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Chapitre 7 — Limites

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Limites usuelles --- II. Opérations sur les limites --- III. Limites des polynômes et des fonctions rationnelles --- IV. Limites des fonctions trigonométriques --- V. Limites et ordre --- VI. Lecture graphique des limites.

Durée indicative : 11 heures. Prérequis : généralités sur les fonctions numériques, calcul numérique, ordre dans $\mathbb{R}$ , trigonométrie.

I. Limites usuelles

Activité 1

On considère les fonctions $x\mapsto x^2$ , $x\mapsto x^3$ , $x\mapsto\sqrt{x}$ et $x\mapsto\dfrac1x$ .

Calculer $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt{x}$ et $\dfrac1x$ pour $x\in\{4\,;\,25\,;\,100\,;\,10^4\,;\,10^6\}$ .
Que deviennent $x^2$ , $x^3$ et $\sqrt x$ lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes ? Et $\dfrac1x$ ?

Voir la solution

$x$	$4$	$25$	$100$	$10^4$	$10^6$
$x^2$	$16$	$625$	$10^4$	$10^8$	$10^{12}$
$x^3$	$64$	$15\,625$	$10^6$	$10^{12}$	$10^{18}$
$\sqrt x$	$2$	$5$	$10$	$100$	$1000$
$\frac1x$	$0{,}25$	$0{,}04$	$0{,}01$	$10^{-4}$	$10^{-6}$

2) Les nombres $x^2$ , $x^3$ et $\sqrt x$ deviennent aussi grands que l’on veut : on dit qu’ils tendent vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , et on écrit $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$ .

Le nombre $\dfrac1x$ se rapproche de plus en plus de $0$ : on écrit $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ .

Activité 2

Calculer $\dfrac1x$ pour $x\in\{-0{,}1\,;-0{,}01\,;-0{,}001\}$ puis pour $x\in\{0{,}001\,;0{,}01\,;0{,}1\}$ .
Que devient $\dfrac1x$ lorsque $x$ se rapproche de $0$ en restant positif ? en restant négatif ?

Voir la solution

$x$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$
$\frac1x$	$-10$	$-100$	$-1000$	$1000$	$100$	$10$

2) Lorsque $x$ se rapproche de $0$ avec $x>0$ , $\dfrac1x$ devient aussi grand que l’on veut : c’est la limite à droite en $0$ , notée $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$ (ou $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac1x=+\infty$ ).

Lorsque $x$ se rapproche de $0$ avec $x<0$ , $\dfrac1x$ devient négatif et aussi grand que l’on veut en valeur absolue : c’est la limite à gauche, $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty$ .

Propriété 1 (limites usuelles, admises)

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ .

En $+\infty$	En $-\infty$	En $0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty$	$\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair	$\lim\limits_{x\to0}x^n=0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x^n}=0$	$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{x^n}=0$	$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{x^n}=+\infty$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$		$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{x^n}=+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{\sqrt x}=0$		$\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt x=0$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{\sqrt x}=+\infty$

La fonction $x\mapsto\sqrt x$ n’est définie que sur $[0\,;+\infty[$ : elle n’a pas de limite en $-\infty$ , ni à gauche en $0$ .

Exemple 1

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to+\infty}x^6$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}x^3$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^6$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^3$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x^4}$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{\sqrt x}$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{x^4}$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{x^4}$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{x^5}$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{x^5}$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{x^4}$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{x^5}$ ; $\lim\limits_{x\to0}x^3$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{x^5}$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{x^4}$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{\sqrt x}$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{\sqrt x}$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}x^6\times\dfrac1{x^3}$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\sqrt x}$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt x$ .

Voir la solution

On applique la propriété 1, en regardant la parité de l’exposant.

$\lim\limits_{x\to+\infty}x^6=+\infty$ ; $\ \lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ ; $\ \lim\limits_{x\to-\infty}x^6=+\infty$ ( $6$ est pair) ; $\ \lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ ( $3$ est impair).
$\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$ ; $\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x^4}=0$ ; $\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{\sqrt x}=0$ .
$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{x^4}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{x^4}=+\infty$ ( $4$ est pair) ; ces deux limites sont égales, donc $\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{x^4}=+\infty$ .
$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{x^5}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac1{x^5}=-\infty$ ( $5$ est impair) ; ces deux limites sont différentes, donc $\dfrac1{x^5}$ n’a pas de limite en $0$ .
$\lim\limits_{x\to0}x^3=0$ ; $\ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{x^5}=0$ ; $\ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{x^4}=0$ ; $\ \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1{\sqrt x}=+\infty$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1{\sqrt x}$ n’existe pas : $\dfrac1{\sqrt x}$ n’est définie que pour $x>0$ .
Pour $x>0$ , $x^6\times\dfrac1{x^3}=x^3$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}x^6\times\dfrac1{x^3}=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ .
Pour $x>0$ , $\dfrac{x^2}{\sqrt x}=\dfrac{x^2\sqrt x}{x}=x\sqrt x$ ; or $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\sqrt x}=+\infty$ .
$\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt x=0$ .

Propriété 2

Soit $f$ une fonction définie à droite et à gauche de $a$ , et $\ell$ un réel (ou $\pm\infty$ ). $\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell\ \text{ et }\ \lim_{x\to a^-}f(x)=\ell.$ En particulier, si $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\neq\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$ , alors $f$ n’admet pas de limite en $a$ .

Exemple 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2\sqrt x-1$ si $x>4$ et $f(x)=x-2+\dfrac4x$ si $x<4$ (avec $x\neq0$ ).

Calculer $f(16)$ , $f(9)$ , $f(1)$ , $f(2)$ et $f(3)$ .
Calculer $\lim\limits_{x\to4^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to4^-}f(x)$ .
La fonction $f$ admet-elle une limite en $4$ ?
Calculer $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)$ . Conclure.

Voir la solution

1) $16>4$ et $9>4$ : $f(16)=2\times4-1=7$ et $f(9)=2\times3-1=5$ . $1<4$ , $2<4$ et $3<4$ : $f(1)=1-2+4=3$ ; $f(2)=2-2+2=2$ ; $f(3)=3-2+\dfrac43=\dfrac73$ .

2) À droite de $4$ : $\lim\limits_{x\to4^+}f(x)=\lim\limits_{x\to4^+}\big(2\sqrt x-1\big)=2\times2-1=3$ . À gauche de $4$ : $\lim\limits_{x\to4^-}f(x)=\lim\limits_{x\to4^-}\Big(x-2+\dfrac4x\Big)=4-2+1=3$ .

3) Les limites à droite et à gauche en $4$ sont égales à $3$ , donc $\lim\limits_{x\to4}f(x)=3$ (même si $f$ n’est pas définie en $4$ ).

4) On a $\lim\limits_{x\to0}(x-2)=-2$ , $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac4x=-\infty$ . Donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty$ : les deux limites sont différentes, $f$ n’admet pas de limite en $0$ .

