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Chapitre 10 — Vecteurs de l’espace

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Le vecteur dans l’espace --- II. Vecteurs colinéaires — Points alignés --- III. Vecteurs coplanaires — Points coplanaires.

Durée indicative : 4 heures. Prérequis : vecteurs dans le plan, translation, calcul vectoriel plan.

Hors programme : produit scalaire dans l’espace, équations cartésiennes, coordonnées dans l’espace.

I. Le vecteur dans l’espace

Activité 1

On considère un cube $ABCDEFGH$ (face avant $ABCD$ , face arrière $EFGH$ , avec $A$ sous $E$ , $B$ sous $F$ , etc.).

Citer trois vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$ .
Simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}$ .
Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$ .

Voir la solution

1) Dans le cube : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ .

2) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (parallélogramme $ABCD$ ).

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AG}$ (Chasles).

3) On place le milieu $I$ de $[AC]$ , puis $M$ tel que $\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AE}$ .

Définition 1 (vecteur dans l’espace)

Deux points distincts $A$ et $B$ de l’espace définissent un vecteur $\overrightarrow{AB}$ , caractérisé par :

une direction : celle de la droite $(AB)$ ;
un sens : de $A$ vers $B$ ;
une norme : $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$ .

Remarque 1

Pour tout point $A$ et tout vecteur $\vec u$ de l’espace, il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\vec u$ .

Le vecteur $-\vec u$ est l’opposé de $\vec u$ : même direction, même norme, sens opposés.

Définition 2 (égalité)

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de l’espace sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Propriété 1

Soit $ABCD$ un quadrilatère de l’espace. On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\quad\Longleftrightarrow\quad ABCD\text{ est un parallélogramme.}$

Remarque 2 (opérations)

L’ensemble des vecteurs de l’espace est muni de l’addition (Chasles, règle du parallélogramme) et de la multiplication par un réel, avec les mêmes règles qu’en géométrie plane :

$\vec u+\vec 0=\vec u,\quad (-1)\vec u=-\vec u,\quad a(b\vec u)=(ab)\vec u,$ $(a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u,\quad a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v.$

De plus : $a\vec u=\overrightarrow{0}\ \Longleftrightarrow\ a=0$ ou $\vec u=\overrightarrow{0}$ .

Tous les résultats de géométrie plane restent valables dans chaque plan de l’espace.

Exemple 1

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

Simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}$ , $\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FG}$ .
Construire les points $M$ et $P$ tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ et $2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$ , donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}$ .

$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AF}$ .

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD}$ , donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}$ .

2) $M$ est le milieu de $[AB]$ .

$2\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{AP}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ : $P$ coïncide avec $M$ .

II. Vecteurs colinéaires — Points alignés

Définition 3 (colinéarité)

Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ de l’espace sont colinéaires s’ils ont la même direction.

On convient que $\overrightarrow{0}$ est colinéaire à tout vecteur.

Propriété 2

$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $a$ tel que $\vec u=a\vec v$ .

Remarque 3

$(AB)\parallel(CD)$ (avec $A\neq B$ , $C\neq D$ ) si et seulement s’il existe un réel $a$ tel que $\overrightarrow{CD}=a\overrightarrow{AB}$ .

Définition 4 (alignement)

Trois points $A$ , $B$ , $C$ de l’espace sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Propriété 3

Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : il existe un réel $a$ tel que $\overrightarrow{AC}=a\overrightarrow{AB}$ .

Exemple 2

Soit $ABCDEFGH$ un cube. On place $I$ tel que $\overrightarrow{EI}=\dfrac13\overrightarrow{EG}$ . Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AC}$ .

Exprimer $\overrightarrow{EI}$ et $\overrightarrow{AK}$ dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ .
En déduire que $(EI)\parallel(AK)$ .

Voir la solution

1) Posons $\overrightarrow{AB}=\vec u$ , $\overrightarrow{AD}=\vec v$ , $\overrightarrow{AE}=\vec w$ .

