Accueil › 1BAC SM › Chapitre 2 — Les ensembles

Chapitre 2 — Les ensembles

Semestre 1

Chargement du PDF…

📄 CoursOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Série d’exercicesOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Corrigé de la sérieOuvrir le PDF · Télécharger

Cours

Plan du chapitre. 1. Extension et compréhension — 2. Inclusion et égalité — 3. Ensemble des parties — 4. Complémentaire — 5. Intersection — 6. Réunion — 7. Règles de calcul — 8. Différence — 9. Différence symétrique — 10. Produit cartésien — Exercice de révision.

Lien avec le chapitre 01. Chaque opération sur les ensembles traduit un connecteur logique : « et » $\leftrightarrow\cap$ , « ou » $\leftrightarrow\cup$ , négation $\leftrightarrow$ complémentaire, implication $\leftrightarrow\subset$ , équivalence $\leftrightarrow=$ . Les démonstrations utilisent donc les lois logiques et les raisonnements du chapitre 01.

I. Généralités sur les ensembles

1. Écriture en extension et en compréhension

Définition 1 : Ensemble, élément

Un ensemble $E$ est une collection d’objets appelés éléments. Si $x$ est un élément de $E$ , on écrit $x\in E$ (« $x$ appartient à $E$ ») ; sinon on écrit $x\notin E$ . L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté $\varnothing$ .

On décrit un ensemble :

en extension : en énumérant ses éléments entre accolades, par exemple $\{1;3;5\}$ ;
en compréhension : par une propriété caractéristique de ses éléments, $A=\{x\in E\ /\ P(x)\}$ , ce qui signifie : $(\forall x\in E)\ \ x\in A\iff P(x)$ .

Un diagramme de Venn représente un ensemble par une région du plan limitée par une courbe fermée.

Exemple 1

Écrire en extension : $\ A=\left\{x\in\Z\ /\ -\dfrac73\le x\le\dfrac52\right\}$ ; $\ B=\{x\in\R\ /\ x^2+2x+5=0\}$ ; $\ C=\{x\in\Z\ /\ x(x-2)(x^2-3)=0\}$ .
Écrire en compréhension : $\ E=\{1;4;7;10;\ldots\}$ ; $\ F=\{2;6;10;14;\ldots\}$ ; $\ G=\{1;8;27;64;\ldots\}$ .

Voir la solution

$-\frac73\approx-2{,}33$ et $\frac52=2{,}5$ , donc $A=\{-2;-1;0;1;2\}$ . Le discriminant de $x^2+2x+5$ est $4-20=-16<0$ , donc $B=\varnothing$ . $x(x-2)(x^2-3)=0\iff x\in\{0;2;-\sqrt3;\sqrt3\}$ et $\pm\sqrt3\notin\Z$ , donc $C=\{0;2\}$ .
$E=\{3k+1\ /\ k\in\N\}$ ; $F=\{4k+2\ /\ k\in\N\}$ ; $G=\{n^3\ /\ n\in\N^*\}$ .

2. Inclusion et égalité

Définition 2 : Inclusion, égalité

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$ .

$A$ est incluse dans $B$ , et on note $A\subset B$ , si tout élément de $A$ appartient à $B$ : $\ A\subset B\iff(\forall x\in E)\ \ (x\in A\Longrightarrow x\in B)$ .
Par négation : $\ A\not\subset B\iff(\exists x\in E)\ \ (x\in A\text{ et }x\notin B)$ .
$A=B\iff(\forall x\in E)\ \ (x\in A\iff x\in B)$ , c’est-à-dire $\ A=B\iff(A\subset B\text{ et }B\subset A)$ (double inclusion).
Transitivité : si $A\subset B$ et $B\subset C$ , alors $A\subset C$ .

Remarque

Pour tout ensemble $A$ : $\varnothing\subset A$ et $A\subset A$ .
Pour montrer $A\subset B$ , on prend un élément quelconque $x$ de $A$ et on montre que $x\in B$ (raisonnement direct). Pour montrer $A\not\subset B$ , il suffit d’un contre-exemple : un élément de $A$ qui n’est pas dans $B$ .

Exemple 2

On considère $A=\{-5;-1;0;2\}$ , $\ B=\left\{x\in\Z\ /\ \dfrac{6}{|x|+1}\in\Z\right\}$ , $\ C=\{6k+1\ /\ k\in\Z\}$ et $D=\left\{\dfrac{2k'+1}{3}\ /\ k'\in\Z\right\}$ . Montrer que $A\subset B$ , que $C\subset D$ et que $D\not\subset C$ .

Voir la solution

Pour $x\in\Z$ , $|x|+1\in\N^*$ ; donc $\frac{6}{|x|+1}\in\Z\iff|x|+1$ divise $6\iff|x|+1\in\{1;2;3;6\}\iff|x|\in\{0;1;2;5\}$ . Ainsi $B=\{-5;-2;-1;0;1;2;5\}$ et chaque élément de $A$ est dans $B$ : $A\subset B$ .
Soit $x\in C$ : $x=6k+1$ avec $k\in\Z$ . Alors $x=\dfrac{18k+3}{3}=\dfrac{2(9k+1)+1}{3}$ avec $k'=9k+1\in\Z$ , donc $x\in D$ . Ainsi $C\subset D$ .
$\frac13\in D$ (avec $k'=0$ ) mais $\frac13\notin\Z$ , donc $\frac13\notin C$ : $D\not\subset C$ .

Exemple 3

Soit $A=\left\{x\in\R\ /\ \left|\dfrac x3-1\right|<2\right\}$ et $B=\,]-3;9[$ . Montrer que $A=B$ .

Voir la solution

Pour tout $x\in\R$ : $x\in A\iff-2<\dfrac x3-1<2\iff-1<\dfrac x3<3\iff-3<x<9\iff x\in B$ (on ajoute $1$ , puis on multiplie par $3>0$ : étapes réversibles). Donc $A=B$ .

3. Ensemble des parties d’un ensemble

Définition 3 : Ensemble des parties

L’ensemble de toutes les parties (sous-ensembles) d’un ensemble $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$ .

$A\in\mathcal{P}(E)\iff A\subset E$ ; en particulier $\varnothing\in\mathcal{P}(E)$ et $E\in\mathcal{P}(E)$ .
$a\in E\iff\{a\}\in\mathcal{P}(E)\iff\{a\}\subset E$ .
Si $E$ est fini à $n$ éléments, alors $\mathcal{P}(E)$ possède $2^n$ éléments.

Attention

Ne pas confondre $\in$ (relation entre un élément et un ensemble) et $\subset$ (relation entre deux ensembles). Par exemple $a\in E$ , $\{a\}\subset E$ , $\{a\}\in\mathcal{P}(E)$ , mais « $a\subset E$ » n’a pas de sens si $a$ n’est pas un ensemble.

Exemple 4

Soient $E=\{1;2\}$ et $F=\{1;2;3\}$ . Déterminer $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(F)$ .

Voir la solution

$\mathcal{P}(E)=\big\{\varnothing;\{1\};\{2\};\{1;2\}\big\}$ ( $2^2=4$ éléments). $\mathcal{P}(F)=\big\{\varnothing;\{1\};\{2\};\{3\};\{1;2\};\{1;3\};\{2;3\};\{1;2;3\}\big\}$ ( $2^3=8$ éléments).

4. Complémentaire d’une partie

Définition 4 : Complémentaire

Soit $A$ une partie de $E$ . Le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $\complement_E A$ ou $\overline{A}$ , est l’ensemble des éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $A$ : $\overline{A}=\{x\in E\ /\ x\notin A\}\qquad\text{et}\qquad(\forall x\in E)\ \ x\in\overline A\iff x\notin A.$

$\overline{E}=\varnothing$ , $\ \overline{\varnothing}=E$ , $\ \overline{\overline{A}}=A$ .
Si $A=\{x\in E\ /\ P(x)\}$ , alors $\overline{A}=\{x\in E\ /\ \overline{P(x)}\}$ .

La partie colorée représente $\overline{A}$ .

Exemple 5

Soient $A=\,]-\infty;2]$ et $B=\{x\in\N\ /\ x^2-5x>0\}$ . Déterminer $\complement_{\R}A$ et $\complement_{\N}B$ .
Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ . Montrer que $A\subset B\iff\overline{B}\subset\overline{A}$ .

