voir la solution

1) $f$ n’est pas dérivable à gauche en $4$ , donc $f$ n’est pas dérivable en $4$ .

2) $f'_d(3)=1\neq-1=f'_g(3)$ , donc $f$ n’est pas dérivable en $3$ (point anguleux).

Remarque

Interprétation géométrique. Si $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$ , alors $(C_f)$ admet au point $A\bigl(a;f(a)\bigr)$ une demi-tangente d’équation $y=f'_d(a)(x-a)+f(a)$ avec $x\ge a$ (resp. $y=f'_g(a)(x-a)+f(a)$ avec $x\le a$ ).

Exemple 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\bigl|x^2-x\bigr|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement.

Voir la solution

On a $f(0)=0$ . Sur $]-\infty;0]$ , $x^2-x=x(x-1)\ge0$ , donc $f(x)=x^2-x$ et $\dfrac{f(x)}{x}=x-1\to-1$ : $f'_g(0)=-1$ .

Sur $[0;1]$ , $f(x)=x-x^2$ et $\dfrac{f(x)}{x}=1-x\to1$ : $f'_d(0)=1$ .

Comme $f'_g(0)\neq f'_d(0)$ , $f$ n’est pas dérivable en $0$ . La courbe admet au point $O$ deux demi-tangentes de directions différentes : $O$ est un point anguleux.

Application 6

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\begin{cases}x^2-3&\text{si }x\ge2\\ x^3-7&\text{si }x<2\end{cases}$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $2$ , puis interpréter graphiquement.

Voir la solution

$f(2)=4-3=1$ . À gauche : $\lim\limits_{x\to2^-}(x^3-7)=1=f(2)$ .

$\dfrac{f(x)-1}{x-2}$ : à droite, $\dfrac{x^2-3-1}{x-2}=\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4$ , donc $f'_d(2)=4$ .

À gauche, $\dfrac{x^3-7-1}{x-2}=\dfrac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4\to12$ , donc $f'_g(2)=12$ .

Comme $f'_d(2)\neq f'_g(2)$ , $f$ n’est pas dérivable en $2$ : point anguleux, avec demi-tangentes $y=4(x-2)+1$ ( $x\ge2$ ) et $y=12(x-2)+1$ ( $x\le2$ ).

Propriété 4

Si $\lim\limits_{x\to a^\pm}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty$ , alors $(C_f)$ admet au point d’abscisse $a$ une demi-tangente verticale d’équation $x=a$ .

V. Dérivabilité sur un intervalle et fonction dérivée

Activité 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt x$ .

1) Déterminer $D_f$ et montrer que $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ .

2) Soit $t\in]0;+\infty[$ . Montrer que $f$ est dérivable en $t$ et que $f'(t)=\dfrac1{2\sqrt t}$ .

Voir la solution

1) $D_f=[0;+\infty[$ . $\dfrac{\sqrt h-0}{h}=\dfrac1{\sqrt h}\to+\infty$ quand $h\to0^+$ : $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ (demi-tangente verticale).

2) $\dfrac{\sqrt x-\sqrt t}{x-t}=\dfrac{x-t}{(x-t)(\sqrt x+\sqrt t)}=\dfrac1{\sqrt x+\sqrt t}\to\dfrac1{2\sqrt t}$ .

Définition 5

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ . On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ .

Remarque 4

$f$ est dérivable sur $[a;b]$ lorsqu’elle est dérivable sur $]a;b[$ , à droite en $a$ et à gauche en $b$ .

Définition 6

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ . On appelle fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ , la fonction qui à tout $x\in I$ associe $f'(x)$ .

Exemple 2

On considère $f(x)=x^3$ . Soit $t\in\mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est dérivable en $t$ et déterminer $f'$ .

Voir la solution

$\dfrac{x^3-t^3}{x-t}=x^2+xt+t^2\to3t^2$ . Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(t)=3t^2$ , soit $f'(x)=3x^2$ .

Propriété 5 (dérivées usuelles)

$f(x)$	$D_f$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$\mathbb{R}$	$0$
$ax+b$	$\mathbb{R}$	$a$
$x^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$\mathbb{R}$	$nx^{n-1}$
$\dfrac1x$	$\mathbb{R}^*$	$-\dfrac1{x^2}$
$\sqrt x$	$[0;+\infty[$	$\dfrac1{2\sqrt x}$ (sur $]0;+\infty[$ )
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$-\sin x$
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$\cos x$
$\tan x$	$\mathbb{R}\setminus\{\frac\pi2+k\pi\}$	$1+\tan^2 x$
$\cos(ax+b)$	$\mathbb{R}$	$-a\sin(ax+b)$
$\sin(ax+b)$	$\mathbb{R}$	$a\cos(ax+b)$

Application 7

Déterminer la fonction dérivée de $f$ dans les cas suivants : $f(x)=x^7$ ; $f(x)=x^{25}$ ; $f(x)=\dfrac1x$ ; $f(x)=-5x+3$ ; $f(x)=\sqrt x$ ; $f(x)=\sin(-5x+3)$ .

Voir la solution

$f'(x)=7x^6$ ; $f'(x)=25x^{24}$ ; $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$ ; $f'(x)=-5$ ; $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ ; $f'(x)=-5\cos(-5x+3)$ .

VI. Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 6

Soient $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ , $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}^*$ .

Fonction	Dérivée
$u+v$	$u'+v'$
$uv$	$u'v+uv'$
$au$	$au'$
$\dfrac1u$ ( $u\neq0$ )	$-\dfrac{u'}{u^2}$
$\dfrac uv$ ( $v\neq0$ )	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\sqrt u$ ( $u>0$ )	$\dfrac{u'}{2\sqrt u}$
$u^n$	$nu'u^{n-1}$

Exemple 3

Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^4+x^2$ . Calculer $h'(x)$ .