$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=(\vec u+\vec v+\vec w)-\vec w=\vec u+\vec v=\overrightarrow{AC}$ , donc $\overrightarrow{EI}=\dfrac13\overrightarrow{EG}=\dfrac13(\vec u+\vec v)$ .

$\overrightarrow{AK}=\dfrac13\overrightarrow{AC}=\dfrac13(\vec u+\vec v)$ .

2) Ainsi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{EI}$ , donc les vecteurs directeurs de $(AK)$ et $(EI)$ sont égaux : $(EI)\parallel(AK)$ .

Définition 5 (droite incluse dans un plan)

Une droite $(D)$ est incluse dans un plan $(P)$ , noté $(D)\subset(P)$ , si elle contient deux points distincts de $(P)$ .

En particulier, si $A\neq B$ , $(AB)\subset(P)$ dès que $A\in(P)$ et $B\in(P)$ .

Propriété 4

Une droite $(D')$ est parallèle à un plan $(P)$ si et seulement si elle est parallèle à une droite $(D)$ incluse dans $(P)$ . On note alors $(D')\parallel(P)$ .

Remarque 4

Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles entre elles.
Deux droites orthogonales dans l’espace ne sont pas nécessairement perpendiculaires (elles peuvent être non coplanaires).

Propriété 5 (définition vectorielle d’une droite)

Soit $A$ un point et $\vec u$ un vecteur non nul. La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ , notée $\mathcal D(A\,;\,\vec u)$ , est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires : $M\in\mathcal D(A\,;\,\vec u)\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\,t\in\mathbb R,\ \overrightarrow{AM}=t\vec u.$

III. Vecteurs coplanaires — Points coplanaires

Remarque 5 (vecteurs d’un plan)

Soit $(P)$ un plan. Si $\vec u\in(P)$ et $\vec v\in(P)$ , alors $\vec u+\vec v\in(P)$ et, pour tout réel $k$ , $k\vec u\in(P)$ .

Définition 6 (coplanarité de vecteurs)

Trois vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ de l’espace sont coplanaires s’il existe un plan les contenant tous les trois.

Propriété 6

$\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels $a$ , $b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ (lorsque $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires ; sinon la condition se reformule de façon analogue).

Définition 7 (points coplanaires)

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Propriété 7

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires : il existe des réels $a$ , $b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.$

Exemple 3

Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[EH]$ .

Vérifier que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EJ}$ .
En déduire que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{BD}$ .
Montrer que $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont coplanaires.

Voir la solution

1) Chasles : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EJ}$ .

2) $I$ milieu de $[AB]$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{IA}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}$ .

$J$ milieu de $[EH]$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{EJ}=\dfrac12\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$ ).

Donc $\overrightarrow{IJ}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

Or $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ , donc $\dfrac12\overrightarrow{BD}=\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AB}$ , et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{BD}$ .

3) D’après 2), $\overrightarrow{IJ}=1\cdot\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{BD}$ . Or $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{HB}$ , donc $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AE}-\dfrac12\overrightarrow{HB}$ : combinaison linéaire de $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{HB}$ . Les trois vecteurs sont coplanaires.

Exemple 4

Soient $A$ , $B$ , $C$ , $D$ quatre points non coplanaires, et $T$ le point tel que $2\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD}.$ Montrer que $A$ , $C$ , $D$ , $T$ sont coplanaires.

Voir la solution

On exprime $\overrightarrow{AT}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ .

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ , donc $2\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AD},$ $2\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{AD},\qquad\overrightarrow{AT}=\dfrac12\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}.$

Ainsi $\overrightarrow{AT}=\dfrac12\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}$ : combinaison linéaire de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ . Les points $A$ , $C$ , $D$ , $T$ sont coplanaires.