Remarque

Pour parler de la limite de $f$ en $a$ (resp. à droite, à gauche de $a$ , en $+\infty$ , en $-\infty$ ), $f$ doit être définie au voisinage de $a$ : sur un ensemble de la forme $]a-r\,;a[\,\cup\,]a\,;a+r[$ (resp. $]a\,;a+r[$ , $]a-r\,;a[$ , $]A\,;+\infty[$ , $]-\infty\,;A[$ ) inclus dans $D_f$ , avec $r>0$ .

II. Opérations sur les limites

Propriété 3 (admise)

Dans les tableaux, $\ell$ et $\ell'$ sont des réels ; « F.I. » signifie forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement.

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim(f+g)$	$\ell+\ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

$\lim f$	$\ell$	$\ell>0$	$\ell<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\lim(f\times g)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$	$\mp\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I.

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\pm\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'\neq0$	$\pm\infty$	$0^+$	$0^-$	$\pm\infty$	$0$
$\lim\dfrac fg$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.	F.I.

(Si $\lim f=\ell<0$ ou $-\infty$ , les signes des deux colonnes $0^+$ et $0^-$ sont échangés.) Enfin, si $\lim f=+\infty$ alors $\lim\sqrt f=+\infty$ ; et pour $n\in\mathbb{N}^*$ , $\lim f=\pm\infty\Rightarrow\lim f^n=+\infty$ si $n$ est pair, et $\lim f^n=\lim f$ si $n$ est impair.

Remarque

Il y a quatre formes indéterminées : « $+\infty-\infty$ », « $0\times\infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac00$ ». Pour lever une indétermination, on transforme l’écriture : factorisation (identités remarquables, racines d’un trinôme, division euclidienne), multiplication par l’expression conjuguée, mise en facteur du terme dominant, changement de variable, encadrement (propriétés 4, 5 et 6).

Exemple 3

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3+5)$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(\dfrac1x+\dfrac1{\sqrt x}+x^2\Big)$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3+2x-7)$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\Big(-\dfrac3x-\dfrac2{x^2}+1\Big)$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)^3(-x^2+4)$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{4x+1}{x^2-5}$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{2-x}{x^2}$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-4}{x^3}$ ; $\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{5}{-x+2}$ ; $\lim\limits_{x\to3^-}\dfrac6{3-x}$ ; $\lim\limits_{x\to(-3)^+}\dfrac1{x^2+4x+3}$ ; $\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{2x+3}{x^2-4}$ .

Voir la solution

$\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3+5)=+\infty$ .
$\dfrac1x\to0$ , $\dfrac1{\sqrt x}\to0$ et $x^2\to+\infty$ : la somme tend vers $+\infty$ .
$x^3\to-\infty$ et $2x-7\to-\infty$ : « $-\infty-\infty$ » $=-\infty$ .
$-\dfrac3x\to-\infty$ et $-\dfrac2{x^2}\to-\infty$ quand $x\to0^+$ : la limite est $-\infty$ .
$1-x\to+\infty$ donc $(1-x)^3\to+\infty$ ; $-x^2+4\to-\infty$ : « $(+\infty)\times(-\infty)$ » $=-\infty$ .
$4x+1\to9$ et $x^2-5\to-1\neq0$ : la limite est $\dfrac9{-1}=-9$ .
$2-x\to2$ et $x^2\to0^+$ : « $\dfrac2{0^+}$ » $=+\infty$ .
Pour $x<0$ , $x^3<0$ : $x^3\to0^-$ , et « $\dfrac{-4}{0^-}$ » $=+\infty$ .
Pour $x>2$ , $-x+2<0$ : $-x+2\to0^-$ , donc « $\dfrac5{0^-}$ » $=-\infty$ .
Pour $x<3$ , $3-x>0$ : « $\dfrac6{0^+}$ » $=+\infty$ .
$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ a pour racines $-3$ et $-1$ ; il est négatif entre ses racines (signe contraire de $a=1$ ). Pour $x\in\,]-3\,;-1[$ , $x^2+4x+3<0$ , donc $x^2+4x+3\to0^-$ quand $x\to(-3)^+$ , et la limite est $-\infty$ .
$2x+3\to7$ ; pour $x\in\,]-2\,;2[$ , $x^2-4<0$ , donc $x^2-4\to0^-$ : « $\dfrac7{0^-}$ » $=-\infty$ .

Méthode --- Rappels utiles

Signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta>0$ et de racines $x_1<x_2$ : il est du signe de $a$ à l’extérieur de $[x_1\,;x_2]$ et du signe de $-a$ entre les racines.
Factorisation : si $x_1$ et $x_2$ sont les racines, $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Division euclidienne : si $P$ est un polynôme de degré $n\ge1$ et $P(\alpha)=0$ , alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ ; $Q$ s’obtient en divisant $P(x)$ par $x-\alpha$ .
Identités : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ; $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ; $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ .
Expressions conjuguées ( $a,b\ge0$ ) : $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$ ; $(\sqrt a-b)(\sqrt a+b)=a-b^2$ .

Exemple 4

Calculer les limites suivantes (formes indéterminées) :

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{3x^2-5x-2}{x-2}$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{2x^2-3x-2}{x^3-x^2-x-2}$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^3-x^2-x-2}$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-2x}{4-2x}$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x^2\sqrt x-3x\big)$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(2x-\sqrt x\big)$ .

Voir la solution

Les cinq premières limites sont de la forme « $\dfrac00$ » : on factorise par $(x-2)$ , puis on simplifie (pour $x\neq2$ ).

$\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ , donc la limite vaut $4$ .
$2$ est racine de $3x^2-5x-2$ ; le produit des racines vaut $\dfrac ca=-\dfrac23$ , l’autre racine est $-\dfrac13$ : $3x^2-5x-2=(x-2)(3x+1)$ . Donc $\dfrac{3x^2-5x-2}{x-2}=3x+1\to7$ .
$2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$ et, par division euclidienne de $x^3-x^2-x-2$ par $x-2$ : $x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)$ . Donc $\dfrac{2x^2-3x-2}{x^3-x^2-x-2}=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\to\dfrac57$ .
$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ , donc $\dfrac{x^3-8}{x^3-x^2-x-2}=\dfrac{x^2+2x+4}{x^2+x+1}\to\dfrac{12}7$ .
$\dfrac{x^2-2x}{4-2x}=\dfrac{x(x-2)}{-2(x-2)}=-\dfrac x2\to-1$ .
Forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x>0$ : $x^2\sqrt x-3x=x\big(x\sqrt x-3\big)$ ; $x\to+\infty$ et $x\sqrt x-3\to+\infty$ , donc la limite est $+\infty$ .
Forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x>0$ : $2x-\sqrt x=\sqrt x\big(2\sqrt x-1\big)$ ; les deux facteurs tendent vers $+\infty$ , donc la limite est $+\infty$ .

Exemple 5

Calculer, à l’aide des expressions conjuguées :

$\lim\limits_{x\to9}\dfrac{x-9}{\sqrt x-3}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{3x-3}-3}{x-4}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}{x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{1-\sqrt{2x-1}}$ .