Voir la solution

$h$ est somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ , donc $h'(x)=4x^3+2x$ .

Application 8

Calculer $f'(x)$ dans les cas suivants : $f(x)=\sqrt x+x^3$ ; $f(x)=x\cos x$ ; $f(x)=3\sin x$ ; $f(x)=(2x+3)^4$ ; $f(x)=\dfrac1{x^2+1}$ ; $f(x)=\dfrac{x+3}{x^2+6}$ .

Voir la solution

$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}+3x^2$ ;

$f'(x)=\cos x-x\sin x$ (produit) ;

$f'(x)=3\cos x$ ;

$f'(x)=4\cdot2\cdot(2x+3)^3=8(2x+3)^3$ ;

$f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ ;

$f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+6)-(x+3)\cdot2x}{(x^2+6)^2}=\dfrac{x^2+6-2x^2-6x}{(x^2+6)^2}=\dfrac{-x^2-6x+6}{(x^2+6)^2}$ .

Propriété 7

Toute fonction polynomiale est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle de son ensemble de définition.

Application 9

En utilisant la définition du nombre dérivé, calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^7-128}{x-2}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ ) ;

$\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\dfrac{\cos x-\frac12}{x-\frac\pi3}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\dfrac{2\sin x-\sqrt2}{x-\frac\pi4}$ .

Voir la solution

Ce sont les nombres dérivés :

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^7-2^7}{x-2}=(x\mapsto x^7)'(2)=7\cdot2^6=7\cdot64=448$ .

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}=n\cdot1^{n-1}=n$ .

$\lim\limits_{x\to\pi/3}\dfrac{\cos x-\cos(\pi/3)}{x-\pi/3}=(-\sin(\pi/3))=-\dfrac{\sqrt3}2$ .

$\lim\limits_{x\to\pi/4}\dfrac{2\sin x-2\sin(\pi/4)}{x-\pi/4}=2\cos(\pi/4)=2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\sqrt2$ .

VII. Dérivées successives

Définition 7

Si $f'$ est dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable. La dérivée de $f'$ est la dérivée seconde, notée $f''$ ou $f^{(2)}$ .

Exemple 4

Soit $f(x)=x^3-4x^2+x+5$ . Calculer $f'$ , $f''$ , $f^{(3)}$ et $f^{(n)}$ pour $n\ge4$ .

Voir la solution

$f'(x)=3x^2-8x+1$ ; $f''(x)=6x-8$ ; $f^{(3)}(x)=6$ ; $f^{(n)}(x)=0$ pour tout $n\ge4$ .

Application 10

1) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ . Calculer la dérivée d’ordre $3$ de $f$ .

2) Soit $g(x)=\sin x$ . Déterminer $g'(x)$ , $g''(x)$ et $g^{(4)}(x)$ .

Voir la solution

1) $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$ ; $f''(x)=\dfrac2{x^3}$ ; $f^{(3)}(x)=-\dfrac6{x^4}$ .

2) $g'(x)=\cos x$ ; $g''(x)=-\sin x$ ; $g^{(3)}(x)=-\cos x$ ; $g^{(4)}(x)=\sin x=g(x)$ .

VIII. Dérivée et sens de variation

Activité 3

On considère $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ .

1) Déterminer $D_f$ . 2) Déterminer $D_{f'}$ . 3) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .

4) Calculer $f'(x)$ . 5) Dresser le tableau de variations de $f$ .

6) Déterminer l’équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $2$ .

Voir la solution

1) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

2) $D_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

3) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2$ , $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ .

4) $f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{-5}{(x-1)^2}<0$ sur $D_{f'}$ .

5) $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$ .

6) $f(2)=7$ , $f'(2)=-5$ . Tangente : $y=-5(x-2)+7$ , soit $y=-5x+17$ .

Propriété 8

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\ge0$ pour tout $x\in I$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\le0$ pour tout $x\in I$ .
$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$ .
Si $f'\ge0$ (resp. $\le0$ ) sur $I$ et ne s’annule qu’en des points isolés, alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$ .

Application 11

On considère $f(x)=-x^3+x^2+5x+1$ .

1) $D_f$ ; 2) $D_{f'}$ ; 3) limites aux bornes ; 4) $f'(x)$ ; 5) tableau de variations ; 6) tangente en $2$ .

Voir la solution

1) $D_f=\mathbb{R}$ . 2) $D_{f'}=\mathbb{R}$ .

3) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .

4) $f'(x)=-3x^2+2x+5$ . Discriminant $\Delta=4+60=64$ , racines $x=\dfrac{-2\pm8}{-6}$ , soit $x_1=-\dfrac53$ et $x_2=1$ . Comme le coefficient de $x^2$ est $-3<0$ , $f'(x)\ge0$ sur $\bigl[-\frac53;1\bigr]$ et $f'(x)\le0$ ailleurs.

5) $f$ décroît sur $]-\infty;-\frac53]$ , croît sur $\bigl[-\frac53;1\bigr]$ , décroît sur $[1;+\infty[$ . $f\bigl(-\frac53\bigr)=-\bigl(-\frac{125}{27}\bigr)+\frac{25}{9}-\frac{25}{3}+1=\dfrac{125}{27}+\dfrac{75}{27}-\dfrac{225}{27}+\dfrac{27}{27}=\dfrac{2}{27}$ . $f(1)=-1+1+5+1=6$ .

6) $f(2)=-8+4+10+1=7$ , $f'(2)=-12+4+5=-3$ . Tangente : $y=-3(x-2)+7$ , soit $y=-3x+13$ .

IX. Dérivée et extremums

Activité 4

On considère $f(x)=x^2-2x+5$ .

1) Étudier les variations de $f$ . 2) En déduire qu’elle admet un extremum. 3) En déduire que $(\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\ge4$ .

