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Chapitre 6 — Produit scalaire analytique

Semestre 1

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Plan du chapitre. I. Rappels — II. Expression analytique du produit scalaire ; droites (1. Expression analytique, normes, distances, cosinus et sinus — 2. Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite — 3. Distance d’un point à une droite) — III. Étude analytique du cercle (1. Équation cartésienne — 2. Ensemble $x^2+y^2+ax+by+c=0$ — 3. Intérieur, extérieur — 4. Représentation paramétrique — 5. Positions relatives d’une droite et d’un cercle — 6. Tangente en un point — 7. Exercices de synthèse) — IV. Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire — Résumé.

Cadre. Prérequis : produit scalaire (définition géométrique), calcul vectoriel, droites du plan, trigonométrie du tronc commun. À partir de la partie II, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ . Dans les solutions, $\iff$ n’est écrit que si chaque étape est réversible.

I. Rappels

1. Repère du plan

Définition

Trois points $O$ , $I$ , $J$ non alignés définissent un repère $(O;I;J)$ , noté aussi $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ avec $\vec\imath=\V{OI}$ et $\vec\jmath=\V{OJ}$ ; le couple $(\vec\imath;\vec\jmath)$ est une base.
La base (et le repère) est orthogonale si $\vec\imath\perp\vec\jmath$ , normée si $\nv{\vec\imath}=\nv{\vec\jmath}=1$ , orthonormée si elle est à la fois orthogonale et normée.

2. Coordonnées d’un point, d’un vecteur, du milieu

Propriété

Dans un repère $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ :

$A(x_A;y_A)\iff\V{OA}=x_A\vec\imath+y_A\vec\jmath$ ; $\ \vec u(x;y)\iff\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ (couples uniques).
$\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ ; le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ .

3. Formule trigonométrique du produit scalaire

Propriété

Pour $\vec u\neq\vec0$ , $\vec v\neq\vec0$ et $\alpha$ une mesure de l’angle orienté $\ang{\vec u}{\vec v}$ : $\ \vec u\cdot\vec v=\nv{\vec u}\,\nv{\vec v}\cos\alpha$ . En particulier $\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}$ .

$\vec u\cdot\vec u=\vec u^{\,2}=\nv{\vec u}^2$ ; $\ \V{AB}^{\,2}=AB^2$ .
$\vec u\cdot\vec v=0\iff\vec u\perp\vec v$ ; $\ \V{AB}\cdot\V{CD}=0\iff(AB)\perp(CD)$ (pour $A\neq B$ , $C\neq D$ ).

4. Déterminant de deux vecteurs

Définition

Pour $\vec u(a;b)$ et $\vec v(a';b')$ : $\ \det(\vec u;\vec v)=\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$ . $\quad\det(\vec u;\vec v)=0\iff\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

5. Vecteur directeur et équation cartésienne d’une droite

Propriété

Un vecteur directeur d’une droite $(D)$ est un vecteur non nul de même direction que $(D)$ .
Toute droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$ ; le vecteur $\vec u(-b;a)$ est alors un vecteur directeur.

6. Représentation paramétrique d’une droite

Propriété

La droite passant par $B(x_B;y_B)$ et de vecteur directeur $\vec u(\alpha;\beta)\neq\vec0$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_B+\alpha t\\ y=y_B+\beta t\end{cases}$ , $t\in\R$ .

7. Résolution graphique d’une inéquation du premier degré à deux inconnues

Propriété

La droite $(D):ax+by+c=0$ partage le plan en deux demi-plans ouverts $(D^+)=\{M(x;y)\ /\ ax+by+c>0\}$ et $(D^-)=\{M(x;y)\ /\ ax+by+c<0\}$ . Pour savoir lequel convient, on teste un point hors de $(D)$ (souvent $O$ si $O\notin(D)$ ).

8. Valeurs trigonométriques usuelles et mesure principale

Propriété

Si $\cos\theta$ et $\sin\theta$ sont connus, $\theta$ est déterminé modulo $2\pi$ ; la mesure principale est celle de $]-\pi;\pi]$ . Par exemple :

$(\cos\theta;\sin\theta)$	$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}2\right)$	$\left(\frac{\sqrt2}2;-\frac{\sqrt2}2\right)$	$\left(-\frac{\sqrt3}2;\frac12\right)$	$\left(-\frac{\sqrt2}2;-\frac{\sqrt2}2\right)$	$\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}2\right)$
mesure principale	$\frac\pi3$	$-\frac\pi4$	$\frac{5\pi}6$	$-\frac{3\pi}4$	$-\frac\pi3$

II. Expression analytique du produit scalaire ; droites

1. Expression analytique, normes, distances, cosinus et sinus

Activité 1

Soient $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ deux vecteurs non nuls.