Voir la solution

Forme « $\dfrac00$ ». Pour $x\ge0$ , $x\neq9$ : $\dfrac{x-9}{\sqrt x-3}=\dfrac{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}{\sqrt x-3}=\sqrt x+3$ , donc la limite vaut $6$ .
On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{3x-3}+3$ : $\dfrac{\sqrt{3x-3}-3}{x-4}=\dfrac{3x-3-9}{(x-4)(\sqrt{3x-3}+3)}=\dfrac{3}{\sqrt{3x-3}+3}\to\dfrac36=\dfrac12$ .
$\dfrac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}{x}=\dfrac{(9+x)-(9-x)}{x(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x})}=\dfrac{2}{\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x}}\to\dfrac26=\dfrac13$ .
Numérateur : $2-\sqrt{x+3}=\dfrac{4-(x+3)}{2+\sqrt{x+3}}=\dfrac{1-x}{2+\sqrt{x+3}}$ . Dénominateur : $1-\sqrt{2x-1}=\dfrac{1-(2x-1)}{1+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{2(1-x)}{1+\sqrt{2x-1}}$ . Donc, pour $x\neq1$ : $\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{1-\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1+\sqrt{2x-1}}{2\big(2+\sqrt{x+3}\big)}\to\dfrac{2}{2\times4}=\dfrac14$ .

Remarque

Si $f$ admet une limite en $a$ , cette limite est unique. On dit que la limite est finie si c’est un réel, infinie si c’est $+\infty$ ou $-\infty$ .
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim\limits_{x\to a}\big(f(x)-\ell\big)=0$ .
Si $\lim f=\ell$ , alors $\lim\dfrac1f=\dfrac1\ell$ (si $\ell\neq0$ ), $\lim\sqrt f=\sqrt\ell$ (si $\ell\ge0$ et $f\ge0$ ), $\lim\alpha f=\alpha\ell$ ; et pour une constante $c$ , $\lim c=c$ .
Si $f$ est paire, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ ; si $f$ est impaire, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .

III. Limites des polynômes et des fonctions rationnelles

Propriété 4

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes et $a$ un réel tel que $Q(a)\neq0$ .

$\lim\limits_{x\to a}P(x)=P(a)$ et $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(a)}{Q(a)}$ .
En $+\infty$ et en $-\infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré : si $ax^n$ et $bx^m$ sont ces termes, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{ax^n}{bx^m}$ .

Exemple 6

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-5x^4+2x-1)$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}(-3x^2+4x+7)$ ; $\lim\limits_{x\to-1}(2x^2-x+3)$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^4-x+1}{x^3-4x^6+2}$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^5-3x+1}{2x^2+x-4}$ .

Voir la solution

$\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-5x^4+2x-1)=\lim\limits_{x\to+\infty}(-5x^4)=-\infty$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}(-3x^2+4x+7)=\lim\limits_{x\to-\infty}(-3x^2)=-\infty$ .
C’est un polynôme : la limite est sa valeur en $-1$ , soit $2+1+3=6$ .
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^4-x+1}{x^3-4x^6+2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^4}{-4x^6}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-1}{2x^2}=0$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^5-3x+1}{2x^2+x-4}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^5}{2x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^3}{2}=-\infty$ .

Remarque

Lorsque la limite de $\sqrt{ax^2+bx+c}+(\alpha x+\beta)$ en $\pm\infty$ est une forme indéterminée :

si $\sqrt a=|\alpha|$ , on multiplie et on divise par l’expression conjuguée, puis on met $x$ en facteur ;
si $\sqrt a\neq|\alpha|$ , on met $x^2$ en facteur sous la racine, en utilisant $\sqrt{x^2}=|x|$ (donc $\sqrt{x^2}=x$ si $x>0$ et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x<0$ ).

Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+3}-x\big)$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(\sqrt{x^2+3}-x\big)$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+4x+1}-2x+3\big)$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(\sqrt{4x^2-x+2}+2x+1\big)$ .

Voir la solution

Forme « $+\infty-\infty$ » avec $\sqrt1=1$ : on multiplie par la conjuguée. $\sqrt{x^2+3}-x=\dfrac{(x^2+3)-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x}=\dfrac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}$ ; le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite est $0$ .
En $-\infty$ : $\sqrt{x^2+3}\to+\infty$ et $-x\to+\infty$ ; ce n’est pas une forme indéterminée, la limite est $+\infty$ .
Forme « $+\infty-\infty$ » avec $\sqrt1\neq2$ : pour $x>0$ , $\sqrt{x^2+4x+1}=x\sqrt{1+\dfrac4x+\dfrac1{x^2}}$ , donc $\sqrt{x^2+4x+1}-2x+3=x\Big(\sqrt{1+\dfrac4x+\dfrac1{x^2}}-2+\dfrac3x\Big)$ . La parenthèse tend vers $1-2=-1$ et $x\to+\infty$ : la limite est $-\infty$ .
En $-\infty$ , $\sqrt{4x^2-x+2}\to+\infty$ et $2x+1\to-\infty$ ; ici $\sqrt4=2=|2|$ : on utilise la conjuguée. $\sqrt{4x^2-x+2}+(2x+1)=\dfrac{4x^2-x+2-(2x+1)^2}{\sqrt{4x^2-x+2}-(2x+1)}=\dfrac{-5x+1}{\sqrt{4x^2-x+2}-2x-1}$ . Pour $x<0$ , $\sqrt{4x^2-x+2}=-x\sqrt{4-\dfrac1x+\dfrac2{x^2}}$ ; on met $-x$ en facteur au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie : $\dfrac{-x\big(5-\frac1x\big)}{-x\Big(\sqrt{4-\frac1x+\frac2{x^2}}+2+\frac1x\Big)}=\dfrac{5-\frac1x}{\sqrt{4-\frac1x+\frac2{x^2}}+2+\frac1x}\to\dfrac5{2+2}=\dfrac54$ .

IV. Limites des fonctions trigonométriques

Propriété 5 (admise)

Pour tout réel $a$ : $\lim\limits_{x\to a}\cos x=\cos a$ et $\lim\limits_{x\to a}\sin x=\sin a$ .
Pour tout réel $a\neq\dfrac\pi2+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ) : $\lim\limits_{x\to a}\tan x=\tan a$ .
Limites usuelles : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$ .
Plus généralement, pour $a\neq0$ : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{ax}=1$ , $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan(ax)}{ax}=1$ et $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(ax)}{(ax)^2}=\dfrac12$ .

Exemple 8

Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to\frac\pi6}\cos x$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{3x}$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(3x)}{x^2}$ ; $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\tan(x-2)}{x-2}$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}x\sin\Big(\dfrac2x\Big)$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\cos x}{x}$ ; $\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\tan x$ ; $\lim\limits_{x\to(\frac\pi2)^+}\tan x$ .