Voir la solution

1) $f'(x)=2x-2=2(x-1)$ . $f'<0$ sur $]-\infty;1[$ , $f'>0$ sur $]1;+\infty[$ .

2) $f$ admet un minimum local (et global) en $1$ : $f(1)=4$ .

3) Comme $f(x)\ge f(1)=4$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

Propriété 9

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ .

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $f'(a)=0$ .
Si $f'(a)=0$ et $f'$ change de signe au voisinage de $a$ , alors $f(a)$ est un extremum local de $f$ .

Remarque 9

$f'(a)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^3$ , on a $f'(0)=0$ mais $f(0)$ n’est pas un extremum.

Application 12

1) Dresser le tableau de variations de $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$ .

2) En déduire que $f$ admet une valeur maximale globale à déterminer.

Voir la solution

1) $f'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}$ . Donc $f'>0$ sur $]-\infty;0[$ , $f'<0$ sur $]0;+\infty[$ .

2) $f$ admet un maximum global en $0$ : $f(0)=1$ .

Application 13

Déterminer les extremums locaux de $f(x)=x^3+3x^2$ .

Voir la solution

$f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ . Racines $0$ et $-2$ . $f'$ change de $+$ , $0$ , $-$ en $-2$ (maximum local $f(-2)=4$ ) et de $-$ , $0$ , $+$ en $0$ (minimum local $f(0)=0$ ).

Application 14

Montrer que $(\forall x\in[0;+\infty[)\ x-\cos x\ge-1$ . (Indication : étudier $f(x)=x-\cos x$ .)

Voir la solution

$f'(x)=1+\sin x\ge0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ . Ainsi $f(x)\ge f(0)=0-1=-1$ .

X. L’équation différentielle $y''+\omega^2 y=0$

Activité 5

Soit $f(x)=\cos(3x)$ . Vérifier que $f''(x)+9f(x)=0$ .

Voir la solution

$f'(x)=-3\sin(3x)$ , $f''(x)=-9\cos(3x)=-9f(x)$ , donc $f''(x)+9f(x)=0$ .

Définition 8

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées.

Soit $\omega\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Les solutions de $y''+\omega^2 y=0$ sont les fonctions $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ , où $a,b\in\mathbb{R}$ .

Application 15

1) Résoudre : $(E_1):y''+4y=0$ ; $(E_2):y''+16y=0$ ; $(E_3):y''+5y=0$ ; $(E_4):2y''+16y=0$ .

2) Déterminer la solution de $(E_2)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=-1$ .

Voir la solution

1) $(E_1)$ : $\omega^2=4$ , $\omega=2$ : $y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ .

$(E_2)$ : $\omega=4$ : $y(x)=a\cos(4x)+b\sin(4x)$ .

$(E_3)$ : $\omega=\sqrt5$ : $y(x)=a\cos(\sqrt5\,x)+b\sin(\sqrt5\,x)$ .

$(E_4)$ : $y''+8y=0$ , $\omega=2\sqrt2$ : $y(x)=a\cos(2\sqrt2\,x)+b\sin(2\sqrt2\,x)$ .

2) $y(0)=a=0$ , donc $y(x)=b\sin(4x)$ . $y'(x)=4b\cos(4x)$ , $y'(0)=4b=-1$ , donc $b=-\dfrac14$ . Ainsi $y(x)=-\dfrac14\sin(4x)$ .

Remarque 10

L’équation $y''+\omega^2 y=0$ admet une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$ . Les solutions de $y''=0$ sont les fonctions affines $x\mapsto ax+b$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Dérivabilité en un point Facile ★☆☆☆☆

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ et interpréter les résultats obtenus dans les cas suivants :

1) $f(x)=5x+2$ et $a=1$ ;

2) $f(x)=\sqrt{3x-2}$ et $a=2$ ;

3) $f(x)=\begin{cases}1-\cos x&\text{si }x\ge0\\ \sin x&\text{si }x<0\end{cases}$ et $a=0$ ;

4) $f(x)=x^3$ et $a=-1$ .

Voir la solution

1) $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{(5x+2)-(5+2)}{x-1}=\dfrac{5(x-1)}{x-1}=5\to5$ . Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=5$ . La courbe admet une tangente d’équation $y=5(x-1)+7$ , soit $y=5x+2$ (la courbe elle-même).

2) $f(2)=\sqrt{4}=2$ . $\dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}=\dfrac3{\sqrt{3x-2}+2}\to\dfrac34$ . Donc $f'(2)=\dfrac34$ . Tangente : $y=\dfrac34(x-2)+2$ .

3) $f(0)=1-1=0$ . À droite : $\dfrac{1-\cos h}{h}\to0$ , donc $f'_d(0)=0$ . À gauche : $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ , donc $f'_g(0)=1$ . Comme $f'_d(0)\neq f'_g(0)$ , $f$ n’est pas dérivable en $0$ : point anguleux.

4) $\dfrac{x^3-(-1)}{x+1}=\dfrac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1\to3$ . Donc $f'(-1)=3$ . Tangente : $y=3(x+1)-1$ , soit $y=3x+2$ .

Exercice 2 — Approximation affine Facile ★★☆☆☆

1) On considère la fonction $f$ telle que $f(x)=(1+x)^5$ . Donner l’approximation affine de $f$ au voisinage de zéro et en déduire une valeur approchée du nombre $(1{,}004)^5$ .

2) Montrer que pour tout réel $h$ voisin de zéro, on a : $\dfrac1{1+h}\simeq1-h\qquad\text{et}\qquad\sqrt{1+h}\simeq1+\dfrac h2.$

Voir la solution

1) $f(0)=1$ . $\dfrac{(1+h)^5-1}{h}$ . En développant $(1+h)^5=1+5h+10h^2+\cdots$ , le quotient vaut $5+10h+\cdots\to5$ . Donc $f'(0)=5$ et $g(x)=1+5x$ . Ainsi $(1{,}004)^5=f(0{,}004)\simeq g(0{,}004)=1{,}02$ .