Voir la solution

$\complement_{\R}A=\,]2;+\infty[$ . Pour $x\in\N$ : $x^2-5x=x(x-5)>0\iff x>5$ (car $x\ge0$ et pour $x=0$ le produit est nul). Donc $B=\{x\in\N\ /\ x\ge 6\}$ et $\complement_{\N}B=\{0;1;2;3;4;5\}$ .
$A\subset B\iff(\forall x\in E)\ (x\in A\Rightarrow x\in B)\iff(\forall x\in E)\ (x\notin B\Rightarrow x\notin A)$ (contraposée) $\iff(\forall x\in E)\ (x\in\overline B\Rightarrow x\in\overline A)\iff\overline B\subset\overline A$ .

II. Opérations sur les ensembles

1. Intersection

Définition 5 : Intersection

L’intersection de deux parties $A$ et $B$ de $E$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ : $A\cap B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ et }x\in B\}\qquad;\qquad x\in A\cap B\iff(x\in A\text{ et }x\in B).$ Si $A\cap B=\varnothing$ , on dit que $A$ et $B$ sont disjointes.

La partie colorée représente $A\cap B$ .

Propriété

Pour toutes parties $A$ , $B$ , $C$ de $E$ : $A\cap B=B\cap A$ ; $\ A\cap A=A$ ; $\ A\cap\overline A=\varnothing$ ; $\ A\cap E=A$ ; $\ A\cap\varnothing=\varnothing$ ; $\ A\cap B\subset A$ et $A\cap B\subset B$ ; $\ A\subset B\iff A\cap B=A$ ; $\ A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ (associativité).

Voir la solution

Preuve de $A\subset B\iff A\cap B=A$ . ( $\Rightarrow$ ) On a toujours $A\cap B\subset A$ . Si $A\subset B$ et $x\in A$ , alors $x\in B$ , donc $x\in A\cap B$ : $A\subset A\cap B$ . D’où l’égalité. ( $\Leftarrow$ ) Si $A\cap B=A$ , alors $A=A\cap B\subset B$ .

Exemple 6

Soient $A=\{x\in\R\ /\ |x+1|<4\}$ et $B=\{x\in\Z\ /\ x\ge-1\}$ . Déterminer $A\cap B$ en extension.

Voir la solution

$|x+1|<4\iff-4<x+1<4\iff-5<x<3$ , donc $A=\,]-5;3[$ . Ainsi $A\cap B=\{x\in\Z\ /\ -1\le x<3\}=\{-1;0;1;2\}$ .

2. Réunion

Définition 6 : Réunion

La réunion de $A$ et $B$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (éventuellement aux deux) : $A\cup B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ ou }x\in B\}\qquad;\qquad x\in A\cup B\iff(x\in A\text{ ou }x\in B).$

La partie colorée représente $A\cup B$ .

Propriété

$A\cup B=B\cup A$ ; $\ A\cup A=A$ ; $\ A\cup\overline A=E$ ; $\ A\cup E=E$ ; $\ A\cup\varnothing=A$ ; $\ A\subset A\cup B$ et $B\subset A\cup B$ ; $\ A\subset B\iff A\cup B=B$ ; $\ A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ (associativité).

Exemple 7

Soient $A=\{x\in\N\ /\ x^2<30\}$ et $B=\{x\in\Z\ /\ |x-2|\le 3\}$ . Déterminer $A\cup B$ en extension, puis en compréhension.

Voir la solution

$x\in\N$ et $x^2<30\iff x\in\{0;1;2;3;4;5\}$ (car $5^2=25<30\le 36=6^2$ ). $|x-2|\le3\iff-1\le x\le 5$ , donc $B=\{-1;0;1;2;3;4;5\}$ . Ainsi $A\cup B=\{-1;0;1;2;3;4;5\}=\{x\in\Z\ /\ -1\le x\le 5\}$ .

3. Règles de calcul

Propriété

Pour toutes parties $A$ , $B$ , $C$ de $E$ :

Lois de Morgan : $\ \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\$ et $\ \overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ .
Distributivité : $\ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\$ et $\ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .
$(A\subset B\text{ et }A\subset C)\iff A\subset B\cap C\$ ; $\ (A\subset C\text{ et }B\subset C)\iff A\cup B\subset C$ .
$(A\subset B\text{ ou }A\subset C)\Longrightarrow A\subset B\cup C$ (la réciproque est fausse).

Méthode

Pour démontrer une égalité d’ensembles, on traduit l’appartenance par une proposition logique et on applique la loi logique correspondante : Morgan pour les complémentaires, distributivité de « et » / « ou » pour $\cap$ / $\cup$ .

Voir la solution

Morgan. Pour $x\in E$ : $x\in\overline{A\cap B}\iff\overline{x\in A\text{ et }x\in B}\iff(x\notin A\text{ ou }x\notin B)\iff x\in\overline A\cup\overline B$ . De même pour l’autre loi.

Distributivité. $x\in A\cap(B\cup C)\iff\big[x\in A\text{ et }(x\in B\text{ ou }x\in C)\big]\iff\big[(x\in A\text{ et }x\in B)\text{ ou }(x\in A\text{ et }x\in C)\big]\iff x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

Inclusions. $(A\subset B\text{ et }A\subset C)\iff(\forall x)\big[(x\in A\Rightarrow x\in B)\text{ et }(x\in A\Rightarrow x\in C)\big]\iff(\forall x)\big[x\in A\Rightarrow(x\in B\text{ et }x\in C)\big]\iff A\subset B\cap C$ (loi logique de l’exercice 5.7 de la série 01). De même $(A\subset C\text{ et }B\subset C)\iff A\cup B\subset C$ (exercice 17 de la série 01).

Contre-exemple pour la réciproque. $E=\{1;2\}$ , $A=\{1;2\}$ , $B=\{1\}$ , $C=\{2\}$ : $A\subset B\cup C$ mais $A\not\subset B$ et $A\not\subset C$ .

Application 1

Soient $A$ , $B$ deux parties de $E$ . Montrer que $\overline{\overline A\cup B}=A\cap\overline B$ et que $(A\cup B)\cap\overline A=B\cap\overline A$ .

Voir la solution

Par Morgan : $\overline{\overline A\cup B}=\overline{\overline A}\cap\overline B=A\cap\overline B$ . Par distributivité : $(A\cup B)\cap\overline A=(A\cap\overline A)\cup(B\cap\overline A)=\varnothing\cup(B\cap\overline A)=B\cap\overline A$ .

4. Différence de deux ensembles

Définition 7 : Différence

La différence de $A$ et $B$ (dans cet ordre), notée $A\setminus B$ (« $A$ privé de $B$ »), est l’ensemble des éléments de $A$ qui n’appartiennent pas à $B$ : $A\setminus B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ et }x\notin B\}\qquad;\qquad A\setminus B=A\cap\overline B\qquad;\qquad E\setminus A=\overline A.$

La partie colorée représente $A\setminus B$ .

Exemple 8

Soient $A$ , $B$ deux parties de $E$ . Montrer que : (1) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$ ; (2) $A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)$ ; (3) $A\subset B\iff A\setminus B=\varnothing$ .

Voir la solution

$\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline B}=\overline A\cup\overline{\overline B}=\overline A\cup B$ (Morgan).
$(A\setminus B)\cup(A\cap B)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap B)=A\cap(\overline B\cup B)=A\cap E=A$ (distributivité).
( $\Rightarrow$ ) Supposons $A\subset B$ et, par l’absurde, $A\setminus B\neq\varnothing$ : il existe $x\in A$ avec $x\notin B$ , ce qui contredit $A\subset B$ . ( $\Leftarrow$ ) Supposons $A\setminus B=\varnothing$ et soit $x\in A$ ; si $x\notin B$ , alors $x\in A\setminus B=\varnothing$ , absurde ; donc $x\in B$ , et $A\subset B$ .

5. Différence symétrique

Définition 8 : Différence symétrique

La différence symétrique de $A$ et $B$ est $\ A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles.

La partie colorée représente $A\,\Delta\,B$ .

Exemple 9

Pour $E=\{1;2;\ldots;8\}$ , $A=\{1;2;3;5\}$ et $B=\{2;4;5;6\}$ , déterminer $A\,\Delta\,B$ .
Montrer que $A\,\Delta\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ et que $\overline A\,\Delta\,\overline B=A\,\Delta\,B$ .