Propriété 8 (définition vectorielle d’un plan)

Soit $A$ un point et $\vec u$ , $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec u$ , $\vec v$ , noté $\mathcal P(A\,;\,\vec u\,;\,\vec v)$ , est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v\quad(a,b\in\mathbb R).$

En particulier, si $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés : $M\in(ABC)\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\,a,b\in\mathbb R,\ \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.$

Méthode

Pour travailler dans l’espace sans coordonnées :

Choisir une base adaptée $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ sur un cube ou un parallélépipède.
Traduire milieux et relations par des égalités vectorielles.
Pour l’alignement : montrer une colinéarité $\overrightarrow{AC}=a\overrightarrow{AB}$ .
Pour la coplanarité : écrire un vecteur comme combinaison linéaire de deux autres.

Série d’exercices

Exercice 1 — Calcul vectoriel — prisme Facile ★☆☆☆☆

$ABCDEF$ est un prisme droit à bases triangulaires $ABC$ et $DEF$ ( $D$ , $E$ , $F$ situés respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ ). $I$ est le milieu de $[DF]$ .

1) Exprimer $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ .

2) Soit $G$ le point tel que $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$ . Montrer que $I$ est le milieu de $[AG]$ .

Voir la solution

On pose $\overrightarrow{AB}=\vec u$ , $\overrightarrow{AC}=\vec v$ , $\overrightarrow{AD}=\vec w$ . Alors $\overrightarrow{BC}=\vec v-\vec u$ , $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec u+\vec w$ (car $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}=\vec w$ dans le prisme), $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AC}=\vec v$ , et $I$ milieu de $[DF]$ donne $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{DF}=\vec w+\dfrac12\vec v$ .

1) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec v+\vec w$ .

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}=(\vec u+\vec w)+(\vec v-\vec u)=\vec v+\vec w$ .

2) $\overrightarrow{AG}=2\vec w+\vec v$ , donc le milieu $M$ de $[AG]$ vérifie $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AG}=\vec w+\dfrac12\vec v=\overrightarrow{AI}$ . Ainsi $M=I$ .

Exercice 2 — Coplanarité — parallélépipède Facile ★★☆☆☆

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. $I$ est le milieu de $[BF]$ .

1) Les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{DG}$ et $\overrightarrow{DH}$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

2) Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ , $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

Voir la solution

On pose $\overrightarrow{AB}=\vec u$ , $\overrightarrow{AD}=\vec v$ , $\overrightarrow{AE}=\vec w$ .

1) $\overrightarrow{CA}=-\vec u-\vec v$ , $\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}=(\vec u+\vec v+\vec w)-\vec v=\vec u+\vec w$ , $\overrightarrow{DH}=\vec w$ .

Supposons $\overrightarrow{DG}=a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{DH}$ : $\vec u+\vec w=a(-\vec u-\vec v)+b\vec w$ . Par indépendance de $(\vec u,\vec v,\vec w)$ : coefficient de $\vec v$ donne $-a=0$ donc $a=0$ , puis $\vec u=0$ : contradiction. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

2) $I$ milieu de $[BF]$ : $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BF}=\vec u+\dfrac12\vec w$ (car $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$ ).

Donc $\overrightarrow{AI}=1\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AE}$ : oui, coplanaires.

Exercice 3 — Milieux — cube Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soient $I$ le milieu de $[AE]$ et $J$ le milieu de $[CG]$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}$ .

2) En déduire que $(IJ)\parallel(AC)$ et $IJ=AC$ .

3) Soit $\Omega$ le centre du cube (milieu de $[AG]$ ). Montrer que $\Omega$ est le milieu de $[IJ]$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}$ . Or $I$ milieu de $[AE]$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AE}$ .

$J$ milieu de $[CG]$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AE}$ (car $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$ ).

Donc $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AE}-\dfrac12\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}$ .

2) Immédiat d’après 1).