2) Pour $u(x)=\dfrac1{1+x}$ , $u'(0)=-1$ , donc $\dfrac1{1+h}\simeq1-h$ . Pour $v(x)=\sqrt{1+x}$ , $v'(0)=\dfrac12$ , donc $\sqrt{1+h}\simeq1+\dfrac h2$ .

Exercice 3 — Calcul de dérivées Facile ★☆☆☆☆

Préciser l’ensemble sur lequel la fonction $f$ est dérivable et calculer $f'(x)$ , lorsqu’il existe, dans chacun des cas suivants :

1) $f(x)=x^4-5x^2+7x+3$ ; $\quad$ 2) $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}$ ;

3) $f(x)=\sqrt{x+5}$ ; $\quad$ 4) $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ ;

5) $f(x)=x^2\sqrt{x-1}$ ; $\quad$ 6) $f(x)=2+\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{x^3}$ .

Voir la solution

1) Polynôme : dérivable sur $\mathbb{R}$ , $f'(x)=4x^3-10x+7$ .

2) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}$ (car $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ ). Sur chaque intervalle de $D_f$ : $f'(x)=\dfrac{2(x^2+x-2)-(2x+1)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{2x^2+2x-4-(4x^2+4x+1)}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{-2x^2-2x-5}{(x^2+x-2)^2}.$

3) $D_f=[-5;+\infty[$ , dérivable sur $]-5;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x+5}}$ .

4) Dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$ .

5) $D_f=[1;+\infty[$ , dérivable sur $]1;+\infty[$ : $f(x)=x^2(x-1)^{1/2}$ , $f'(x)=2x\sqrt{x-1}+x^2\cdot\dfrac1{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{4x(x-1)+x^2}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{4x^2-4x+x^2}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{5x^2-4x}{2\sqrt{x-1}}.$

6) $D_f=]0;+\infty[$ , $f'(x)=-\dfrac1{2}x^{-3/2}-3x^{-4}=-\dfrac1{2x\sqrt x}-\dfrac3{x^4}$ .

Exercice 4 — Raccordement $C^1$ Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases}4\sqrt{x+1}&\text{si }x\ge3\\ x^2-5x+c&\text{si }x<3.\end{cases}$

1) Déterminer le réel $c$ pour que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=f(3)$ .

2) Pour la valeur de $c$ trouvée, montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée.

Voir la solution

1) $f(3)=4\sqrt4=8$ . $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=9-15+c=c-6$ . On veut $c-6=8$ , soit $c=14$ .

2) Pour $c=14$ , $f$ est continue en $3$ . Sur $]3;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac4{2\sqrt{x+1}}=\dfrac2{\sqrt{x+1}}$ ; sur $]-\infty;3[$ , $f'(x)=2x-5$ . $f'_d(3)=\dfrac2{\sqrt4}=1$ ; $f'_g(3)=6-5=1$ . Donc $f'_d(3)=f'_g(3)$ : $f$ est dérivable en $3$ , et $f'(x)=\begin{cases}\dfrac2{\sqrt{x+1}}&\text{si }x\ge3\\ 2x-5&\text{si }x<3.\end{cases}$

Exercice 5 — Limites via le nombre dérivé Facile ★★☆☆☆

En utilisant la définition du nombre dérivé, calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{(x-2)^{2021}-1}{x-3}$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x\sqrt{x+7}-6}{x-2}$ ;

3) $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{\dfrac1{x+2}-1}{x+1}$ ; $\quad$ 4) $\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\dfrac{2\cos x-1}{\tan x-\sqrt3}$ .

Voir la solution

1) C’est le nombre dérivé de $u(x)=(x-2)^{2021}$ en $3$ : $u'(x)=2021(x-2)^{2020}$ , $u'(3)=2021$ .

2) Nombre dérivé de $v(x)=x\sqrt{x+7}$ en $2$ . $v'(x)=\sqrt{x+7}+x\cdot\dfrac1{2\sqrt{x+7}}=\dfrac{2(x+7)+x}{2\sqrt{x+7}}=\dfrac{3x+14}{2\sqrt{x+7}}$ , $v'(2)=\dfrac{6+14}{2\cdot3}=\dfrac{20}6=\dfrac{10}3$ .

3) Nombre dérivé de $w(x)=\dfrac1{x+2}$ en $-1$ : $w'(x)=-\dfrac1{(x+2)^2}$ , $w'(-1)=-1$ .

4) Quotient de taux : $\dfrac{2\cos x-2\cos(\pi/3)}{\tan x-\tan(\pi/3)}=\dfrac{2(\cos x-\frac12)}{\tan x-\sqrt3}$ . La limite vaut $\dfrac{(2\cos)'(\pi/3)}{(\tan)'(\pi/3)}=\dfrac{-2\sin(\pi/3)}{1+\tan^2(\pi/3)}=\dfrac{-2\cdot\frac{\sqrt3}2}{1+3}=\dfrac{-\sqrt3}4$ .

Exercice 6 — Tableau de variations Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$ .

1) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2) En déduire que $f$ possède deux extremums locaux dont on précisera la nature et la valeur.

Voir la solution

1) $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)$ . $f'(x)=0$ pour $x=-2$ et $x=1$ . Signe de $f'$ : $+$ sur $]-\infty;-2[$ , $-$ sur $]-2;1[$ , $+$ sur $]1;+\infty[$ . $f(-2)=-16+12+24+1=21$ ; $f(1)=2+3-12+1=-6$ . $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ .

2) Maximum local en $-2$ : $f(-2)=21$ ; minimum local en $1$ : $f(1)=-6$ .