Voir la solution

$A\setminus B=\{1;3\}$ et $B\setminus A=\{4;6\}$ , donc $A\,\Delta\,B=\{1;3;4;6\}$ .
$(A\cup B)\setminus(A\cap B)=(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)=\big[A\cap(\overline A\cup\overline B)\big]\cup\big[B\cap(\overline A\cup\overline B)\big]=(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)=A\,\Delta\,B$ (car $A\cap\overline A=B\cap\overline B=\varnothing$ ). Puis $\overline A\,\Delta\,\overline B=(\overline A\cap\overline{\overline B})\cup(\overline B\cap\overline{\overline A})=(\overline A\cap B)\cup(\overline B\cap A)=A\,\Delta\,B$ .

Remarque

$A\,\Delta\,B=B\,\Delta\,A$ ; $\ A\,\Delta\,\varnothing=A$ ; $\ A\,\Delta\,A=\varnothing$ ; $\ A\,\Delta\,B=\varnothing\iff A=B$ .

III. Produit cartésien

Définition 9 : Produit cartésien

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Le produit cartésien $E\times F$ est l’ensemble des couples $(x;y)$ tels que $x\in E$ et $y\in F$ : $E\times F=\{(x;y)\ /\ x\in E\text{ et }y\in F\}\qquad;\qquad(x;y)\in E\times F\iff(x\in E\text{ et }y\in F).$ On note $E^2=E\times E$ . Deux couples sont égaux si et seulement si $(x;y)=(x';y')\iff(x=x'\text{ et }y=y')$ ; en général $(x;y)\neq(y;x)$ .

Remarque

$\R^2=\R\times\R$ s’identifie au plan muni d’un repère : le point $M(x;y)$ correspond au couple $(x;y)$ .
Si $E$ a $n$ éléments et $F$ en a $p$ , alors $E\times F$ a $np$ éléments.
Le produit cartésien se représente par un diagramme cartésien (quadrillage).

Exemple 10

Soient $E=\{1;2;3\}$ et $F=\{a;b\}$ . Déterminer $E\times F$ et $F^2$ , puis construire le diagramme cartésien de $E\times F$ .

Voir la solution

$E\times F=\{(1;a);(1;b);(2;a);(2;b);(3;a);(3;b)\}$ ( $3\times2=6$ couples) ; $\ F^2=\{(a;a);(a;b);(b;a);(b;b)\}$ .

Diagramme cartésien de $E\times F$ : chaque point du quadrillage représente un couple.

Exercice de révision (avec solution)

Exercice d’application

On considère $A=\{n\in\N\ /\ n^2-7n+10<0\}$ , $\ B=\left\{n\in\N\ /\ \dfrac{10}{n+1}\in\N\right\}$ et $C=\{x\in\R\ /\ |x-3|\le 1\}$ .

Déterminer $A$ et $B$ en extension.
Déterminer $A\cup B$ et $A\cap B$ en extension.
Montrer que $A\subset C$ .
Représenter $B\times C$ dans un repère orthonormé.

Voir la solution

$n^2-7n+10=(n-2)(n-5)<0\iff 2<n<5$ , donc $A=\{3;4\}$ . Pour $n\in\N$ , $n+1\in\N^*$ et $\frac{10}{n+1}\in\N\iff n+1$ divise $10\iff n+1\in\{1;2;5;10\}$ , donc $B=\{0;1;4;9\}$ .
$A\cup B=\{0;1;3;4;9\}$ et $A\cap B=\{4\}$ .
$|x-3|\le1\iff 2\le x\le 4$ , donc $C=[2;4]$ . Comme $3\in[2;4]$ et $4\in[2;4]$ , $A\subset C$ .
$B\times C=\{(x;y)\ /\ x\in\{0;1;4;9\}\text{ et }2\le y\le 4\}$ : quatre segments verticaux.

Résumé : dictionnaire logique — ensembles

Logique	Ensembles	Définition
$P(x)$	$A=\{x\in E\ /\ P(x)\}$	$x\in A\iff P(x)$
$\overline{P(x)}$	$\overline A$	$x\in\overline A\iff x\notin A$
$P(x)$ et $Q(x)$	$A\cap B$	$x\in A$ et $x\in B$
$P(x)$ ou $Q(x)$	$A\cup B$	$x\in A$ ou $x\in B$
$P(x)$ et $\overline{Q(x)}$	$A\setminus B$	$x\in A$ et $x\notin B$
$(\forall x)\ P(x)\Rightarrow Q(x)$	$A\subset B$	tout élément de $A$ est dans $B$
$(\forall x)\ P(x)\Leftrightarrow Q(x)$	$A=B$	$A\subset B$ et $B\subset A$
Lois de Morgan	$\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$ , $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Pour montrer $X\subset Y$ : on prend $x\in X$ quelconque et on montre $x\in Y$ . Pour montrer $X=Y$ : double inclusion, ou équivalences $x\in X\iff\cdots\iff x\in Y$ (chaque étape étant une loi logique).
Règles de calcul : $A\setminus B=A\cap\overline B$ ; Morgan $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$ , $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ ; distributivité ; $x\in A\,\Delta\,B\iff$ ( $x$ appartient à exactement un des deux ensembles).
Les résultats de cet exercice ont été vérifiés par programme (force brute sur toutes les parties d’un ensemble à 4 éléments).

Consignes. Dans les exercices 7, 8 et 15 à 20, $E$ désigne un ensemble non vide et les complémentaires sont pris dans $E$ (notés $\overline{A}$ ). On note $A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ . Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ ; les exercices 16 à 20 sont de haut niveau.

Exercice 1 — Extension / compréhension Facile ★★☆☆☆

Écrire en extension les ensembles suivants :
$A=\{x\in\Z\ /\ |3x-2|\le 5\}$ ;
$B=\{x\in\Q\ /\ (x^2-3)(|x|-4)=0\}$ ;
$C=\{(x;y)\in\N^2\ /\ x^2-y^2=15\}$ ;
$D=\{(x;y)\in\N^2\ /\ 4\le x^2+y^2\le 9\}$ .
Écrire en compréhension les ensembles suivants :
$E=\{1;3;9;27;81;\ldots\}$ ;
$F=\left\{\ldots;\dfrac14;\dfrac12;1;2;4;\ldots\right\}$ ;
$G$ = ensemble des entiers relatifs multiples de $7$ .

Voir la solution

1) $|3x-2|\le5\iff-5\le 3x-2\le 5\iff-1\le x\le\frac73$ ; avec $x\in\Z$ : $A=\{-1;0;1;2\}$ .

$(x^2-3)(|x|-4)=0\iff x^2=3$ ou $|x|=4\iff x\in\{-\sqrt3;\sqrt3;-4;4\}$ ; comme $\sqrt3\notin\Q$ : $B=\{-4;4\}$ .

$x^2-y^2=15\iff(x-y)(x+y)=15$ . Avec $x,y\in\N$ : $x+y\ge0$ , donc $x-y>0$ et $x-y\le x+y$ ; les couples de diviseurs sont $(x-y;x+y)\in\{(1;15);(3;5)\}$ , ce qui donne $(x;y)=(8;7)$ ou $(4;1)$ . $C=\{(4;1);(8;7)\}$ .

$4\le x^2+y^2\le 9$ impose $x,y\in\{0;1;2;3\}$ ; on teste : $D=\{(0;2);(0;3);(1;2);(2;0);(2;1);(2;2);(3;0)\}$ .

2) $E=\{3^n\ /\ n\in\N\}$ ; $\ F=\{2^n\ /\ n\in\Z\}$ ; $\ G=\{7k\ /\ k\in\Z\}$ .

Exercice 2 — Égalité d’ensembles Facile ★★☆☆☆

On pose $A=\{4n+1\ /\ n\in\Z\}$ et $B=\{4n'-7\ /\ n'\in\Z\}$ . Montrer que $A=B$ .

Voir la solution

$A\subset B$ : soit $x\in A$ , $x=4n+1$ ( $n\in\Z$ ). Alors $x=4(n+2)-7$ avec $n'=n+2\in\Z$ , donc $x\in B$ . $B\subset A$ : soit $x\in B$ , $x=4n'-7$ . Alors $x=4(n'-2)+1$ avec $n=n'-2\in\Z$ , donc $x\in A$ . Par double inclusion, $A=B$ .

Exercice 3 — Opérations Facile ★★☆☆☆

On considère $E=\{1;2;3;\ldots;30\}$ et ses parties $A=\{x\in E\ /\ (\exists k\in E)\ x=2k\}$ et $B=\{x\in E\ /\ (\exists k\in E)\ x=5k\}$ .