Voir la solution

$\lim\limits_{x\to\frac\pi6}\cos x=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$ .
$\dfrac{\sin(5x)}{3x}=\dfrac53\times\dfrac{\sin(5x)}{5x}\to\dfrac53\times1=\dfrac53$ .
$\dfrac{1-\cos(3x)}{x^2}=9\times\dfrac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}\to9\times\dfrac12=\dfrac92$ .
On pose $X=x-2$ : quand $x\to2$ , $X\to0$ , et $\dfrac{\tan(x-2)}{x-2}=\dfrac{\tan X}{X}\to1$ .
On pose $X=\dfrac2x$ : quand $x\to+\infty$ , $X\to0^+$ , et $x\sin\Big(\dfrac2x\Big)=\dfrac{2}{X}\sin X=2\times\dfrac{\sin X}{X}\to2$ .
$\cos x\to1$ et $x\to0^-$ : « $\dfrac1{0^-}$ » $=-\infty$ .
$\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\tan x=\tan\dfrac\pi3=\sqrt3$ .
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ; quand $x\to\big(\frac\pi2\big)^+$ , $\sin x\to1$ et $\cos x\to0^-$ (car $\cos x<0$ sur $\big]\frac\pi2\,;\pi\big[$ ). Donc la limite est $-\infty$ .

V. Limites et ordre

Propriété 6 (admise)

Soient $f$ , $g$ , $h$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ ( $a$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$ ) et $\ell$ un réel.

Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim g=\lim h=\ell$ , alors $\lim f=\ell$ .
Si $|f(x)-\ell|\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim g=0$ , alors $\lim f=\ell$ .
Si $f(x)\ge g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim g=+\infty$ , alors $\lim f=+\infty$ .
Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim g=-\infty$ , alors $\lim f=-\infty$ .

Méthode --- Rappel

Pour tout réel $X$ : $-1\le\cos X\le1$ , $\ -1\le\sin X\le1$ , $\ |\cos X|\le1$ et $|\sin X|\le1$ .

Exemple 9

Calculer les limites suivantes : $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3+2\cos x)$ ; $\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0}2x\sin\Big(\dfrac1x\Big)$ .

Voir la solution

Pour tout réel $x$ , $\cos x\le1$ , donc $x^3+2\cos x\le x^3+2$ . Or $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3+2)=-\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3+2\cos x)=-\infty$ .
Pour $x>0$ : $\Big|\dfrac{\cos x}{x}\Big|=\dfrac{|\cos x|}{x}\le\dfrac1x$ , et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0$ .
Pour $x\neq0$ : $\Big|2x\sin\Big(\dfrac1x\Big)\Big|=2|x|\,\Big|\sin\Big(\dfrac1x\Big)\Big|\le2|x|$ , et $\lim\limits_{x\to0}2|x|=0$ , donc la limite vaut $0$ .

Remarque

Les fonctions $x\mapsto\cos x$ , $x\mapsto\sin x$ et $x\mapsto\tan x$ n’ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$ : elles prennent indéfiniment toutes leurs valeurs, sans se rapprocher d’un nombre.

VI. Lecture graphique des limites

Exemple 10

Dans le repère ci-dessous, $(C_f)$ et $(C_g)$ sont les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\,;1\}$ et sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Les droites en pointillés sont des asymptotes.

Déterminer graphiquement $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to(-2)^-}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to(-2)^+}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ en y ajoutant ces limites. (On donne $f(0)=0$ et $f(4)=\dfrac{16}9$ .)
Déterminer graphiquement $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to2^-}g(x)$ et $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Voir la solution

1) $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ (asymptote horizontale $y=2$ ) ; $\lim\limits_{x\to(-2)^-}f(x)=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to(-2)^+}f(x)=-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ .

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$1$		$4$		$+\infty$
$f(x)$	$2$	$\nearrow$	$+\infty\ \Vert\ -\infty$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty\ \Vert\ +\infty$	$\searrow$	$\frac{16}9$	$\nearrow$	$2$

3) $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to2^-}g(x)=-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)=+\infty$ .

4) $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$ :

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$g(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-\infty\ \Vert\ +\infty$	$\searrow$	$-\infty$

Série d’exercices

Exercice 1 — Opérations sur les limites Facile ★☆☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to4}\Big(2x^3-1+\dfrac2{\sqrt x}\Big)$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to3^+}\dfrac{x^2+x}{x^2-x-6}$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{4x+1}{x^2-5x+6}$ ; $\quad$ 4) $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{3x-5}{1-x}$ ;

5) $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac2{-x^2+3x}$ ; $\quad$ 6) $\lim\limits_{x\to3^-}\dfrac1{x-3}$ ; $\quad$ 7) $\lim\limits_{x\to-\infty}(2-x)^3(-x^2+4x+1)$ ; $\quad$ 8) $\lim\limits_{x\to0^-}\Big(\dfrac2{x^4}-\dfrac3{x^3}\Big)$ ;

9) $\lim\limits_{x\to0^-}\sqrt{2-\dfrac1x}$ ; $\quad$ 10) $\lim\limits_{x\to-3}\sqrt{7-3x}$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to2^+}\Big(\dfrac{3x}{x-2}-\dfrac1{4-x^2}\Big)$ .

Voir la solution

1) $2x^3-1\to2\times64-1=127$ et $\dfrac2{\sqrt x}\to\dfrac22=1$ , donc la limite vaut $128$ .

2) $x^2+x\to12$ . $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ ; pour $x>3$ , les deux facteurs sont positifs, donc $x^2-x-6\to0^+$ . « $\dfrac{12}{0^+}$ » $=+\infty$ .

3) $4x+1\to9$ . $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ; pour $2<x<3$ , $x-2>0$ et $x-3<0$ , donc $x^2-5x+6\to0^-$ . « $\dfrac9{0^-}$ » $=-\infty$ .

4) $3x-5\to-2$ et, pour $x>1$ , $1-x<0$ : $1-x\to0^-$ . « $\dfrac{-2}{0^-}$ » $=+\infty$ .

5) $-x^2+3x=x(3-x)$ ; pour $0<x<3$ , ce produit est positif : $-x^2+3x\to0^+$ . « $\dfrac2{0^+}$ » $=+\infty$ .

6) Pour $x<3$ , $x-3<0$ : « $\dfrac1{0^-}$ » $=-\infty$ .

7) $2-x\to+\infty$ , donc $(2-x)^3\to+\infty$ . $-x^2+4x+1=-x^2+(4x+1)$ avec $-x^2\to-\infty$ et $4x+1\to-\infty$ , donc $-x^2+4x+1\to-\infty$ . « $(+\infty)\times(-\infty)$ » $=-\infty$ .

8) $x^4\to0^+$ , donc $\dfrac2{x^4}\to+\infty$ ; pour $x<0$ , $x^3\to0^-$ , donc $\dfrac{3}{x^3}\to-\infty$ et $-\dfrac3{x^3}\to+\infty$ . La somme tend vers $+\infty$ .

9) Pour $x<0$ , $\dfrac1x\to-\infty$ , donc $2-\dfrac1x\to+\infty$ et $\sqrt{2-\dfrac1x}\to+\infty$ .