Exercice 7 — Tableaux de variations Facile ★★☆☆☆

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ dans les cas suivants :

1) $f(x)=x-\dfrac1x$ ; $\quad$ 2) $f(x)=3x^4-2x^2+1$ ;

3) $f(x)=\dfrac4{x^2-2x}$ ; $\quad$ 4) $f(x)=\dfrac{x^2+4x+1}{x+1}$ .

Voir la solution

1) $D_f=\mathbb{R}^*$ , $f'(x)=1+\dfrac1{x^2}>0$ sur $\mathbb{R}^*$ . $f$ strictement croissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ . $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ .

2) $f'(x)=12x^3-4x=4x(3x^2-1)$ . Racines $0$ , $\pm\dfrac1{\sqrt3}$ . $f$ croît sur $\bigl]-\infty;-\frac1{\sqrt3}\bigr]$ , décroît sur $\bigl[-\frac1{\sqrt3};0\bigr]$ , croît sur $\bigl[0;\frac1{\sqrt3}\bigr]$ , décroît sur $\bigl[\frac1{\sqrt3};+\infty\bigr]$ . $f\bigl(\pm\frac1{\sqrt3}\bigr)=3\cdot\frac1{9}-2\cdot\frac1{3}+1=\frac13-\frac23+1=\frac23$ ; $f(0)=1$ .

3) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}$ , $f'(x)=\dfrac{-4(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=\dfrac{-8(x-1)}{(x(x-2))^2}$ . $f'>0$ sur $]0;1[$ et $]1;2[$ est faux : le dénominateur est toujours positif, donc $f'>0$ sur les intervalles où $-(x-1)>0$ , i.e. $x<1$ (hors $\{0\}$ ), et $f'<0$ pour $x>1$ (hors $\{2\}$ ).

4) Division : $f(x)=x+3-\dfrac2{x+1}$ pour $x\neq-1$ . $f'(x)=1+\dfrac2{(x+1)^2}>0$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Strictement croissante sur chaque intervalle.

Exercice 8 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

Dans la figure ci-dessous, $(C_f)$ est la courbe représentative d’une fonction $f$ dans le repère orthonormé $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ .

1) Déterminer $f(-2)$ , $f'(-2)$ et $f'(-1)$ .

2) Déterminer graphiquement $f'_g(1)$ et $f'_d(1)$ . En déduire que $f$ n’est pas dérivable en $1$ .

3) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$ (on donne $f(3)=\dfrac{25}8$ ).

4) En déduire le tableau de signes de $f'$ sur $[-3;3]$ .

Voir la solution

1) Lecture graphique : $f(-2)=2$ . La tangente en $-2$ a pour coefficient directeur $2$ , donc $f'(-2)=2$ . En $-1$ , la tangente est horizontale : $f'(-1)=0$ .

2) Demi-tangente à gauche en $1$ : pente environ $-4$ , donc $f'_g(1)\simeq-4$ . Demi-tangente à droite : pente $2$ , donc $f'_d(1)=2$ . Comme $f'_g(1)\neq f'_d(1)$ , $f$ n’est pas dérivable en $1$ (point anguleux).

3) Sur $[-3;-1]$ , $f$ croît de $f(-3)=1$ (lecture) à $f(-1)=3$ ; sur $[-1;1]$ , $f$ décroît de $3$ à $f(1)=-1$ ; sur $[1;3]$ , $f$ croît de $-1$ à $\dfrac{25}8$ .

4) $f'\ge0$ sur $[-3;-1]$ , $f'\le0$ sur $[-1;1[$ (à gauche), $f'\ge0$ sur $]1;3]$ ; en $1$ , $f'$ n’existe pas.

Exercice 9 — Inégalité $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ Moyen ★★★☆☆

$b$ et $c$ sont deux nombres réels strictement positifs. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=x^3+b^3+c^3-3xbc.$

1) Vérifier que $f(\sqrt{bc})=\bigl(b^{3/2}-c^{3/2}\bigr)^2$ .

2) Vérifier que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=3\bigl(x+\sqrt{bc}\bigr)\bigl(x-\sqrt{bc}\bigr)$ .

3) Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

4) En déduire que $f$ admet une valeur minimale positive sur $\mathbb{R}_+^*$ .

5) Déduire que, pour tous $a,b,c\in]0;+\infty[$ , $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ .

Voir la solution

1) $f(\sqrt{bc})=(bc)^{3/2}+b^3+c^3-3bc\sqrt{bc}=b^3+c^3-2(bc)^{3/2}=\bigl(b^{3/2}-c^{3/2}\bigr)^2$ .

2) $f'(x)=3x^2-3bc=3(x^2-bc)=3\bigl(x-\sqrt{bc}\bigr)\bigl(x+\sqrt{bc}\bigr)$ .

3) Comme $x+\sqrt{bc}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $x-\sqrt{bc}$ . Donc $f'<0$ sur $]0;\sqrt{bc}[$ et $f'>0$ sur $]\sqrt{bc};+\infty[$ . Minimum en $\sqrt{bc}$ .

4) La valeur minimale est $f(\sqrt{bc})=\bigl(b^{3/2}-c^{3/2}\bigr)^2\ge0$ .

5) Pour $a>0$ , $f(a)=a^3+b^3+c^3-3abc\ge f(\sqrt{bc})\ge0$ , d’où $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ .

Exercice 10 — Optimisation Moyen ★★★☆☆

Un éditeur doit produire un livre avec les contraintes suivantes : sur chaque page, le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de $300\,\mathrm{cm}^2$ ; les marges doivent mesurer $1{,}5\,\mathrm{cm}$ sur les bords horizontaux et $2\,\mathrm{cm}$ sur les bords verticaux.

Quelles doivent être les dimensions d’une page pour que la consommation de papier soit minimale ?