3) Le centre $\Omega$ vérifie $\overrightarrow{A\Omega}=\dfrac12\overrightarrow{AG}=\dfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE})$ .

Le milieu $M$ de $[IJ]$ : $\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ})=\dfrac12\bigl(\dfrac12\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AE}\bigr)=\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{A\Omega}$ . Donc $M=\Omega$ .

Exercice 4 — Relation vectorielle — cube Facile ★★☆☆☆

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[HF]$ . Le point $M$ vérifie $2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AI}$ et que $M\in[AI]$ .

2) Soient $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[EF]$ et $[BC]$ . Montrer que $\overrightarrow{JK}=\dfrac12\overrightarrow{EB}+\dfrac12\overrightarrow{FC}$ .

Voir la solution

1) $2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}$ . Or $\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AI}$ , donc $2(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AI})=-\overrightarrow{AM}\Longrightarrow 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AI}\Longrightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac23\overrightarrow{AI}.$ Ainsi $M$ est sur la droite $(AI)$ et situé entre $A$ et $I$ .

2) $J$ milieu de $[EF]$ et $K$ milieu de $[BC]$ . On a $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$ (car $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ).

Le milieu $J$ vérifie $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AB}$ ; le milieu $K$ vérifie $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

Alors $\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}-\dfrac12\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$ .

Or $\dfrac12\overrightarrow{EB}+\dfrac12\overrightarrow{FC}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE})+\dfrac12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE})=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$ . D’où l’égalité.

Exercice 5 — Parallélisme droite-plan Facile ★★☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube. $I$ , $J$ et $O$ sont les milieux respectifs de $[AE]$ , $[GH]$ et $[CH]$ .

1) Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}$ .

2) En déduire que $(IJ)\parallel(AHC)$ .

Voir la solution

1) Avec la base $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{AD}$ , $\vec w=\overrightarrow{AE}$ : $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\vec w$ , $G=\vec u+\vec v+\vec w$ , $H=\vec v+\vec w$ , $J=\dfrac12(G+H)=\vec u/2+\vec v+\vec w$ , $\overrightarrow{AJ}=\dfrac12\vec u+\vec v+\vec w$ , $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\vec u+\vec v+\dfrac12\vec w$ .

$O$ milieu de $[CH]$ : $C=\vec u+\vec v$ , $H=\vec v+\vec w$ , $O=\dfrac12\vec u+\vec v+\dfrac12\vec w$ , donc $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{IJ}$ .

2) $\overrightarrow{AO}=\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AH}$ (car $O$ milieu de $[CH]$ et $\overrightarrow{AO}=\dfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH})$ ). Donc $\overrightarrow{IJ}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AH}$ , vecteurs directeurs de $(AHC)$ : $(IJ)\parallel(AHC)$ .

Exercice 6 — Définition vectorielle Facile ★☆☆☆☆

Soit $ABCDEFGH$ un cube.

1) Déterminer le plan $\mathcal P(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD})$ .

2) Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AE}$ avec $(x,y)\in\mathbb R^2$ .

3) Caractériser la droite $\mathcal D(E\,;\,\overrightarrow{AB})$ .

Voir la solution

1) $\mathcal P(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD})$ est le plan $(ABD)$ , c’est-à-dire le plan de la face inférieure $(ABC)$ (ou $(ABD)$ ).

2) C’est le plan $\mathcal P(A\,;\,\overrightarrow{AC}\,;\,\overrightarrow{AE})=(ACE)$ , plan diagonal passant par $A$ , $C$ , $E$ .

3) $\mathcal D(E\,;\,\overrightarrow{AB})$ est la droite passant par $E$ et parallèle à $(AB)$ , c’est-à-dire la droite $(EF)$ (car $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$ ).

Exercice 7 — Coplanarité — cube Facile ★★☆☆☆

$ABCDEFGH$ est un cube. Soient $I$ le milieu de $[BE]$ et $J$ le milieu de $[GC]$ .

1) Faire une figure.

2) Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{EG}+\dfrac12\overrightarrow{FG}$ .

3) En déduire que $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont coplanaires.

Voir la solution

1) Figure : cube avec $I$ milieu de $[BE]$ et $J$ milieu de $[GC]$ .

2) En base $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{AD}$ , $\vec w=\overrightarrow{AE}$ : $I=\dfrac12(B+E)=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec w$ , $J=\dfrac12(G+C)=\vec u+\vec v+\dfrac12\vec w$ , d’où $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\vec u+\vec v$ .

Or $\overrightarrow{EG}=\vec u+\vec v$ et $\overrightarrow{FG}=\vec v$ , donc $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\overrightarrow{EG}+\dfrac12\overrightarrow{FG}$ .

3) Immédiat d’après 2).

Exercice 8 — Tétraèdre — coplanarité Moyen ★★★☆☆

On considère un tétraèdre $ABCD$ . Les points $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont définis par : $\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{BJ}=\dfrac12\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{CK}=\dfrac12\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{DL}=\dfrac12\overrightarrow{DA}.$

1) Faire une figure.

2) Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{KL}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD}$ .

3) En déduire que $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont coplanaires.

4) Montrer que $(BD)$ est parallèle au plan $(IJKL)$ .

Voir la solution

1) Figure du tétraèdre avec les quatre milieux (milieux des arêtes $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ ).

2) $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\bigl(\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}\bigr)-\dfrac12\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}$ . Or $\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ , et $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\dfrac12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\dfrac12\overrightarrow{AC}+\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

Donc $\overrightarrow{KL}=\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AC}-\dfrac12\overrightarrow{AD}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{IJ}$ .

3) $\overrightarrow{KL}=-\overrightarrow{IJ}$ , donc $(IJ)\parallel(KL)$ et $IJ=KL$ : $IJKL$ est un parallélogramme (ou un aplati), donc les quatre points sont coplanaires.

4) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ . De plus $\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ .

Donc $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IL}$ , et $\overrightarrow{IL}$ est un vecteur du plan $(IJKL)$ : $(BD)\parallel(IJKL)$ .

Exercice 9 — Tétraèdre — intersection Facile ★★☆☆☆

On considère un tétraèdre $ABCD$ . Les points $E$ , $F$ , $G$ sont définis par : $\overrightarrow{AE}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}.$

1) Justifier que $E\in(ABC)$ .

2) Montrer que les points $F$ , $C$ , $D$ sont alignés.

3) Exprimer $\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{CD}$ , puis montrer que $G\in(FC)$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{AE}=\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}$ : combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , donc $E\in(ABC)$ .

2) $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ . Alors $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AC}=2(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}$ .

Donc $\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{DF}$ : $\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires, $F$ , $C$ , $D$ sont alignés.

3) $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}$ , et $\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CD}$ , donc $\overrightarrow{CG}=\dfrac12\overrightarrow{CF}$ : $G\in(FC)$ .

Exercice 10 — Pyramide — parallélisme Facile ★★☆☆☆

$PABCD$ est une pyramide de sommet $P$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{BM}=\dfrac12\overrightarrow{BP},\quad \overrightarrow{CN}=\dfrac12\overrightarrow{CP}.$

1) Montrer que $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires.

2) En déduire que $(MN)\parallel(PAD)$ .

3) Montrer que $\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

Voir la solution

1) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$ . Or $\overrightarrow{BM}=\dfrac12\overrightarrow{BP}$ et $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}+\dfrac12\overrightarrow{CP}$ .

Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . De plus $M$ et $N$ sont les milieux de $[BP]$ et $[CP]$ , donc $(MN)$ est la droite des milieux dans le triangle $BPC$ : $\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

2) $\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AD}$ dirige une droite du plan $(PAD)$ : $(MN)\parallel(PAD)$ .

3) D’après 1), $\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{AD}$ .

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