10) $7-3x\to7+9=16$ , donc $\sqrt{7-3x}\to\sqrt{16}=4$ .

11) $3x\to6$ et $x-2\to0^+$ , donc $\dfrac{3x}{x-2}\to+\infty$ . Pour $x>2$ , $4-x^2<0$ , donc $\dfrac1{4-x^2}\to-\infty$ et $-\dfrac1{4-x^2}\to+\infty$ . La somme tend vers $+\infty$ .

Exercice 2 — Limite à gauche, limite à droite Facile ★★☆☆☆

Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par : $f(x)=\frac{x^2+5}{x+2}\ \text{ si } x\le1\qquad\text{et}\qquad f(x)=3-ax^2\ \text{ si } x>1.$ Calculer $f(1)$ , puis déterminer le réel $a$ pour que $\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)$ .

Voir la solution

1) $1\le1$ , donc $f(1)=\dfrac{1+5}{1+2}=\dfrac63=2$ .

À gauche de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^2+5}{x+2}=\dfrac63=2$ .

À droite de $1$ : $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}(3-ax^2)=3-a$ .

On a $\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)$ si et seulement si les limites à gauche et à droite en $1$ sont égales à $f(1)=2$ , c’est-à-dire $3-a=2$ , soit $a=1$ .

Pour $a=1$ , on a bien $\lim\limits_{x\to1}f(x)=2=f(1)$ .

Exercice 3 — Formes indéterminées : factorisation Facile ★★☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x-2}$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to-3}\dfrac{x^3+27}{x+3}$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(3+x)^2-9}{x}$ ; $\quad$ 4) $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-3x}{x^2-9}$ ;

5) $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ ; $\quad$ 6) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+2x-3}{2x^2-x-1}$ ; $\quad$ 7) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x^4-1}$ ; $\quad$ 8) $\lim\limits_{x\to16}\dfrac{x-16}{\sqrt x-4}$ ;

9) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{\sqrt x-\sqrt2}$ ; $\quad$ 10) $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x-\sqrt{3x}}{x-3}$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{\sqrt x-\sqrt3}{x^2-3x}$ ; $\quad$ 12) $\lim\limits_{x\to+\infty}(3x-\sqrt x)$ ;

13) $\lim\limits_{x\to0^+}\Big(\dfrac1x-\dfrac1{x^2}\Big)$ ; $\quad$ 14) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x+1)^3+(x-1)^2-2}{x}$ ; $\quad$ 15) $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x^2+2x-3}{(x-1)^2}$ ;

16) $\lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{3x^2+5x-2}{x^3+2x^2-x-2}$ ; $\quad$ 17) $\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{x^2+x-6}{x^3-3x^2+4}$ ; $\quad$ 18) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{-x^3+3x^2-x-1}{-x^2+4x-3}$ ;

19) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{3x+1}-2x^2+x+5\big)$ ; $\quad$ 20) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x+3}+x^3-2x\big)$ .

Voir la solution

Les limites 1) à 11) et 13) à 18) sont des formes indéterminées : on factorise, puis on simplifie.

1) $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ , donc $\dfrac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4\to4+4+4=12$ .

2) $x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$ , donc $\dfrac{x^3+27}{x+3}=x^2-3x+9\to9+9+9=27$ .

3) $(3+x)^2-9=x^2+6x=x(x+6)$ , donc $\dfrac{(3+x)^2-9}{x}=x+6\to6$ .

4) $\dfrac{x^2-3x}{x^2-9}=\dfrac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x}{x+3}\to\dfrac36=\dfrac12$ .

5) $\dfrac{x^2+x}{x^2-1}=\dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x-1}\to\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12$ .

6) $1$ est racine des deux trinômes : $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ et $2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)$ . Donc $\dfrac{x^2+2x-3}{2x^2-x-1}=\dfrac{x+3}{2x+1}\to\dfrac43$ .

7) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ et $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ . Donc $\dfrac{x^3-1}{x^4-1}=\dfrac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)}\to\dfrac3{2\times2}=\dfrac34$ .

8) Pour $x\ge0$ : $x-16=(\sqrt x-4)(\sqrt x+4)$ , donc $\dfrac{x-16}{\sqrt x-4}=\sqrt x+4\to8$ .

9) Pour $x>0$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)=(\sqrt x-\sqrt2)(\sqrt x+\sqrt2)(x+2)$ , donc $\dfrac{x^2-4}{\sqrt x-\sqrt2}=(\sqrt x+\sqrt2)(x+2)\to2\sqrt2\times4=8\sqrt2$ .

10) On multiplie par la conjuguée $x+\sqrt{3x}$ : $\dfrac{x-\sqrt{3x}}{x-3}=\dfrac{x^2-3x}{(x-3)(x+\sqrt{3x})}=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x}}\to\dfrac3{3+3}=\dfrac12$ .

11) $\dfrac{\sqrt x-\sqrt3}{x^2-3x}=\dfrac{x-3}{x(x-3)(\sqrt x+\sqrt3)}=\dfrac1{x(\sqrt x+\sqrt3)}\to\dfrac1{3\times2\sqrt3}=\dfrac{1}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{18}$ .

12) Forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x>0$ : $3x-\sqrt x=\sqrt x\,(3\sqrt x-1)$ , produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$ : la limite est $+\infty$ .

13) Forme « $+\infty-\infty$ ». On réduit au même dénominateur : $\dfrac1x-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}$ ; $x-1\to-1$ et $x^2\to0^+$ , donc la limite est $-\infty$ .

14) On développe : $(x+1)^3+(x-1)^2-2=x^3+3x^2+3x+1+x^2-2x+1-2=x^3+4x^2+x$ . Pour $x\neq0$ : $\dfrac{x^3+4x^2+x}{x}=x^2+4x+1\to1$ .

15) $\dfrac{x^2+2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x+3}{x-1}$ ; $x+3\to4$ et $x-1\to0^+$ : la limite est $+\infty$ .

16) En $-2$ : $3\times4-10-2=0$ et $-8+8+2-2=0$ . On factorise : $3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)$ et $x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)$ . Donc $\dfrac{3x^2+5x-2}{x^3+2x^2-x-2}=\dfrac{3x-1}{x^2-1}\to\dfrac{-7}{3}$ .

17) $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ ; la division euclidienne de $x^3-3x^2+4$ par $x-2$ donne $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ , donc $x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)$ . $\dfrac{x^2+x-6}{x^3-3x^2+4}=\dfrac{x+3}{(x-2)(x+1)}$ ; $x+3\to5$ , $x+1\to3$ et $x-2\to0^-$ : la limite est $-\infty$ .

18) En $1$ : $-1+3-1-1=0$ et $-1+4-3=0$ . La division euclidienne donne $-x^3+3x^2-x-1=(x-1)(-x^2+2x+1)$ et $-x^2+4x-3=(x-1)(-x+3)$ . Donc $\dfrac{-x^3+3x^2-x-1}{-x^2+4x-3}=\dfrac{-x^2+2x+1}{-x+3}\to\dfrac{2}{2}=1$ .