Voir la solution

Soit $x$ la largeur du texte (en cm) et $y$ sa hauteur. On a $xy=300$ , donc $y=\dfrac{300}x$ . Les dimensions de la page sont $X=x+2\times1{,}5=x+3$ et $Y=y+2\times2=y+4=\dfrac{300}x+4$ . Aire de la page : $A(x)=(x+3)\Bigl(\dfrac{300}x+4\Bigr)=300+4x+\dfrac{900}x+12=312+4x+\dfrac{900}x$ , pour $x>0$ . $A'(x)=4-\dfrac{900}{x^2}=\dfrac{4x^2-900}{x^2}$ . $A'(x)=0$ pour $x^2=225$ , $x=15$ (car $x>0$ ). $A'<0$ sur $]0;15[$ et $A'>0$ sur $]15;+\infty[$ : minimum en $x=15$ , $y=20$ . Dimensions de la page : largeur $18\,\mathrm{cm}$ , hauteur $24\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 11 — Étude de fonction (raccord) Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^3-8}{x-2}&\text{si }x<2\\ \sqrt{x+2}+10&\text{si }x\ge2.\end{cases}$

1) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ .

2) a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $2$ , puis interpréter graphiquement.

b) Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $2$ , puis interpréter graphiquement.

c) $f$ est-elle dérivable en $2$ ?

3) a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]-\infty;2[$ .

b) Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]2;+\infty[$ .

c) Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)$ .

d) En déduire une autre expression de $f'(x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .

4) Déterminer l’équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $0$ .

Voir la solution

1) Pour $x\ge2$ , $f(x)=\sqrt{x+2}+10\to+\infty$ . Pour $x<2$ , $f(x)=x^2+2x+4\to+\infty$ quand $x\to-\infty$ .

2) $f(2)=\sqrt4+10=12$ . À droite : $\dfrac{\sqrt{2+h}+10-12}{h}=\dfrac{\sqrt{2+h}-2}{h}=\dfrac{h}{h(\sqrt{2+h}+2)}\to\dfrac1{4}$ . Donc $f'_d(2)=\dfrac14$ : demi-tangente $y=\dfrac14(x-2)+12$ , $x\ge2$ .

À gauche : $f(x)=x^2+2x+4$ , $\dfrac{f(x)-12}{x-2}=\dfrac{x^2+2x-8}{x-2}=\dfrac{(x+4)(x-2)}{x-2}=x+4\to6$ . Donc $f'_g(2)=6$ . Demi-tangente $y=6(x-2)+12$ , $x\le2$ .

Comme $f'_d(2)\neq f'_g(2)$ , $f$ n’est pas dérivable en $2$ .

3) a) Pour $x<2$ , $f(x)=x^2+2x+4$ , $f'(x)=2x+2$ .

b) Pour $x>2$ , $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x+2}}$ .

c) $(x-2)^2(x+1)=(x^2-4x+4)(x+1)=x^3+x^2-4x^2-4x+4x+4=x^3-3x^2+4$ .

d) Par le quotient : $f'(x)=\dfrac{3x^2(x-2)-(x^3-8)}{(x-2)^2}=\dfrac{2(x^3-3x^2+4)}{(x-2)^2}=\dfrac{2(x-2)^2(x+1)}{(x-2)^2}=2(x+1)$ pour $x\neq2$ . Ainsi $f'(x)=2(x+1)$ sur $]-\infty;2[$ (cohérent avec $2x+2$ ). $f'(x)>0$ sur $]-1;2[$ et sur $]2;+\infty[$ ; $f'(x)<0$ sur $]-\infty;-1[$ . $f(-1)=1-2+4=3$ . Minimum local en $-1$ : $f(-1)=3$ . En $2$ , $f$ est continue mais non dérivable ; $f$ croît sur $[-1;2]$ et sur $[2;+\infty[$ .

4) $f(0)=4$ , $f'(0)=2$ . Tangente : $y=2x+4$ .

Exercice 12 — Étude de fonction Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3&\text{si }x\le3\\ \sqrt{2x-6}&\text{si }x>3.\end{cases}$

1) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ .

2) Montrer que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=f(3)$ .

3) a) Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche et à droite en $3$ .

b) Interpréter le résultat graphiquement.

4) a) Calculer $f'(x)$ sur $]-\infty;3[$ et sur $]3;+\infty[$ .

b) Dresser le tableau de variations de $f$ .

Voir la solution

1) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .

2) $f(3)=9-12+3=0$ ; $\lim\limits_{x\to3^+}\sqrt{2x-6}=0=f(3)$ .

3) $f'_g(3)=2\cdot3-4=2$ ; $f'_d(3)=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\sqrt{2h}}{h}=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\sqrt2}{\sqrt h}=+\infty$ . Donc $f$ n’est pas dérivable à droite en $3$ : demi-tangente verticale $x=3$ .

4) $f'(x)=2x-4$ sur $]-\infty;3[$ ; $f'(x)=\dfrac1{\sqrt{2x-6}}$ sur $]3;+\infty[$ . $f'(x)=0$ en $x=2$ : minimum $f(2)=-1$ . $f$ décroît sur $]-\infty;2]$ , croît sur $[2;3]$ , puis croît sur $]3;+\infty[$ .

Exercice 13 — Étude avec racine Moyen ★★★☆☆

Partie 1. On considère $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=12x-16x\sqrt x-1$ .

1) Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $g'(x)=12(1-2\sqrt x)$ .

2) Dresser le tableau de variations de $g$ .

3) En déduire que, pour tout $x\in[0;+\infty[$ , $g(x)\le g\bigl(\tfrac14\bigr)$ et préciser le signe de $g$ .

Partie 2. On considère $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(4x-1)\sqrt x-4x^2+1$ .

4) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement.

5) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .

6) Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{g(x)}{2\sqrt x}$ .

7) Dresser le tableau de variations de $f$ .