Écrire $E$ en compréhension, puis $A$ et $B$ en extension.
Déterminer en extension $\overline A$ , $A\cup B$ , $A\cap B$ et $\overline{A\cup B}$ .
Déterminer $\mathcal{P}(A\cap B)$ .

Voir la solution

$E=\{n\in\N\ /\ 1\le n\le 30\}$ . $A$ est l’ensemble des nombres pairs de $E$ (si $x=2k\le30$ avec $k\in E$ , alors $k\le 15$ ) : $A=\{2;4;6;\ldots;30\}$ ; $B=\{5;10;15;20;25;30\}$ .
$\overline A=\{1;3;5;\ldots;29\}$ (impairs) ; $A\cup B=\{2;4;5;6;8;10;12;14;15;16;18;20;22;24;25;26;28;30\}$ ; $A\cap B=\{10;20;30\}$ ; $\overline{A\cup B}=\{1;3;7;9;11;13;17;19;21;23;27;29\}$ .
$\mathcal{P}(A\cap B)=\big\{\varnothing;\{10\};\{20\};\{30\};\{10;20\};\{10;30\};\{20;30\};\{10;20;30\}\big\}$ .

Exercice 4 — Appartenance / inclusion Facile ★★☆☆☆

Soit $E=\{a;b;c\}$ . Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont vraies (justifier brièvement) :

$b\in E$ ; $\ b\subset E$ ; $\ \{b\}\in E$ ; $\ \{b\}\subset E$ ; $\ \{b\}\subset\mathcal{P}(E)$ ; $\ \{b\}\in\mathcal{P}(E)$ ; $\ \varnothing\in E$ ; $\ \varnothing\subset E$ ; $\ \varnothing\in\mathcal{P}(E)$ ; $\ \{\varnothing\}\subset\mathcal{P}(E)$ ; $\ E\in\mathcal{P}(E)$ ; $\ E\subset E$ ; $\ \{a;c\}\in\mathcal{P}(E)$ ; « $b\in E$ et $c\notin E$ » ; $\ (a;c)\in E\times E$ .

Voir la solution

Proposition	Valeur	Justification
$b\in E$	V	$b$ est un élément de $E$
$b\subset E$	F	$b$ est un élément, pas une partie
$\{b\}\in E$	F	les éléments de $E$ sont $a$ , $b$ , $c$
$\{b\}\subset E$	V	car $b\in E$
$\{b\}\subset\mathcal{P}(E)$	F	il faudrait $b\in\mathcal{P}(E)$
$\{b\}\in\mathcal{P}(E)$	V	car $\{b\}\subset E$
$\varnothing\in E$	F	$\varnothing$ n’est pas l’un de $a,b,c$
$\varnothing\subset E$	V	le vide est inclus dans tout ensemble
$\varnothing\in\mathcal{P}(E)$	V	car $\varnothing\subset E$
$\{\varnothing\}\subset\mathcal{P}(E)$	V	car $\varnothing\in\mathcal{P}(E)$
$E\in\mathcal{P}(E)$	V	car $E\subset E$
$E\subset E$	V	toujours
$\{a;c\}\in\mathcal{P}(E)$	V	car $\{a;c\}\subset E$
« $b\in E$ et $c\notin E$ »	F	$c\in E$
$(a;c)\in E\times E$	V	$a\in E$ et $c\in E$

Exercice 5 — Opérations Facile ★☆☆☆☆

On considère l’ensemble $E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$ et ses parties :
$A=\{2;3;5;6;8;11;12\}$ ,
$B=\{1;3;4;6;7;8;10\}$
et $C=\{2;3;10\}$ .
Déterminer les ensembles suivants :

$A\cap B$ ; $A\cap C$ ; $A\cup B$ ; $A\setminus B$ ; $B\setminus A$ ; $\mathcal{P}(C)$ ; $\complement_E A$ ; $\complement_E B$ ; $\complement_E(A\cap B)$ ; $\complement_E A\cup\complement_E B$ ; $\complement_E(A\cup B)$ ; $\complement_E A\cap\complement_E B$ ; $B\cup C$ ; $A\cap(B\cup C)$ ; $(A\cap B)\cup(A\cap C)$ . Que constate-t-on ?

Voir la solution

Ensemble	Résultat	Ensemble	Résultat
$A\cap B$	$\{3;6;8\}$	$\complement_E(A\cap B)$	$\{1;2;4;5;7;9;10;11;12\}$
$A\cap C$	$\{2;3\}$	$\complement_E A\cup\complement_E B$	$\{1;2;4;5;7;9;10;11;12\}$
$A\cup B$	$\{1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12\}$	$\complement_E(A\cup B)$	$\{9\}$
$A\setminus B$	$\{2;5;11;12\}$	$\complement_E A\cap\complement_E B$	$\{9\}$
$B\setminus A$	$\{1;4;7;10\}$	$B\cup C$	$\{1;2;3;4;6;7;8;10\}$
$\complement_E A$	$\{1;4;7;9;10\}$	$A\cap(B\cup C)$	$\{2;3;6;8\}$
$\complement_E B$	$\{2;5;9;11;12\}$	$(A\cap B)\cup(A\cap C)$	$\{2;3;6;8\}$

$\mathcal{P}(C)=\big\{\varnothing;\{2\};\{3\};\{10\};\{2;3\};\{2;10\};\{3;10\};\{2;3;10\}\big\}$ ( $2^3=8$ éléments).

Constat. On a obtenu $\complement_E(A\cap B)=\complement_E A\cup\complement_E B$ et $\complement_E(A\cup B)=\complement_E A\cap\complement_E B$ (lois de Morgan), ainsi que $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ (distributivité de $\cap$ par rapport à $\cup$ ). Ces égalités, constatées ici sur un exemple, sont vraies pour toutes parties $A$ , $B$ , $C$ de $E$ (voir le cours) ; un exemple ne suffit pas à les démontrer.

Exercice 6 — Déduction Facile ★★☆☆☆

Soient $E=\{p;q;r;s;t;u\}$ et $A$ , $B$ deux parties de $E$ telles que : $A\cap B=\{p;q\}$ ; $\ A\setminus B=\{r;s\}$ ; $\ A\cup B=\{p;q;r;s;t\}$ . Déterminer $A$ , $B$ , $B\setminus A$ , $A\,\Delta\,B$ et $\overline A\,\Delta\,\overline B$ .

Voir la solution

$A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)=\{p;q;r;s\}$ . $B\setminus A=(A\cup B)\setminus A=\{t\}$ , donc $B=(B\setminus A)\cup(A\cap B)=\{p;q;t\}$ . $A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{r;s;t\}$ . Enfin $\overline A=\{t;u\}$ et $\overline B=\{r;s;u\}$ , donc $\overline A\,\Delta\,\overline B=\{r;s;t\}=A\,\Delta\,B$ (résultat général, exercice 7.9 et cours).

Exercice 7 — Classique — double implication Moyen ★★★☆☆

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des parties de $E$ . Montrer les propriétés suivantes :

$A\subset\overline B\iff B\subset\overline A$
$A\cup B\subset A\cap B\iff A=B$
$A\cap B=E\iff(A=E\text{ et }B=E)$
$A\cap B=A\cup C\iff C\subset A\subset B$
$A\setminus B=A\iff A\cap B=\varnothing$
a. $\overline A\cup B=E\iff A\subset B$ ; $\quad$ b. $A\cap\overline B=\varnothing\iff A\subset B$
$\begin{cases}\overline A\cup B=\overline A\cup C\\ \overline A\cap B=\overline A\cap C\end{cases}\iff B=C$
a. $A\cup B=A\cup C\iff A\cup\overline B=A\cup\overline C$ ; $\quad$ b. $A\cap B=A\cap C\iff\overline A\cup B=\overline A\cup C$
$B\cap(A\,\Delta\,B)=B\setminus A$ et $\overline A\,\Delta\,B=A\,\Delta\,\overline B$
$A\,\Delta\,C=B\,\Delta\,C\iff A=B$ (on pourra utiliser $X\,\Delta\,X=\varnothing$ , $X\,\Delta\,\varnothing=X$ et le résultat admis ici : $\Delta$ est associative, c’est-à-dire $(X\,\Delta\,Y)\,\Delta\,Z=X\,\Delta\,(Y\,\Delta\,Z)$ ; il sera démontré à l’exercice 8)
$A\,\Delta\,B=A\cup B\iff A\cap B=\varnothing$
$A\,\Delta\,B=E\iff B=\overline A$
$\begin{cases}B\subset A\\ C=A\setminus B\end{cases}\Longrightarrow B=A\setminus C$
$\begin{cases}(A\setminus B)\subset D\\ (B\setminus C)\subset D\end{cases}\Longrightarrow(A\setminus C)\subset D$
Si $B\neq\varnothing$ , alors $A\times B\subset C\times B\Longrightarrow A\subset C$ .
$A\times B=B\times A\iff(A=B\text{ ou }A=\varnothing\text{ ou }B=\varnothing)$

Voir la solution

1) $A\subset\overline B\iff(\forall x)\ (x\in A\Rightarrow x\notin B)\iff(\forall x)\ (x\in B\Rightarrow x\notin A)$ (contraposée) $\iff B\subset\overline A$ .