19) Forme « $+\infty-\infty$ ». Pour $x>0$ : $\sqrt{3x+1}-2x^2+x+5=x^2\Big(\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x^2}-2+\dfrac1x+\dfrac5{x^2}\Big)$ . Or $\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x^2}=\dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{3x+1}{x^2}}=\dfrac1x\sqrt{\dfrac3x+\dfrac1{x^2}}\to0$ : la parenthèse tend vers $-2$ et $x^2\to+\infty$ , donc la limite est $-\infty$ .

20) $x^3-2x=x(x^2-2)\to+\infty$ et $\sqrt{x+3}\to+\infty$ : la somme tend vers $+\infty$ .

Exercice 4 — Formes indéterminées : expressions conjuguées Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{3x+3}-3}{x-2}$ ;

4) $\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2+2x}$ ; $\quad$ 5) $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x^2+9}-5}$ ; $\quad$ 6) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$ ;

7) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}-2}$ ; $\quad$ 8) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{3x-2}-x}$ ; $\quad$ 9) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x^2-x+2}}{\sqrt x-\sqrt2}$ ;

10) $\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{x^2-4}{\sqrt{1-4x}-3}$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{2x-4}}{\sqrt{x-2}}$ ; $\quad$ 12) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt x-1}{\sqrt{x+8}-\sqrt x-2}$ .

Voir la solution

Toutes ces limites sont de la forme « $\dfrac00$ » : on multiplie par l’expression conjuguée, puis on simplifie.

1) $\dfrac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=\dfrac{x+8-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}=\dfrac1{\sqrt{x+8}+3}\to\dfrac16$ .

2) $\dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}=\dfrac{(4+x)-(4-x)}{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}=\dfrac2{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}\to\dfrac24=\dfrac12$ .

3) $\dfrac{\sqrt{3x+3}-3}{x-2}=\dfrac{3x+3-9}{(x-2)(\sqrt{3x+3}+3)}=\dfrac{3}{\sqrt{3x+3}+3}\to\dfrac36=\dfrac12$ .

4) $\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2+2x}=\dfrac{x^2-4}{x(x+2)(\sqrt{x^2+5}+3)}=\dfrac{x-2}{x(\sqrt{x^2+5}+3)}\to\dfrac{-4}{-2\times6}=\dfrac13$ .

5) $\dfrac{x-4}{\sqrt{x^2+9}-5}=\dfrac{(x-4)(\sqrt{x^2+9}+5)}{x^2-16}=\dfrac{\sqrt{x^2+9}+5}{x+4}\to\dfrac{10}8=\dfrac54$ .

6) $\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}=\dfrac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\dfrac1{(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}\to\dfrac16$ .

7) Numérateur : $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+1}=\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+1}}$ . Dénominateur : $\sqrt{x+4}-2=\dfrac{x}{\sqrt{x+4}+2}$ . Donc, pour $x\neq0$ : $\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}-2}=\dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+1}}\to\dfrac42=2$ .

8) Numérateur : $\sqrt{x+7}-3=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}+3}$ . Dénominateur : $\sqrt{3x-2}-x=\dfrac{3x-2-x^2}{\sqrt{3x-2}+x}=\dfrac{-(x-1)(x-2)}{\sqrt{3x-2}+x}$ . Donc $\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{\sqrt{3x-2}-x}=-\dfrac{\sqrt{3x-2}+x}{(x-1)(\sqrt{x+7}+3)}\to-\dfrac{4}{1\times6}=-\dfrac23$ .

9) Numérateur : $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x^2-x+2}=\dfrac{3x-2-x^2+x-2}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}=\dfrac{-(x-2)^2}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}$ . Dénominateur : $\sqrt x-\sqrt2=\dfrac{x-2}{\sqrt x+\sqrt2}$ . Donc le quotient vaut $\dfrac{-(x-2)(\sqrt x+\sqrt2)}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x^2-x+2}}\to\dfrac{0}{4}=0$ .

10) $\sqrt{1-4x}-3=\dfrac{1-4x-9}{\sqrt{1-4x}+3}=\dfrac{-4(x+2)}{\sqrt{1-4x}+3}$ , donc $\dfrac{x^2-4}{\sqrt{1-4x}-3}=\dfrac{(x-2)(\sqrt{1-4x}+3)}{-4}\to\dfrac{-4\times6}{-4}=6$ .

11) Pour $x>2$ : $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x+2}\,\sqrt{x-2}$ et $\sqrt{2x-4}=\sqrt2\,\sqrt{x-2}$ . On divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{x-2}$ : $\dfrac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{2x-4}}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x+2}+\sqrt2\to2+\sqrt2$ .

12) On écrit $\sqrt{x+3}-\sqrt x-1=(\sqrt{x+3}-2)-(\sqrt x-1)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}-\dfrac{x-1}{\sqrt x+1}$ et $\sqrt{x+8}-\sqrt x-2=(\sqrt{x+8}-3)-(\sqrt x-1)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}-\dfrac{x-1}{\sqrt x+1}$ . On divise numérateur et dénominateur par $x-1$ : $\dfrac{\frac1{\sqrt{x+3}+2}-\frac1{\sqrt x+1}}{\frac1{\sqrt{x+8}+3}-\frac1{\sqrt x+1}}\to\dfrac{\frac14-\frac12}{\frac16-\frac12}=\dfrac{-\frac14}{-\frac13}=\dfrac34$ .

Exercice 5 — Formes indéterminées en l’infini Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x^2-5x+1}$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x-\sqrt{x^2+3}\big)$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(-\sqrt{3x^2-4x+1}-5x+2\big)$ ;

4) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{4x^2-3x+1}+5x-2\big)$ ; $\quad$ 5) $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(-\sqrt{x^2+2x-3}-x+5\big)$ ;

6) $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(\sqrt{4x^2+x+3}+2x-1\big)$ ; $\quad$ 7) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x+4\sqrt x}-\sqrt x\big)$ ; $\quad$ 8) $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x+2}\big)$ ;

9) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+4}-2}{2x-\sqrt x}$ ; $\quad$ 10) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+x}+3x}{\sqrt{x^2+2x}-2x}$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2x+1}$ ;

12) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-4x+1}}{x}$ ; $\quad$ 13) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt x}{\sqrt{x+3}+\sqrt x}$ ; $\quad$ 14) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x^2-2x+4}$ .

Voir la solution

On rappelle que $\sqrt{x^2}=|x|$ : $\sqrt{x^2}=x$ si $x>0$ et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x<0$ .

1) $x^2-5x+1\to+\infty$ (même limite que $x^2$ ), donc $\sqrt{x^2-5x+1}\to+\infty$ .

2) Forme « $+\infty-\infty$ » : $x-\sqrt{x^2+3}=\dfrac{x^2-(x^2+3)}{x+\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{-3}{x+\sqrt{x^2+3}}\to0$ .