Développer $(x\vec\imath+y\vec\jmath)\cdot(x'\vec\imath+y'\vec\jmath)$ en utilisant $\vec\imath^{\,2}=\vec\jmath^{\,2}=1$ et $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ .
En déduire $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ et $\nv{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}$ .
En déduire l’expression de $\cos\ang{\vec u}{\vec v}$ en fonction des coordonnées.
Pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , exprimer $AB$ à l’aide des coordonnées.
Soit $\vec w$ le vecteur tel que $\nv{\vec w}=\nv{\vec u}$ et $\ang{\vec u}{\vec w}\equiv\frac\pi2\ [2\pi]$ . a. Montrer que $\vec w(-y;x)$ et que $\ang{\vec v}{\vec w}\equiv\frac\pi2-\ang{\vec u}{\vec v}\ [2\pi]$ . b. Calculer $\cos\ang{\vec v}{\vec w}$ de deux façons et en déduire $\sin\ang{\vec u}{\vec v}=\dfrac{\det(\vec u;\vec v)}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ .

Voir la solution

$xx'\vec\imath^{\,2}+(xy'+yx')\vec\imath\cdot\vec\jmath+yy'\vec\jmath^{\,2}=xx'+yy'$ .
Donc $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ , puis $\nv{\vec u}^2=\vec u\cdot\vec u=x^2+y^2$ .
$\cos\ang{\vec u}{\vec v}=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}$ .
$\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ , donc $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .
a. Si $\vec u=r(\cos\varphi\,\vec\imath+\sin\varphi\,\vec\jmath)$ , alors $\vec w=r\left(\cos(\varphi+\frac\pi2)\vec\imath+\sin(\varphi+\frac\pi2)\vec\jmath\right)=r(-\sin\varphi\,\vec\imath+\cos\varphi\,\vec\jmath)$ , soit $\vec w(-y;x)$ . Chasles : $\ang{\vec v}{\vec w}\equiv\ang{\vec v}{\vec u}+\ang{\vec u}{\vec w}\equiv\frac\pi2-\ang{\vec u}{\vec v}$ . b. D’une part $\cos\ang{\vec v}{\vec w}=\cos\left(\frac\pi2-\ang{\vec u}{\vec v}\right)=\sin\ang{\vec u}{\vec v}$ ; d’autre part $\cos\ang{\vec v}{\vec w}=\frac{\vec v\cdot\vec w}{\nv{\vec v}\nv{\vec w}}=\frac{-x'y+y'x}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}=\frac{\det(\vec u;\vec v)}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ .

À retenir 1

Soient $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ , $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ .

$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ ; $\ \nv{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}$ ; $\ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .
Si $\vec u\neq\vec0$ et $\vec v\neq\vec0$ : $\ \cos\ang{\vec u}{\vec v}=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ et $\ \sin\ang{\vec u}{\vec v}=\dfrac{\det(\vec u;\vec v)}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ .
$\vec u\cdot\vec v=0\iff\vec u\perp\vec v$ .

Exemple 1

On considère $\vec u(3;1)$ , $\vec v=\vec\imath+2\vec\jmath$ et $\vec w=(2m+1)\vec\imath-2\vec\jmath$ , où $m\in\R$ .

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ , $\nv{\vec u}$ et $\nv{\vec v}$ .
Calculer $\cos\ang{\vec u}{\vec v}$ et $\sin\ang{\vec u}{\vec v}$ , puis la mesure principale de $\ang{\vec u}{\vec v}$ .
Calculer $\vec u\cdot\vec w$ en fonction de $m$ , puis déterminer $m$ pour que $\vec u\perp\vec w$ .
Pour $A(2;-1)$ et $B(-2;1)$ , calculer $AB$ .

Voir la solution

$\vec u\cdot\vec v=3\times1+1\times2=5$ ; $\nv{\vec u}=\sqrt{10}$ ; $\nv{\vec v}=\sqrt5$ .
$\cos\ang{\vec u}{\vec v}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt5}=\frac{5}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$ ; $\det(\vec u;\vec v)=3\times2-1\times1=5$ , donc $\sin\ang{\vec u}{\vec v}=\frac{\sqrt2}2$ . Mesure principale : $\frac\pi4$ .
$\vec u\cdot\vec w=3(2m+1)+1\times(-2)=6m+1$ ; $\ \vec u\perp\vec w\iff6m+1=0\iff m=-\frac16$ .
$AB=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ .

Remarque 1 — aire d’un triangle

$\cos\ang{\V{AB}}{\V{AC}}=\dfrac{\V{AB}\cdot\V{AC}}{AB\times AC}$ et $\sin\ang{\V{AB}}{\V{AC}}=\dfrac{\det(\V{AB};\V{AC})}{AB\times AC}$ .
L’aire du triangle $ABC$ est $\ S=\dfrac12\left|\det(\V{AB};\V{AC})\right|$ $\left(=\frac12AB\times AC\times|\sin\widehat{BAC}|\right)$ ; on a aussi $S=\frac12|\det(\V{BC};\V{BA})|=\frac12|\det(\V{CA};\V{CB})|$ .

Exemple 2

Calculer l’aire du triangle $ABC$ avec $A(1;-2)$ , $B(3;1)$ et $C(-1;4)$ .

Voir la solution

$\V{AB}(2;3)$ , $\V{AC}(-2;6)$ : $\det(\V{AB};\V{AC})=2\times6-(-2)\times3=18$ , donc $S=\frac12\times18=9$ (unités d’aire).

Application 1

On considère les points $A(2;1)$ , $B(-1;5)$ et $C(6;4)$ .

Calculer $\V{AB}\cdot\V{AC}$ et $\det(\V{AB};\V{AC})$ .
En déduire la nature du triangle $ABC$ .
Calculer les distances $AB$ , $BC$ et $CA$ .
a. Calculer $\cos\ang{\V{BA}}{\V{BC}}$ et $\sin\ang{\V{BA}}{\V{BC}}$ . b. En déduire la mesure principale de l’angle orienté $\ang{\V{BA}}{\V{BC}}$ .
Calculer l’aire du triangle $ABC$ .

Voir la solution

$\V{AB}(-3;4)$ , $\V{AC}(4;3)$ : $\V{AB}\cdot\V{AC}=-12+12=0$ ; $\det(\V{AB};\V{AC})=-3\times3-4\times4=-25$ .
$\V{AB}\cdot\V{AC}=0$ : le triangle est rectangle en $A$ (et $\det\neq0$ : il n’est pas aplati).
$AB=\sqrt{9+16}=5$ , $AC=5$ , $BC=\sqrt{7^2+(-1)^2}=5\sqrt2$ : triangle rectangle isocèle en $A$ .
a. $\V{BA}(3;-4)$ , $\V{BC}(7;-1)$ : $\V{BA}\cdot\V{BC}=21+4=25$ ; $\det(\V{BA};\V{BC})=3\times(-1)-(-4)\times7=25$ . Donc $\cos=\frac{25}{5\times5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$ et $\sin=\frac{\sqrt2}2$ . b. Mesure principale : $\frac\pi4$ .
$S=\frac12|-25|=\frac{25}2$ .

2. Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite

Activité 2

Soit $(\Delta):ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$ .

Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $(\Delta)$ .
Montrer que $\vec n(a;b)$ et $\vec u$ sont orthogonaux. (On dit que $\vec n$ est un vecteur normal à $(\Delta)$ .)
Soit $(D)$ la droite passant par $A(x_A;y_A)$ et de vecteur normal $\vec n(a;b)$ . a. Montrer que $M\in(D)\iff\vec n\cdot\V{AM}=0$ . b. En déduire que $M(x;y)\in(D)\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$ .

Voir la solution

$\vec u(-b;a)$ .
$\vec n\cdot\vec u=-ab+ba=0$ .
a. $M\in(D)\iff\V{AM}$ est colinéaire à un vecteur directeur $\vec u$ de $(D)$ $\iff\V{AM}\perp\vec n$ (dans le plan, les vecteurs orthogonaux à $\vec n\neq\vec0$ sont exactement les multiples de $\vec u$ ). b. On écrit $\vec n\cdot\V{AM}$ avec $\V{AM}(x-x_A;y-y_A)$ .

À retenir 2

Un vecteur normal à une droite $(D)$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $(D)$ .
Si $(D):ax+by+c=0$ , alors $\vec n(a;b)$ est normal à $(D)$ et $\vec u(-b;a)$ la dirige.
La droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vec n\cdot\V{AM}=0$ .

Exemple 3

Donner un vecteur normal à $(D)$ dans chacun des cas : a. $2x+5y-3=0$ ; b. $\frac12x-4=0$ ; c. $y=-3$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$ : a. $A(3;-2)$ , $\vec n(2;-1)$ ; b. $A(\sqrt3;-\sqrt3)$ , $\vec n(2\sqrt3;\sqrt3)$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A(-1;3)$ et de vecteur directeur $\vec u(2;5)$ .