2) ( $\Leftarrow$ ) si $A=B$ , $A\cup B=A=A\cap B$ . ( $\Rightarrow$ ) $A\subset A\cup B\subset A\cap B\subset B$ et de même $B\subset A\cup B\subset A\cap B\subset A$ , donc $A=B$ .

3) ( $\Leftarrow$ ) évident. ( $\Rightarrow$ ) $E=A\cap B\subset A\subset E$ , donc $A=E$ ; de même $B=E$ .

4) ( $\Rightarrow$ ) $C\subset A\cup C=A\cap B\subset A$ et $A\subset A\cup C=A\cap B\subset B$ , donc $C\subset A\subset B$ . ( $\Leftarrow$ ) Si $C\subset A\subset B$ : $A\cap B=A$ et $A\cup C=A$ , d’où l’égalité.

5) ( $\Rightarrow$ ) Si $A\setminus B=A$ et $x\in A\cap B$ , alors $x\in A=A\setminus B$ , donc $x\notin B$ : contradiction ; donc $A\cap B=\varnothing$ . ( $\Leftarrow$ ) Si $A\cap B=\varnothing$ , tout $x\in A$ vérifie $x\notin B$ , donc $A\subset A\setminus B\subset A$ .

6) a) $\overline A\cup B=E\iff(\forall x\in E)\ (x\notin A\text{ ou }x\in B)\iff(\forall x\in E)\ (x\in A\Rightarrow x\in B)\iff A\subset B$ . b) $A\cap\overline B=\varnothing\iff\overline{A\cap\overline B}=E\iff\overline A\cup B=E\iff A\subset B$ (Morgan et a).

7) ( $\Leftarrow$ ) évident. ( $\Rightarrow$ ) Soit $x\in B$ . Si $x\in\overline A$ : $x\in\overline A\cap B=\overline A\cap C$ , donc $x\in C$ . Si $x\in A$ : $x\notin\overline A$ et $x\in B\subset\overline A\cup B=\overline A\cup C$ , donc $x\in C$ . Ainsi $B\subset C$ ; par symétrie $C\subset B$ .

8) a) $A\cup B=A\cup C\iff B\setminus A=C\setminus A$ (car $A\cup X=A\cup(X\setminus A)$ , union disjointe) $\iff\overline A\cap B=\overline A\cap C\iff\overline A\cap\overline B=\overline A\cap\overline C$ (complémentaires dans $\overline A$ : $\overline A\cap\overline X=\overline A\setminus(\overline A\cap X)$ ) $\iff A\cup\overline B=A\cup\overline C$ (même raisonnement qu’au début, avec $\overline B,\overline C$ ). b) En passant aux complémentaires (bijection $X\mapsto\overline X$ ) : $\overline A\cup B=\overline A\cup C\iff\overline{\overline A\cup B}=\overline{\overline A\cup C}\iff A\cap\overline B=A\cap\overline C$ ; or $A\cap\overline B=A\setminus(A\cap B)$ , donc $A\cap\overline B=A\cap\overline C\iff A\cap B=A\cap C$ .

9) $B\cap(A\,\Delta\,B)=B\cap\big[(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)\big]=\varnothing\cup(B\cap\overline A)=B\setminus A$ . $x\in\overline A\,\Delta\,B\iff$ ( $x\notin A$ et $x\notin B$ ) ou ( $x\in A$ et $x\in B$ ) $\iff x\in A\,\Delta\,\overline B$ (même condition en échangeant les rôles). Donc $\overline A\,\Delta\,B=A\,\Delta\,\overline B$ $\big(=\overline{A\,\Delta\,B}\big)$ .

10) ( $\Leftarrow$ ) évident. ( $\Rightarrow$ ) Si $A\,\Delta\,C=B\,\Delta\,C$ , alors $(A\,\Delta\,C)\,\Delta\,C=(B\,\Delta\,C)\,\Delta\,C$ ; par associativité de $\Delta$ (admise dans l’énoncé, démontrée à l’exercice 8.13) et $C\,\Delta\,C=\varnothing$ : $A\,\Delta\,\varnothing=B\,\Delta\,\varnothing$ , soit $A=B$ .

11) $A\,\Delta\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ . ( $\Leftarrow$ ) si $A\cap B=\varnothing$ , $A\,\Delta\,B=A\cup B$ . ( $\Rightarrow$ ) si $x\in A\cap B$ , alors $x\in A\cup B=A\,\Delta\,B$ , donc $x\notin A\cap B$ : contradiction ; donc $A\cap B=\varnothing$ .

12) ( $\Rightarrow$ ) Tout $x\in E$ est dans exactement un des deux ensembles : $x\in B\iff x\notin A$ , donc $B=\overline A$ . ( $\Leftarrow$ ) $A\,\Delta\,\overline A=(A\cap A)\cup(\overline A\cap\overline A)=A\cup\overline A=E$ .

13) $A\setminus C=A\cap\overline{A\cap\overline B}=A\cap(\overline A\cup B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap B)=A\cap B=B$ (car $B\subset A$ ).

14) Soit $x\in A\setminus C$ . Si $x\in B$ : $x\in B$ et $x\notin C$ , donc $x\in B\setminus C\subset D$ . Si $x\notin B$ : $x\in A\setminus B\subset D$ . Dans les deux cas $x\in D$ .

15) Soit $x\in A$ . Comme $B\neq\varnothing$ , choisissons $b\in B$ . Alors $(x;b)\in A\times B\subset C\times B$ , donc $x\in C$ .

16) ( $\Leftarrow$ ) Si $A=B$ , évident ; si $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing$ , les deux produits sont vides. ( $\Rightarrow$ ) Supposons $A\neq\varnothing$ et $B\neq\varnothing$ ; soient $a\in A$ , $b\in B$ . Pour $x\in A$ : $(x;b)\in A\times B=B\times A$ , donc $x\in B$ : $A\subset B$ . Pour $y\in B$ : $(a;y)\in A\times B=B\times A$ , donc $a\in B$ et $y\in A$ : $B\subset A$ . Donc $A=B$ .

Exercice 8 — Classique — égalités Moyen ★★★☆☆

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des parties de $E$ . Montrer les propriétés suivantes :

$A\cup B=(A\setminus B)\cup B$
$A\,\Delta\,B=(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)$
$(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap B$
$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$
$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$
$A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)$
$A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C)$
$(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)=(A\setminus C)\setminus B$
$A\cap B=(A\cup B)\,\Delta\,(A\,\Delta\,B)$
$A\setminus B=A\,\Delta\,(A\cap B)$
$A\cap(B\,\Delta\,C)=(A\cap B)\,\Delta\,(A\cap C)$
$(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C)=(A\,\Delta\,B)\cap\overline C$
$(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C=A\,\Delta\,(B\,\Delta\,C)$
$C\times(A\cup B)=(C\times A)\cup(C\times B)$
$(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D)$
$C\times(A\setminus B)=(C\times A)\setminus(C\times B)$
$E^2\setminus(A\times B)=(\overline A\times E)\cup(E\times\overline B)$

Voir la solution

On raisonne par équivalences sur l’appartenance, ou avec les règles de calcul.