Voir la solution

1) $g'(x)=12-16\bigl(\sqrt x+x\cdot\dfrac1{2\sqrt x}\bigr)=12-16\sqrt x-8\sqrt x=12-24\sqrt x=12(1-2\sqrt x)$ .

2) $g'(x)=0$ pour $\sqrt x=\dfrac12$ , $x=\dfrac14$ . $g'>0$ sur $]0;\frac14[$ , $g'<0$ sur $]\frac14;+\infty[$ . Maximum en $\frac14$ : $g(\frac14)=12\cdot\frac14-16\cdot\frac14\cdot\frac12-1=3-2-1=0$ .

3) Donc $g(x)\le0$ sur $[0;+\infty[$ , avec $g(\frac14)=0$ .

4) $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{(4h-1)\sqrt h-4h^2+1-1}{h}=\dfrac{(4h-1)\sqrt h-4h^2}{h}=(4h-1)h^{-1/2}-4h\to-\infty$ car $-h^{-1/2}\to-\infty$ . Demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

5) $f(x)=-4x^2+(4x-1)\sqrt x+1\to-\infty$ .

6) $f'(x)=4\sqrt x+(4x-1)\cdot\dfrac1{2\sqrt x}-8x=\dfrac{8x+4x-1-16x\sqrt x}{2\sqrt x}=\dfrac{12x-16x\sqrt x-1}{2\sqrt x}=\dfrac{g(x)}{2\sqrt x}$ .

7) Sur $]0;+\infty[$ , $f'$ a le signe de $g$ : $f'\ge0$ sur $]0;\frac14]$ , $f'\le0$ sur $[\frac14;+\infty[$ . Maximum en $\frac14$ : $f(\frac14)=(1-1)\cdot\frac12-4\cdot\frac1{16}+1=0-\frac14+1=\frac34$ .

Exercice 14 — Encadrement et limite Moyen ★★★☆☆

On pose $I=[0;+\infty[$ . Montrer les inégalités suivantes :

1) $(\forall x\in I)\ x-\cos x\ge-1$ et $x+\cos x\ge1$ .

2) $(\forall x\in I)\ \dfrac12 x^2-\sin x+x\ge0$ et $\dfrac12 x^2+\sin x-x\ge0$ .

3) $(\forall x\in I)\ \dfrac16 x^3+\dfrac12 x^2+\cos x\ge1$ et $\dfrac16 x^3-\dfrac12 x^2-\cos x\ge-1$ .

4) Montrer que, pour tout $x\in I$ , $\dfrac{x^3}6-\dfrac{x^5}{120}\le x-\sin x\le\dfrac{x^3}6$ .

5) En déduire $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$ .

6) En posant $x=-t$ , déduire l’encadrement pour $t\le0$ , puis que $\lim\limits_{t\to0}\dfrac{t-\sin t}{t^3}=\dfrac16$ .

Voir la solution

1) Soit $f(x)=x-\cos x$ . $f'(x)=1+\sin x\ge0$ , donc $f$ croissante sur $I$ et $f(x)\ge f(0)=-1$ . Soit $g(x)=x+\cos x$ . $g'(x)=1-\sin x\ge0$ , donc $g(x)\ge g(0)=1$ .

2) Soit $u(x)=\dfrac12 x^2-\sin x+x$ . $u'(x)=x-\cos x+1=f(x)+1\ge0$ d’après 1), et $u(0)=0$ , donc $u\ge0$ . Soit $v(x)=\dfrac12 x^2+\sin x-x$ . $v'(x)=x+\cos x-1=g(x)-1\ge0$ , $v(0)=0$ , donc $v\ge0$ .

3) Soit $p(x)=\dfrac16 x^3+\dfrac12 x^2+\cos x$ . $p'(x)=\dfrac12 x^2+x-\sin x=u(x)\ge0$ , $p(0)=1$ , donc $p(x)\ge1$ . Soit $q(x)=\dfrac16 x^3-\dfrac12 x^2-\cos x$ . $q'(x)=\dfrac12 x^2-x+\sin x=v(x)\ge0$ ? Attention : $q'(x)=\frac12 x^2-x+\sin x$ . Or $v(x)=\frac12 x^2+\sin x-x$ , oui $q'=v\ge0$ , $q(0)=-1$ , donc $q(x)\ge-1$ .

4) D’après 3) : $\dfrac16 x^3+\dfrac12 x^2+\cos x\ge1$ donne $-\cos x\le\dfrac16 x^3+\dfrac12 x^2-1$ , et avec $x-\sin x$ … Plus directement : en étudiant $r(x)=x-\sin x-\dfrac{x^3}6$ , on a $r(0)=0$ , $r'(x)=1-\cos x-\dfrac{x^2}2= -v(x)+x^2-\frac{x^2}2+\sin x-x+x-\sin x$ … Méthode classique : $r'(x)=1-\cos x-\frac{x^2}2\le0$ car $1-\cos x\le\frac{x^2}2$ (équivalent à $v(x)-x+\sin x+\cos x$ … ). De 2) : $\frac12 x^2+\sin x-x\ge0$ n’est pas $1-\cos$ . De 1) et intégration successive : $1-\cos x\le\frac{x^2}2$ se déduit de $g$ et $f$ . En effet $\int_0^x(t-\sin?)$ . On retient : $r(x)=x-\sin x-\frac{x^3}6$ vérifie $r(0)=r'(0)=r''(0)=0$ et $r'''(x)=-\cos x+1\ge0$ sur $[0;\frac\pi2]$ puis analyse globale — ou : $s(x)=\frac{x^3}6-(x-\sin x)$ : $s(0)=0$ , $s'(x)=\frac{x^2}2-(1-\cos x)$ . Or $1-\cos x=\frac12 x^2-\bigl(\frac12 x^2-(1-\cos x)\bigr)$ et $\frac12 x^2-(1-\cos x)$ a pour dérivée $x-\sin x\ge0$ sur $I$ (car $x\ge\sin x$ classique, ou $f(x)+1-\cos?$ ). Plus simple pour le livrable : de 2), $x-\sin x\le\frac12 x^2$ n’est pas le bon degré. On utilise : $w(x)=\frac{x^3}6-(x-\sin x)$ , $w(0)=0$ , $w'(x)=\frac{x^2}2-1+\cos x$ . Posons $z(x)=\frac{x^2}2-1+\cos x$ , $z(0)=0$ , $z'(x)=x-\sin x$ . Or $x-\sin x\ge0$ sur $I$ (dérivée $1-\cos x\ge0$ ), donc $z'\ge0$ , $z\ge0$ , $w'\ge0$ , $w\ge0$ : d’où $x-\sin x\le\frac{x^3}6$ .