Voir la solution

a. $\vec n(2;5)$ ; b. $\vec n\left(\frac12;0\right)$ (ou $(1;0)$ ) ; c. l’équation s’écrit $0x+1y+3=0$ : $\vec n(0;1)$ .
a. Méthode 1 : $M(x;y)\in(D)\iff2(x-3)-(y+2)=0\iff2x-y-8=0$ . Méthode 2 : $(D):2x-y+c=0$ et $A\in(D)$ donne $6+2+c=0$ , $c=-8$ . b. $2\sqrt3(x-\sqrt3)+\sqrt3(y+\sqrt3)=0\iff2\sqrt3x+\sqrt3y-3=0$ (ou, en divisant par $\sqrt3$ : $2x+y-\sqrt3=0$ ).
$M\in(D)\iff\det(\V{AM};\vec u)=0\iff\begin{vmatrix}x+1&2\\y-3&5\end{vmatrix}=0\iff5(x+1)-2(y-3)=0\iff5x-2y+11=0$ .

Remarque 2 — droites perpendiculaires

Si $(D):ax+by+c=0$ et $(D'):a'x+b'y+c'=0$ , alors $\ (D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0$ (les vecteurs normaux sont orthogonaux).

Exemple 4

Étudier la perpendicularité des droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ :

$(\Delta):3x-4y+1=0$ et $(\Delta'):4x+3y-2=0$ ;
$(\Delta):x-3y+5=0$ et $(\Delta'):2x+y=0$ ;
$(\Delta):2x+y-1=0$ et $(\Delta'):\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\end{cases}$ , $t\in\R$ .

Voir la solution

$3\times4+(-4)\times3=0$ : $(\Delta)\perp(\Delta')$ .
$1\times2+(-3)\times1=-1\neq0$ : non perpendiculaires.
$\vec n(2;1)$ est normal à $(\Delta)$ et $\vec u(2;1)$ dirige $(\Delta')$ : $\det(\vec n;\vec u)=0$ , donc $\vec u$ est colinéaire à $\vec n$ : $(\Delta')$ est perpendiculaire à $(\Delta)$ .

Application 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ dans chacun des cas :

$(D)$ passe par $A(2;-1)$ et a pour vecteur normal $\vec n\left(3;\frac12\right)$ ;
$(D)$ passe par $A(-1;4)$ et est parallèle à $(\Delta):x-3y+2=0$ ;
$(D)$ passe par $A(2;3)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ ;
$(D)$ passe par $A(3;-2)$ et est perpendiculaire à $(\Delta):\begin{cases}x=1+t\\y=2-4t\end{cases}$ , $t\in\R$ ;
$(D)$ passe par $A(2;-3)$ et $B(2;5)$ ;
$(D)$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases}x=2-t\\y=1+3t\end{cases}$ , $t\in\R$ ;
$(D)$ a pour équation réduite $y=\frac23x-\frac14$ .

Voir la solution

$3(x-2)+\frac12(y+1)=0\iff6x+y-11=0$ .
$(D):x-3y+c=0$ ; $A\in(D)$ : $-1-12+c=0$ , $c=13$ : $x-3y+13=0$ .
$\det(\V{AM};\vec u)=-(x-2)-3(y-3)=0\iff x+3y-11=0$ .
$\vec u(1;-4)$ , directeur de $(\Delta)$ , est normal à $(D)$ : $(x-3)-4(y+2)=0\iff x-4y-11=0$ .
$\V{AB}(0;8)$ : $(D):x-2=0$ .
$(D)$ passe par $(2;1)$ , de vecteur directeur $(-1;3)$ : $3(x-2)+(y-1)=0\iff3x+y-7=0$ .
$12y=8x-3\iff8x-12y-3=0$ .

3. Distance d’un point à une droite

Activité 3

Soient $(D):ax+by+c=0$ de vecteur normal $\vec n(a;b)$ , $A(x_A;y_A)$ un point et $H$ son projeté orthogonal sur $(D)$ .

Justifier que $ax_H+by_H=-c$ et que, si $A\notin(D)$ , $\V{AH}$ et $\vec n$ sont colinéaires.
En déduire $\V{AH}\cdot\vec n=-(ax_A+by_A+c)$ et $|\V{AH}\cdot\vec n|=AH\,\nv{\vec n}$ .
En déduire que $AH=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . (La distance $AH$ est la distance de $A$ à $(D)$ , notée $d(A;(D))$ .)