$(A\setminus B)\cup B=(A\cap\overline B)\cup B=(A\cup B)\cap(\overline B\cup B)=(A\cup B)\cap E=A\cup B$ .
$(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)\cup(B\cap\overline B)=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=A\,\Delta\,B$ .
$(A\cap B)\setminus C=A\cap B\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cap B=(A\setminus C)\cap B$ .
$(A\cup B)\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cup(B\cap\overline C)$ (distributivité).
$A\cap\overline{B\cup C}=A\cap\overline B\cap\overline C=(A\cap\overline B)\cap(A\cap\overline C)$ .
$A\cap\overline{B\cap C}=A\cap(\overline B\cup\overline C)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap\overline C)$ .
$A\cap\overline{B\cap\overline C}=A\cap(\overline B\cup C)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap C)$ .
$(A\cap\overline B)\cap\overline C=A\cap(\overline B\cap\overline C)=A\cap\overline{B\cup C}$ et $=(A\cap\overline C)\cap\overline B=(A\setminus C)\setminus B$ .
$A\,\Delta\,B\subset A\cup B$ , donc $(A\cup B)\,\Delta\,(A\,\Delta\,B)=(A\cup B)\setminus(A\,\Delta\,B)$ ; or un élément de $A\cup B$ qui n’est pas dans exactement un des deux ensembles est dans les deux : c’est $A\cap B$ .
$A\cap B\subset A$ , donc $A\,\Delta\,(A\cap B)=A\setminus(A\cap B)=A\cap(\overline A\cup\overline B)=A\cap\overline B=A\setminus B$ .
Soit $x\in E$ . Si $x\notin A$ , $x$ n’est dans aucun des deux membres. Si $x\in A$ : $x\in A\cap(B\,\Delta\,C)\iff x\in B\,\Delta\,C\iff$ ( $x$ est dans exactement un des ensembles $B$ , $C$ ) $\iff$ ( $x$ est dans exactement un des ensembles $A\cap B$ , $A\cap C$ ) $\iff x\in(A\cap B)\,\Delta\,(A\cap C)$ .
Si $x\in C$ : $x$ appartient à $A\cup C$ et à $B\cup C$ , donc $x\notin(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C)$ , et $x\notin\overline C$ . Si $x\notin C$ : $x\in A\cup C\iff x\in A$ et $x\in B\cup C\iff x\in B$ , donc $x\in(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C)\iff x\in A\,\Delta\,B\iff x\in(A\,\Delta\,B)\cap\overline C$ .
Pour $x\in E$ , notons $N(x)$ le nombre d’ensembles parmi $A,B,C$ contenant $x$ . On a $x\in X\,\Delta\,Y\iff$ $x$ appartient à exactement un des deux. On vérifie que $x\in(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C\iff N(x)$ est impair $\iff x\in A\,\Delta\,(B\,\Delta\,C)$ (par exemple : $x\in(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C$ ssi [ $x\in A\,\Delta\,B$ et $x\notin C$ ] ou [ $x\notin A\,\Delta\,B$ et $x\in C$ ], c’est-à-dire $N(x)=1$ avec $x\notin C$ , ou $N(x)\in\{1;3\}$ avec $x\in C$ ; même analyse pour l’autre membre).
$(x;y)\in C\times(A\cup B)\iff x\in C$ et ( $y\in A$ ou $y\in B$ ) $\iff$ ( $x\in C$ et $y\in A$ ) ou ( $x\in C$ et $y\in B$ ) $\iff(x;y)\in(C\times A)\cup(C\times B)$ .
$(x;y)\in(A\times B)\cap(C\times D)\iff x\in A,\ y\in B,\ x\in C,\ y\in D\iff x\in A\cap C$ et $y\in B\cap D$ .
$(x;y)\in(C\times A)\setminus(C\times B)\iff x\in C,\ y\in A$ et non( $x\in C$ et $y\in B$ ) $\iff x\in C,\ y\in A$ et ( $x\notin C$ ou $y\notin B$ ) $\iff x\in C,\ y\in A,\ y\notin B$ (car $x\in C$ ) $\iff(x;y)\in C\times(A\setminus B)$ .
Pour $(x;y)\in E^2$ : $(x;y)\notin A\times B\iff\overline{x\in A\text{ et }y\in B}\iff x\notin A\text{ ou }y\notin B\iff(x;y)\in(\overline A\times E)\cup(E\times\overline B)$ .

Exercice 9 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

On considère les ensembles $A=\left\{\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}\ /\ k\in\Z\right\}$ et $B=\left\{-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k'\pi}{5}\ /\ k'\in\Z\right\}$ .

Vérifier que $\dfrac{\pi}{10}\in B$ .
Le nombre $\dfrac{3\pi}{10}$ appartient-il à $A$ ?
Montrer que $A\subset B$ et $B\not\subset A$ .

Voir la solution

Pour $k'=1$ : $-\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{10}$ , donc $\frac\pi{10}\in B$ .
$\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=\frac{3\pi}{10}\iff\frac{2k}{5}=\frac15\iff k=\frac12\notin\Z$ : $\frac{3\pi}{10}\notin A$ .
Soit $x\in A$ : $x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=-\frac{\pi}{10}+\frac{(2k+1)\pi}{5}$ avec $k'=2k+1\in\Z$ : $x\in B$ . Donc $A\subset B$ . Pour $k'=2$ : $-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}=\frac{3\pi}{10}\in B$ , et $\frac{3\pi}{10}\notin A$ (question 2) : $B\not\subset A$ .

Exercice 10 — Extension / différence symétrique Moyen ★★★☆☆

On pose $A=\left\{x\in\N\setminus\{3\}\ /\ \dfrac{2x+5}{x-3}\in\Z\right\}$ et $B=\left\{x\in\N\setminus\{2\}\ /\ \dfrac{4x+1}{x-2}\in\N\right\}$ .

Écrire $A$ et $B$ en extension.
Déterminer $A\,\Delta\,B$ .
On considère $C=\{4;5;6\}$ . Vérifier que $(C\cup A)\,\Delta\,(C\cup B)\neq C\cup(A\,\Delta\,B)$ .

Voir la solution

Pour $x\neq3$ : $\frac{2x+5}{x-3}=2+\frac{11}{x-3}$ , donc $\frac{2x+5}{x-3}\in\Z\iff(x-3)\mid 11\iff x-3\in\{-11;-1;1;11\}\iff x\in\{-8;2;4;14\}$ . Avec $x\in\N$ : $A=\{2;4;14\}$ . Pour $x\neq2$ : $\frac{4x+1}{x-2}=4+\frac{9}{x-2}$ . Il faut d’abord $(x-2)\mid 9$ , soit $x-2\in\{-9;-3;-1;1;3;9\}$ , d’où (avec $x\in\N$ ) $x\in\{1;3;5;11\}$ . Pour $x=1$ : $\frac{5}{-1}=-5\notin\N$ ; pour $x=3,5,11$ : $13$ , $7$ , $5\in\N$ . Donc $B=\{3;5;11\}$ .
$A\,\Delta\,B=\{2;3;4;5;11;14\}$ (ici $A\cap B=\varnothing$ ).
$C\cup A=\{2;4;5;6;14\}$ , $C\cup B=\{3;4;5;6;11\}$ , donc $(C\cup A)\,\Delta\,(C\cup B)=\{2;3;11;14\}$ , alors que $C\cup(A\,\Delta\,B)=\{2;3;4;5;6;11;14\}$ . Les deux ensembles sont différents.

Exercice 11 — Paramètre Moyen ★★★☆☆

Soit $\alpha\in\R_+^*$ . On pose $E=[-3;3]$ , $\ F=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2+4y^2\le 9\}$ , $\ G=\{x\in\R\ /\ |x-2|<\alpha\}$ et $H=\left\{x\in\R\ /\ |x+1|<\dfrac52\right\}$ .

a. Montrer que $F\neq\varnothing$ et $G\neq\varnothing$ . b. Montrer que $F\subset E^2$ .
Déterminer, si elles existent, les valeurs de $\alpha$ telles que : a. $G=H$ ; $\quad$ b. $G\cap H=\varnothing$ .

Voir la solution

1) a) $(0;0)\in F$ car $0\le 9$ , donc $F\neq\varnothing$ ; $2\in G$ car $|2-2|=0<\alpha$ , donc $G\neq\varnothing$ . 1) b) Soit $(x;y)\in F$ . Alors $x^2\le x^2+4y^2\le 9$ , donc $|x|\le 3$ ; et $4y^2\le 9$ , donc $|y|\le\frac32\le 3$ . Ainsi $x\in E$ et $y\in E$ : $(x;y)\in E^2$ . Donc $F\subset E^2$ .

2) $G=\,]2-\alpha;2+\alpha[$ et $H=\left]-\frac72;\frac32\right[$ . a) Si $G=H$ , les bornes coïncident : $2-\alpha=-\frac72$ et $2+\alpha=\frac32$ , soit $\alpha=\frac{11}{2}$ et $\alpha=-\frac12$ : impossible. Aucune valeur de $\alpha$ ne convient. b) Comme $2-\alpha<2$ et $\frac32<2$ , les deux intervalles sont disjoints si et seulement si $2-\alpha\ge\frac32$ , soit $\alpha\le\frac12$ . Donc $G\cap H=\varnothing\iff\alpha\in\left]0;\frac12\right]$ .