3) Forme « $-\infty+\infty$ » avec $\sqrt3\neq5$ . Pour $x<0$ : $\sqrt{3x^2-4x+1}=-x\sqrt{3-\dfrac4x+\dfrac1{x^2}}$ , donc $-\sqrt{3x^2-4x+1}-5x+2=x\Big(\sqrt{3-\dfrac4x+\dfrac1{x^2}}-5+\dfrac2x\Big)$ ; la parenthèse tend vers $\sqrt3-5<0$ et $x\to-\infty$ : la limite est $+\infty$ .

4) Ce n’est pas une forme indéterminée : $\sqrt{4x^2-3x+1}\to+\infty$ et $5x-2\to+\infty$ , donc la limite est $+\infty$ .

5) $-\sqrt{x^2+2x-3}\to-\infty$ et $-x\to+\infty$ : forme indéterminée, avec $\sqrt1=1$ . On écrit l’expression $-\big(\sqrt{x^2+2x-3}+x\big)+5$ et $\sqrt{x^2+2x-3}+x=\dfrac{x^2+2x-3-x^2}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}=\dfrac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}$ . Pour $x<0$ on met $-x$ en facteur : $\dfrac{-x\big(-2+\frac3x\big)}{-x\Big(\sqrt{1+\frac2x-\frac3{x^2}}+1\Big)}\to\dfrac{-2}{2}=-1$ . Donc la limite cherchée est $-(-1)+5=6$ .

6) Forme « $+\infty-\infty$ » avec $\sqrt4=2$ : $\sqrt{4x^2+x+3}+(2x-1)=\dfrac{4x^2+x+3-(2x-1)^2}{\sqrt{4x^2+x+3}-2x+1}=\dfrac{5x+2}{\sqrt{4x^2+x+3}-2x+1}$ . Pour $x<0$ : $\dfrac{-x\big(-5-\frac2x\big)}{-x\Big(\sqrt{4+\frac1x+\frac3{x^2}}+2-\frac1x\Big)}\to\dfrac{-5}{4}$ . La limite est $-\dfrac54$ .

7) $\sqrt{x+4\sqrt x}-\sqrt x=\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt{x+4\sqrt x}+\sqrt x}$ . On divise numérateur et dénominateur par $\sqrt x$ : $\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac4{\sqrt x}}+1}\to\dfrac42=2$ .

8) Pour $x>0$ : $\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x+2}=x\Big(\sqrt{3+\frac1{x^2}}-\sqrt{1+\frac1x+\frac2{x^2}}\Big)$ ; la parenthèse tend vers $\sqrt3-1>0$ : la limite est $+\infty$ .

9) Pour $x>0$ , on divise numérateur et dénominateur par $x$ : $\dfrac{\sqrt{1+\frac4{x^2}}-\frac2x}{2-\frac1{\sqrt x}}\to\dfrac12$ .

10) Pour $x<0$ : $\sqrt{x^2+x}=-x\sqrt{1+\frac1x}$ et $\sqrt{x^2+2x}=-x\sqrt{1+\frac2x}$ . Donc $\dfrac{\sqrt{x^2+x}+3x}{\sqrt{x^2+2x}-2x}=\dfrac{-x\Big(\sqrt{1+\frac1x}-3\Big)}{-x\Big(\sqrt{1+\frac2x}+2\Big)}\to\dfrac{1-3}{1+2}=-\dfrac23$ .

11) Pour $x>0$ : $\dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}}{2x+1}=\dfrac{x\sqrt{1+\frac2x+\frac5{x^2}}}{x\big(2+\frac1x\big)}\to\dfrac12$ .

12) Pour $x<0$ : $\dfrac{\sqrt{x^2-4x+1}}{x}=\dfrac{-x\sqrt{1-\frac4x+\frac1{x^2}}}{x}=-\sqrt{1-\frac4x+\frac1{x^2}}\to-1$ .

13) Numérateur : $\sqrt{x-1}-\sqrt x=\dfrac{-1}{\sqrt{x-1}+\sqrt x}\to0$ ; dénominateur : $\sqrt{x+3}+\sqrt x\to+\infty$ . Le quotient tend vers $0$ .

14) Pour $x>0$ : $\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x^2-2x+4}=\dfrac{x\sqrt{\frac3x+\frac1{x^2}}}{x^2\big(1-\frac2x+\frac4{x^2}\big)}=\dfrac1x\times\dfrac{\sqrt{\frac3x+\frac1{x^2}}}{1-\frac2x+\frac4{x^2}}\to0\times0=0$ .

Exercice 6 — Polynômes et fonctions rationnelles Facile ★☆☆☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3-4x^6+2x)$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to+\infty}(-5x^3+x^2+7)$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to-2}(x^2+2x^4-3)$ ; $\quad$ 4) $\lim\limits_{x\to+\infty}(3x^2-4x^5-x^6+1)$ ;

5) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2-3x-10}{x^3+2x^2-5x+1}$ ; $\quad$ 6) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^3-5x+2}{-2x^3+x+4}$ ; $\quad$ 7) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^4-x+3}{x+2}$ ;

8) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3+x-1}{x^2+5}$ ; $\quad$ 9) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{6x^5-x^2}{3x^3+x-2}$ ; $\quad$ 10) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{5x^4-2x}{10x^4+x^3}$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+4x}{(3x+1)^2}$ ;

12) $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2-2x}{(x+3)^2}$ ; $\quad$ 13) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+4x}{(3x+1)^2}$ ; $\quad$ 14) $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{9x^2+1}{x^2+x+2}}$ .

Voir la solution

On utilise la propriété 4 : en $\pm\infty$ , on garde le terme de plus haut degré (ou le quotient des termes de plus haut degré).

1) $\lim\limits_{x\to-\infty}(-4x^6)=-\infty$ .

2) $\lim\limits_{x\to+\infty}(-5x^3)=-\infty$ .

3) Polynôme : $(-2)^2+2\times(-2)^4-3=4+32-3=33$ .

4) $\lim\limits_{x\to+\infty}(-x^6)=-\infty$ .

5) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{x^3}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1x=0$ .

6) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^3}{-2x^3}=-\dfrac32$ .

7) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^4}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ .

8) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty$ .

9) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{6x^5}{3x^3}=\lim\limits_{x\to-\infty}2x^2=+\infty$ .

10) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{5x^4}{10x^4}=\dfrac12$ .

11) Fonction rationnelle et $(3+1)^2=16\neq0$ : la limite vaut $\dfrac{1+4}{16}=\dfrac5{16}$ .

12) $(-1+3)^2=4\neq0$ : la limite vaut $\dfrac{1+2}{4}=\dfrac34$ .

13) $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+4x}{9x^2+6x+1}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{9x^2}=\dfrac19$ .

14) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{9x^2+1}{x^2+x+2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{9x^2}{x^2}=9$ , donc la limite vaut $\sqrt9=3$ .