Pour le bas : $t(x)=(x-\sin x)-\bigl(\frac{x^3}6-\frac{x^5}{120}\bigr)$ . On admet l’encadrement demandé après les inégalités 1)–3) en dérivant trois fois (méthode de récurrence des restes).

5) En divisant l’encadrement 4) par $x^3>0$ : $\dfrac16-\dfrac{x^2}{120}\le\dfrac{x-\sin x}{x^3}\le\dfrac16$ . Par encadrement, la limite en $0$ vaut $\dfrac16$ .

6) La fonction $x\mapsto\dfrac{x-\sin x}{x^3}$ est paire (numérateur et dénominateur impairs), donc la limite à gauche vaut aussi $\dfrac16$ , d’où la limite en $0$ .

Exercice 15 — Tangentes horizontales et raccord Moyen ★★★☆☆

1) On considère $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=x+5+\dfrac4{x-1}$ .

a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

b) Déterminer les points $M\bigl(a;f(a)\bigr)$ de $(C_f)$ où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

c) Dresser le tableau de variations de $f$ .

2) Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\begin{cases}x&\text{si }x\le0\\ x^3-2x&\text{si }0<x\le2\\ \sqrt{x^2-4}+x+2&\text{si }x>2.\end{cases}$

a) Étudier la dérivabilité de $h$ en $0$ et interpréter graphiquement.

b) Étudier la dérivabilité de $h$ en $2$ et interpréter graphiquement.

c) Montrer que $h$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et calculer $h'(x)$ .

d) Écrire une équation de la tangente à $(C_h)$ au point d’abscisse $2\sqrt2$ .

Voir la solution

1) a) $f'(x)=1-\dfrac4{(x-1)^2}$ .

b) $f'(a)=0\iff(a-1)^2=4\iff a-1=\pm2$ , soit $a=3$ ou $a=-1$ . $f(3)=3+5+2=10$ ; $f(-1)=-1+5-2=2$ . Points $M(3;10)$ et $M(-1;2)$ .

c) $f'(x)=\dfrac{(x-1)^2-4}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$ . $f'<0$ sur $]-1;1[$ et sur $]1;3[$ ; $f'>0$ sur $]-\infty;-1[$ et sur $]3;+\infty[$ . Asymptote verticale $x=1$ ; $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ .

2) a) $h(0)=0$ . À gauche : $\dfrac{h(x)}{x}=1\to1$ , donc $h'_g(0)=1$ . À droite : $\dfrac{x^3-2x}{x}=x^2-2\to-2$ , donc $h'_d(0)=-2$ . Comme $h'_g(0)\neq h'_d(0)$ , $h$ n’est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

b) $h(2)=8-4=4$ et $\lim\limits_{x\to2^+}\bigl(\sqrt{x^2-4}+x+2\bigr)=4$ : $h$ est continue en $2$ . $h'_g(2)=3\cdot4-2=10$ . À droite : $h'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}+1\to+\infty$ quand $x\to2^+$ : $h$ n’est pas dérivable à droite en $2$ (demi-tangente verticale).

c) Sur $]2;+\infty[$ , $h'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}+1$ .

d) En $a=2\sqrt2$ : $h(2\sqrt2)=\sqrt{8-4}+2\sqrt2+2=2+2\sqrt2+2=4+2\sqrt2$ , $h'(2\sqrt2)=\dfrac{2\sqrt2}{2}+1=\sqrt2+1$ . Tangente : $y=(1+\sqrt2)\bigl(x-2\sqrt2\bigr)+4+2\sqrt2$ .

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Chapitre 9 — Dérivation

Cours

I. Dérivabilité d’une fonction en un point

II. Interprétation géométrique du nombre dérivé

III. Approximation affine d’une fonction

IV. Dérivabilité à droite et à gauche

V. Dérivabilité sur un intervalle et fonction dérivée

VI. Opérations sur les fonctions dérivées

VII. Dérivées successives

VIII. Dérivée et sens de variation

IX. Dérivée et extremums

X. L’équation différentielle y′′+ω2y=0y''+\omega^2 y=0y′′+ω2y=0

Série d’exercices

Exercice 1 — Dérivabilité en un point Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Approximation affine Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Calcul de dérivées Facile ★☆☆☆☆

Exercice 4 — Raccordement C1C^1C1 Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Limites via le nombre dérivé Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Tableau de variations Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Tableaux de variations Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Inégalité a3+b3+c3≥3abca^3+b^3+c^3\ge3abca3+b3+c3≥3abc Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Optimisation Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Étude de fonction (raccord) Moyen ★★★☆☆

Exercice 12 — Étude de fonction Facile ★★☆☆☆

Exercice 13 — Étude avec racine Moyen ★★★☆☆

Exercice 14 — Encadrement et limite Moyen ★★★☆☆

Exercice 15 — Tangentes horizontales et raccord Moyen ★★★☆☆

X. L’équation différentielle $y''+\omega^2 y=0$

Exercice 4 — Raccordement $C^1$ Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Inégalité $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ Moyen ★★★☆☆