Exercice 12 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

Déterminer l’ensemble $[-2\pi;3\pi]\cap\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\ /\ k\in\Z\right\}$ .
On considère $A=\left\{\dfrac\pi2+2k\pi\ /\ k\in\Z\right\}$ et $B=\left\{-\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\}$ . Montrer que $A\subset B$ .
On considère $C=\left\{\dfrac\pi4+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\}$ et $D=\left\{-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\}$ . Montrer que $C\cap D=\varnothing$ .

Voir la solution

$-2\pi\le\frac\pi3+\frac{k\pi}{2}\le3\pi\iff-\frac73\le\frac k2\le\frac83\iff-\frac{14}{3}\le k\le\frac{16}{3}\iff k\in\{-4;-3;\ldots;5\}$ ( $k\in\Z$ ). L’ensemble est $\left\{-\frac{5\pi}{3};-\frac{7\pi}{6};-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6};\frac{4\pi}{3};\frac{11\pi}{6};\frac{7\pi}{3};\frac{17\pi}{6}\right\}$ .
Soit $x=\frac\pi2+2k\pi\in A$ . Alors $x=-\frac\pi6+\frac{2\pi}{3}+2k\pi=-\frac\pi6+\frac{2(3k+1)\pi}{3}$ avec $3k+1\in\Z$ : $x\in B$ .
Par l’absurde : si $x\in C\cap D$ , il existe $k,k'\in\Z$ tels que $\frac\pi4+\frac{2k\pi}{3}=-\frac\pi4+\frac{k'\pi}{3}$ . En multipliant par $\frac{12}{\pi}$ : $3+8k=-3+4k'$ , soit $6=4k'-8k$ , d’où $3=2(k'-2k)$ : $3$ serait pair, contradiction. Donc $C\cap D=\varnothing$ .

Exercice 13 — Divisibilité Moyen ★★★☆☆

Déterminer en extension les ensembles $A=\left\{x\in\N\ /\ \dfrac{4x^2+2x+9}{2x-1}\in\Z\right\}$ et $B=\left\{x\in\N\setminus\{4\}\ /\ \dfrac{x+8}{x-4}\in\N\right\}$ , puis déterminer $A\cap B$ , $A\cup B$ et $A\setminus B$ .

Voir la solution

Pour $x\in\N$ , $2x-1\neq0$ et $4x^2+2x+9=(2x-1)(2x+2)+11$ , donc $\frac{4x^2+2x+9}{2x-1}=2x+2+\frac{11}{2x-1}\in\Z\iff(2x-1)\mid11\iff 2x-1\in\{-11;-1;1;11\}\iff x\in\{-5;0;1;6\}$ . Donc $A=\{0;1;6\}$ .

Pour $x\neq4$ : $\frac{x+8}{x-4}=1+\frac{12}{x-4}$ . Si $x>4$ : il faut $(x-4)\mid12$ , $x-4\in\{1;2;3;4;6;12\}$ . Si $0\le x<4$ : $x-4\in\{-4;-3;-2;-1\}$ et $1+\frac{12}{x-4}\le 1-3<0$ : exclu. Donc $B=\{5;6;7;8;10;16\}$ .

$A\cap B=\{6\}$ ; $\ A\cup B=\{0;1;5;6;7;8;10;16\}$ ; $\ A\setminus B=\{0;1\}$ .

Exercice 14 — Partie de $\mathbb{R}^2$ Moyen ★★★☆☆

On considère l’ensemble $F=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2\le 2y\ \text{ et }\ y^2<2x\}$ .

Montrer que $F\neq\varnothing$ .
Montrer que $F\subset[0;2]\times[0;2]$ .

Voir la solution

$(1;1)\in F$ car $1\le 2$ et $1<2$ . Donc $F\neq\varnothing$ .
Soit $(x;y)\in F$ . De $y^2<2x$ on tire $x>0$ ; de $x^2\le 2y$ on tire $y\ge0$ . Ensuite $x^4\le 4y^2<8x$ , donc ( $x>0$ ) $x^3<8$ et $x<2$ . De même $y^4<4x^2\le 8y$ ; si $y>0$ , $y^3<8$ et $y<2$ ; si $y=0$ , $y<2$ . Ainsi $0\le x\le2$ et $0\le y\le 2$ : $(x;y)\in[0;2]\times[0;2]$ .

Exercice 15 — Ensemble des parties Moyen ★★★☆☆

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Montrer que :

$E\subset F\iff\mathcal{P}(E)\subset\mathcal{P}(F)$ .
$\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F)\subset\mathcal{P}(E\cup F)$ , et que cette inclusion peut être stricte.

Voir la solution

( $\Rightarrow$ ) Soit $X\in\mathcal{P}(E)$ : $X\subset E\subset F$ , donc $X\in\mathcal{P}(F)$ . ( $\Leftarrow$ ) $E\in\mathcal{P}(E)\subset\mathcal{P}(F)$ , donc $E\subset F$ .
Soit $X\in\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F)$ : $X\subset E$ ou $X\subset F$ , donc $X\subset E\cup F$ , i.e. $X\in\mathcal{P}(E\cup F)$ . Inclusion stricte : pour $E=\{1\}$ , $F=\{2\}$ , on a $\{1;2\}\in\mathcal{P}(E\cup F)$ mais $\{1;2\}\notin\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F)$ .

Exercice 16 — Partie de $\mathbb{R}^2$ Difficile ★★★★☆

Soit $E=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2-xy-2y^2=4\}$ .

Vérifier que : $(\forall(x;y)\in\R^2)\ \ x^2-xy-2y^2=(x-2y)(x+y)$ .
Déterminer en extension l’ensemble $F=E\cap\Z^2$ .
Montrer que $E=\left\{\left(\dfrac{t^2+8}{3t}\ ;\ \dfrac{4-t^2}{3t}\right)\ /\ t\in\R^*\right\}$ .

Voir la solution

$(x-2y)(x+y)=x^2+xy-2xy-2y^2=x^2-xy-2y^2$ .
$(x;y)\in F\iff x,y\in\Z$ et $(x-2y)(x+y)=4$ . Posons $u=x-2y$ , $v=x+y$ (entiers, $uv=4$ ) ; alors $v-u=3y$ , donc $u\equiv v$ modulo $3$ , puis $y=\frac{v-u}{3}$ , $x=\frac{u+2v}{3}$ .

$(u;v)$	$(1;4)$	$(4;1)$	$(2;2)$	$(-1;-4)$	$(-4;-1)$	$(-2;-2)$
$(x;y)$	$(3;1)$	$(2;-1)$	$(2;0)$	$(-3;-1)$	$(-2;1)$	$(-2;0)$

Toutes les paires conviennent ( $v-u\in\{3;-3;0\}$ ), donc $F=\{(3;1);(2;-1);(2;0);(-3;-1);(-2;1);(-2;0)\}$ . 3. Notons $G$ l’ensemble paramétré. $G\subset E$ : pour $t\neq0$ , $x-2y=\frac{t^2+8-8+2t^2}{3t}=t$ et $x+y=\frac{12}{3t}=\frac4t$ , donc $(x-2y)(x+y)=4$ . $E\subset G$ : si $(x;y)\in E$ , posons $t=x-2y$ ; $t(x+y)=4$ donc $t\neq0$ et $x+y=\frac4t$ . En résolvant : $x=\frac{t+\frac8t}{3}=\frac{t^2+8}{3t}$ et $y=\frac{\frac4t-t}{3}=\frac{4-t^2}{3t}$ . Donc $(x;y)\in G$ , et $E=G$ .

Exercice 17 — Inclusions Moyen ★★★☆☆

Soient $A,X,Y\in\mathcal{P}(E)$ tels que $X\cup A=Y\cap A$ . Montrer que $X\subset A\subset Y$ .

Voir la solution

$X\subset X\cup A=Y\cap A\subset A$ , donc $X\subset A$ . Et $A\subset X\cup A=Y\cap A\subset Y$ , donc $A\subset Y$ . Ainsi $X\subset A\subset Y$ .