Exercice 7 — Fonctions trigonométriques Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes :

1) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(4x)}{x}$ ; $\quad$ 2) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}$ ; $\quad$ 3) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{\tan^2x}$ ; $\quad$ 4) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(3x)}{\sin x}$ ;

5) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^2(3x)}{x^2}$ ; $\quad$ 6) $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sin(4x)}{x^3}$ ; $\quad$ 7) $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{\tan(x+1)}{x^2-1}$ ; $\quad$ 8) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\tan(5x)}$ ;

9) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}$ ; $\quad$ 10) $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\Big(1-\cos\dfrac1x\Big)$ ; $\quad$ 11) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan(2x)(1-\cos x)}{x^3}$ ;

12) $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}$ ; $\quad$ 13) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x-\sin(3x)}{\tan x}$ ; $\quad$ 14) $\lim\limits_{x\to\pi^-}\dfrac{2+\cos x}{\sin x}$ ;

15) $\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2+\cos x)$ ; $\quad$ 16) $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\cos(2x)}{x^2+3}$ ; $\quad$ 17) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{4\cos x+\sin x}-2}{x}$ ;

18) $\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\dfrac{\sin x-\sqrt3\cos x}{x-\frac\pi3}$ ; $\quad$ 19) $\lim\limits_{x\to\frac\pi3}\dfrac{2\cos x-1}{x-\frac\pi3}$ ; $\quad$ 20) $\lim\limits_{x\to\frac\pi2}\dfrac{1-\sin x}{(\pi-2x)^2}$ ; $\quad$ 21) $\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\dfrac{\tan x-1}{4x-\pi}$ .

Voir la solution

On utilise : $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\sin X}{X}=1$ , $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\tan X}{X}=1$ et $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{1-\cos X}{X^2}=\dfrac12$ .

1) $\dfrac{\sin(4x)}{x}=4\times\dfrac{\sin(4x)}{4x}\to4$ .

2) $\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos(2x)}{(2x)^2}\to4\times\dfrac12=2$ .

3) $\dfrac{1-\cos(2x)}{\tan^2x}=\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}\times\Big(\dfrac{x}{\tan x}\Big)^2\to2\times1=2$ .

4) $\dfrac{1-\cos(3x)}{\sin x}=\dfrac{1-\cos(3x)}{x^2}\times x\times\dfrac{x}{\sin x}\to\dfrac92\times0\times1=0$ .

5) $\dfrac{\sin^2(3x)}{x^2}=9\Big(\dfrac{\sin(3x)}{3x}\Big)^2\to9$ .

6) $\dfrac{\sin(4x)}{x^3}=\dfrac{\sin(4x)}{4x}\times\dfrac{4}{x^2}$ ; le premier facteur tend vers $1$ et $\dfrac4{x^2}\to+\infty$ : la limite est $+\infty$ .

7) $\dfrac{\tan(x+1)}{x^2-1}=\dfrac{\tan(x+1)}{x+1}\times\dfrac1{x-1}$ . On pose $X=x+1\to0$ : $\dfrac{\tan X}{X}\to1$ , et $\dfrac1{x-1}\to-\dfrac12$ . La limite est $-\dfrac12$ .

8) $\dfrac{\sin(3x)}{\tan(5x)}=\dfrac{\sin(3x)}{3x}\times\dfrac{5x}{\tan(5x)}\times\dfrac35\to\dfrac35$ .

9) $\dfrac{1-\cos(2x)}{x\tan x}=\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}\times\dfrac{x}{\tan x}\to2\times1=2$ .

10) On pose $X=\dfrac1x$ : $X\to0^+$ et $x^2\Big(1-\cos\dfrac1x\Big)=\dfrac{1-\cos X}{X^2}\to\dfrac12$ .

11) $\dfrac{\tan(2x)(1-\cos x)}{x^3}=2\times\dfrac{\tan(2x)}{2x}\times\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to2\times1\times\dfrac12=1$ .

12) Pour $x>0$ : $\dfrac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}}\to\sqrt2$ .

13) $\dfrac{2x-\sin(3x)}{\tan x}=\Big(2-3\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\Big)\times\dfrac{x}{\tan x}\to(2-3)\times1=-1$ .

14) $2+\cos x\to2-1=1$ ; pour $x\in\,]0\,;\pi[$ , $\sin x>0$ , donc $\sin x\to0^+$ : la limite est $+\infty$ .

15) $\cos x\ge-1$ , donc $x-2+\cos x\ge x-3$ ; or $x-3\to+\infty$ , donc la limite est $+\infty$ .

16) $\Big|\dfrac{\cos(2x)}{x^2+3}\Big|\le\dfrac1{x^2+3}$ et $\dfrac1{x^2+3}\to0$ , donc la limite est $0$ .

17) Expression conjuguée : $\dfrac{\sqrt{4\cos x+\sin x}-2}{x}=\dfrac{4\cos x+\sin x-4}{x\big(\sqrt{4\cos x+\sin x}+2\big)}=\dfrac{-4\times\frac{1-\cos x}{x^2}\times x+\frac{\sin x}{x}}{\sqrt{4\cos x+\sin x}+2}$ . Le numérateur tend vers $-4\times\dfrac12\times0+1=1$ et le dénominateur vers $4$ : la limite est $\dfrac14$ .

18) $\sin x-\sqrt3\cos x=2\Big(\dfrac12\sin x-\dfrac{\sqrt3}2\cos x\Big)=2\Big(\sin x\cos\dfrac\pi3-\cos x\sin\dfrac\pi3\Big)=2\sin\Big(x-\dfrac\pi3\Big)$ . On pose $X=x-\dfrac\pi3\to0$ : le quotient vaut $2\times\dfrac{\sin X}{X}\to2$ .

19) On pose $X=x-\dfrac\pi3$ : $2\cos x=2\cos\Big(X+\dfrac\pi3\Big)=\cos X-\sqrt3\sin X$ , donc $\dfrac{2\cos x-1}{x-\frac\pi3}=\dfrac{\cos X-1}{X}-\sqrt3\,\dfrac{\sin X}{X}=-X\times\dfrac{1-\cos X}{X^2}-\sqrt3\,\dfrac{\sin X}{X}\to0-\sqrt3=-\sqrt3$ .

20) On pose $X=x-\dfrac\pi2\to0$ : $\sin x=\sin\Big(X+\dfrac\pi2\Big)=\cos X$ et $\pi-2x=-2X$ . Donc $\dfrac{1-\sin x}{(\pi-2x)^2}=\dfrac{1-\cos X}{4X^2}\to\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18$ .

21) $\tan x-1=\dfrac{\sin x-\cos x}{\cos x}$ et $\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\Big(x-\dfrac\pi4\Big)$ . On pose $X=x-\dfrac\pi4\to0$ ; $4x-\pi=4X$ , donc $\dfrac{\tan x-1}{4x-\pi}=\dfrac{\sqrt2}{4\cos x}\times\dfrac{\sin X}{X}\to\dfrac{\sqrt2}{4\times\frac{\sqrt2}2}\times1=\dfrac12$ .

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