Exercice 18 — Équations dans $\mathcal{P}(E)$ Difficile ★★★★☆

Soient $A,B\in\mathcal{P}(E)$ . Résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ les équations suivantes :

$X\cup\overline A=B$
$X\cap\overline A=B$

Voir la solution

1) Condition nécessaire : si $X\cup\overline A=B$ , alors $\overline A\subset B$ . Si $\overline A\not\subset B$ : pas de solution. Si $\overline A\subset B$ : $X\cup\overline A=B\iff$ ( $X\subset B$ et $B\setminus\overline A\subset X$ ) $\iff A\cap B\subset X\subset B$ . En effet ( $\Rightarrow$ ) $X\subset B$ et tout $x\in B\cap A$ n’est pas dans $\overline A$ , donc est dans $X$ ; ( $\Leftarrow$ ) $X\cup\overline A\subset B$ et $B=(B\cap A)\cup(B\cap\overline A)\subset X\cup\overline A$ . $S=\{X\in\mathcal{P}(E)\ /\ A\cap B\subset X\subset B\}$ si $\overline A\subset B$ ; $S=\varnothing$ sinon.

2) Condition nécessaire : $B=X\cap\overline A\subset\overline A$ . Si $B\not\subset\overline A$ : $S=\varnothing$ . Si $B\subset\overline A$ : $X\cap\overline A=B\iff$ ( $B\subset X$ et $X\cap\overline A\subset B$ ) $\iff B\subset X\subset B\cup A$ . $S=\{X\in\mathcal{P}(E)\ /\ B\subset X\subset A\cup B\}$ si $B\cap A=\varnothing$ ; $S=\varnothing$ sinon.

Exercice 19 — Équations dans $\mathcal{P}(E)$ Difficile ★★★★☆

Soient $A,B\in\mathcal{P}(E)$ tels que $A\subset B$ . Pour tout $X\in\mathcal{P}(E)$ , montrer que :

$A\cup X=B\iff B\setminus A\subset X\subset B$
$B\setminus X=A\iff B\setminus A\subset X\subset\overline A$

Voir la solution

1) ( $\Rightarrow$ ) $X\subset A\cup X=B$ ; et si $x\in B\setminus A$ , $x\in A\cup X$ avec $x\notin A$ , donc $x\in X$ . ( $\Leftarrow$ ) $A\cup X\subset A\cup B=B$ et $B=A\cup(B\setminus A)\subset A\cup X$ .

2) ( $\Rightarrow$ ) Si $B\setminus X=A$ : soit $x\in B\setminus A$ ; si $x\notin X$ , alors $x\in B\setminus X=A$ , absurde ; donc $x\in X$ . Soit $x\in X$ ; si $x\in A$ , alors $x\in B\setminus X$ (car $A\subset B$ ) donc $x\notin X$ , absurde ; donc $X\subset\overline A$ . ( $\Leftarrow$ ) Si $B\setminus A\subset X\subset\overline A$ : tout $x\in A$ est dans $B$ et pas dans $X$ , donc $A\subset B\setminus X$ ; tout $x\in B\setminus X$ n’est pas dans $B\setminus A$ (sinon $x\in X$ ), donc $x\in A$ . D’où $B\setminus X=A$ .

Exercice 20 — Problème de synthèse Difficile ★★★★★

Soient $A,B,C\in\mathcal{P}(E)$ .

Montrer que, pour tout $X\in\mathcal{P}(E)$ : a. $X=(X\setminus A)\cup(X\cap A)$ ; $\quad$ b. $X=(X\cup A)\setminus(A\setminus X)$ .
Résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ l’équation $X\cap A=X\cup\overline A$ (discuter selon $A$ ).
On suppose que $B\subset A$ et $A\cap C=\varnothing$ . Résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ le système $\begin{cases}X\cap A=B\\ X\setminus A=C\end{cases}$ .
Sachant que $A\subset B$ , résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ l’équation $X\setminus A=B\setminus A$ .
On suppose que $B\subset A\subset C$ . a. Résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ le système $\begin{cases}A\cup X=C\\ A\cap X=B\end{cases}$ . b. Résoudre dans $\mathcal{P}(E)$ le système $\begin{cases}A\setminus X=B\\ X\cup A=C\end{cases}$ .

Voir la solution

1) a) $(X\setminus A)\cup(X\cap A)=(X\cap\overline A)\cup(X\cap A)=X\cap(\overline A\cup A)=X$ . 1) b) $(X\cup A)\setminus(A\setminus X)=(X\cup A)\cap\overline{A\cap\overline X}=(X\cup A)\cap(\overline A\cup X)=X\cup(A\cap\overline A)=X$ .

2) Si $X$ est solution : $\overline A\subset X\cup\overline A=X\cap A\subset A$ , donc $\overline A\subset A$ , ce qui impose $\overline A=\varnothing$ , i.e. $A=E$ . Si $A\neq E$ : $S=\varnothing$ . Si $A=E$ : l’équation s’écrit $X=X$ ; $S=\mathcal{P}(E)$ .

3) D’après 1) a), une solution vérifie $X=(X\setminus A)\cup(X\cap A)=C\cup B$ . Réciproquement, $X=B\cup C$ convient : $(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)=B\cup\varnothing=B$ et $(B\cup C)\setminus A=(B\setminus A)\cup(C\setminus A)=\varnothing\cup C=C$ . $S=\{B\cup C\}$ .

4) $X\setminus A=B\setminus A\iff X\cup A=B\cup A$ ( $X\cup A$ est la réunion disjointe de $A$ et $X\setminus A$ ) $\iff X\cup A=B$ (car $A\subset B$ ) $\iff B\setminus A\subset X\subset B$ (exercice 19.1). $S=\{X\ /\ B\setminus A\subset X\subset B\}$ .

5) a) Si $X$ est solution : $X\cap A=B$ et $X\setminus A=(A\cup X)\setminus A=C\setminus A$ , donc (1 a) $X=(C\setminus A)\cup B$ . Réciproquement, $X=B\cup(C\setminus A)$ vérifie $A\cup X=A\cup(C\setminus A)=C$ (car $B\subset A\subset C$ ) et $A\cap X=B$ . $S=\{B\cup(C\setminus A)\}$ . 5) b) Si $X$ est solution : $X\cap A=A\setminus(A\setminus X)=A\setminus B$ et $X\setminus A=C\setminus A$ , donc $X=(A\setminus B)\cup(C\setminus A)$ . Réciproquement ce $X$ vérifie $A\setminus X=A\setminus(A\setminus B)=B$ (car $B\subset A$ ) et $X\cup A=A\cup(C\setminus A)=C$ . $S=\{(A\setminus B)\cup(C\setminus A)\}$ .

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 36.

Ton prénom (facultatif)

← Retour aux chapitres 1BAC SM

Chapitre 2 — Les ensembles

Cours

I. Généralités sur les ensembles

1. Écriture en extension et en compréhension

2. Inclusion et égalité

3. Ensemble des parties d’un ensemble

4. Complémentaire d’une partie

II. Opérations sur les ensembles

1. Intersection

2. Réunion

3. Règles de calcul

4. Différence de deux ensembles

5. Différence symétrique

III. Produit cartésien

Exercice de révision (avec solution)

Résumé : dictionnaire logique — ensembles

Série d’exercices

Exercice 1 — Extension / compréhension Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Égalité d’ensembles Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Opérations Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Appartenance / inclusion Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Opérations Facile ★☆☆☆☆

Exercice 6 — Déduction Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Classique — double implication Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Classique — égalités Moyen ★★★☆☆

Exercice 9 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Extension / différence symétrique Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Paramètre Moyen ★★★☆☆

Exercice 12 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

Exercice 13 — Divisibilité Moyen ★★★☆☆

Exercice 14 — Partie de R2\mathbb{R}^2R2 Moyen ★★★☆☆

Exercice 15 — Ensemble des parties Moyen ★★★☆☆

Exercice 16 — Partie de R2\mathbb{R}^2R2 Difficile ★★★★☆

Exercice 17 — Inclusions Moyen ★★★☆☆

Exercice 18 — Équations dans P(E)\mathcal{P}(E)P(E) Difficile ★★★★☆

Exercice 19 — Équations dans P(E)\mathcal{P}(E)P(E) Difficile ★★★★☆

Exercice 20 — Problème de synthèse Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

Exercice 14 — Partie de $\mathbb{R}^2$ Moyen ★★★☆☆

Exercice 16 — Partie de $\mathbb{R}^2$ Difficile ★★★★☆

Exercice 18 — Équations dans $\mathcal{P}(E)$ Difficile ★★★★☆

Exercice 19 — Équations dans $\mathcal{P}(E)$ Difficile ★★★★☆