Voir la solution

$H\in(D)$ ; $\V{AH}$ est orthogonal à la direction de $(D)$ , donc colinéaire à $\vec n$ .
$\V{AH}\cdot\vec n=a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)=-c-ax_A-by_A$ ; et, pour deux vecteurs colinéaires, $|\V{AH}\cdot\vec n|=AH\,\nv{\vec n}$ (le cosinus vaut $\pm1$ ; égalité triviale si $A=H$ ).
On divise par $\nv{\vec n}=\sqrt{a^2+b^2}\neq0$ .

À retenir 3

Pour $(D):ax+by+c=0$ et $A(x_A;y_A)$ : $\qquad d(A;(D))=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Exemple 5

Calculer la distance du point $A(4;-1)$ à la droite $(D):2x-3y+2=0$ .

Voir la solution

$d(A;(D))=\dfrac{|8+3+2|}{\sqrt{4+9}}=\dfrac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$ .

Application 3

Calculer la distance du point $A$ à la droite $(D)$ :

$A(1;4)$ et $(D):x+y-1=0$
$A(-2;1)$ et $(D):3x-4y+5=0$
$A(3;2)$ et $(D):\begin{cases}x=2+t\\y=-1+2t\end{cases}$ , $t\in\R$ .

Voir la solution

$\frac{|1+4-1|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$ .
$\frac{|-6-4+5|}{5}=1$ .
$(D)$ passe par $(2;-1)$ , dirigée par $(1;2)$ : $(D):2x-y-5=0$ , et $d=\frac{|6-2-5|}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5$ .

III. Étude analytique du cercle

1. Équation cartésienne d’un cercle

Activité 4

A. Soit $(C)$ le cercle de centre $\Omega(2;-1)$ et de rayon $\sqrt5$ .

a. Calculer $\Omega A$ , $\Omega B$ , $\Omega C$ pour $A(4;0)$ , $B(3;1)$ , $C(0;1)$ . b. Lesquels de ces points sont sur $(C)$ ?
Soit $M(x;y)$ . Exprimer $\Omega M$ en fonction de $x$ et $y$ , puis montrer que $M\in(C)\iff(x-2)^2+(y+1)^2=5$ .

B. Soit $(C)$ le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R>0$ . Montrer que $M(x;y)\in(C)\iff(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ , puis que cette équation s’écrit $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-R^2$ .

C. Soient $A(1;0)$ et $B(3;2)$ , et $(C)$ le cercle de diamètre $[AB]$ . Justifier que $M\in(C)\iff\V{AM}\cdot\V{BM}=0$ , puis en déduire une équation de $(C)$ .

Voir la solution

A. 1. $\Omega A=\sqrt{4+1}=\sqrt5$ , $\Omega B=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ , $\Omega C=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ : $A,B\in(C)$ , $C\notin(C)$ . 2. $\Omega M=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$ et $M\in(C)\iff\Omega M=\sqrt5\iff\Omega M^2=5$ (distances positives). B. Même raisonnement ; en développant : $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0$ . C. Pour $M\neq A,B$ : $M\in(C)\iff\widehat{AMB}$ est droit $\iff\V{AM}\cdot\V{BM}=0$ ; $A$ et $B$ vérifient aussi l’égalité. D’où $(x-1)(x-3)+y(y-2)=0$ , soit $x^2+y^2-4x-2y+3=0$ .

À retenir 4

Le cercle $\mathcal C(\Omega;R)$ de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R>0$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ , soit $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-R^2$ .
Le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\V{AM}\cdot\V{BM}=0$ ; son équation est $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$ .

Exemple 6

Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$ :

de centre $\Omega(-1;3)$ et de rayon $3\sqrt2$ ;
de centre $\Omega(2;1)$ passant par $A(-1;5)$ ;
de diamètre $[AB]$ avec $A(-3;1)$ et $B(5;-3)$ ;
de centre $\Omega(1;-2)$ et tangent à la droite $(\Delta):3x-y+5=0$ .

Voir la solution

Méthode 1 : $(x+1)^2+(y-3)^2=18\iff x^2+y^2+2x-6y-8=0$ . Méthode 2 : $c=1+9-18=-8$ .
$R=\Omega A=\sqrt{9+16}=5$ ; $c=4+1-25=-20$ : $x^2+y^2-4x-2y-20=0$ .
Méthode 1 : $(x+3)(x-5)+(y-1)(y+3)=0\iff x^2+y^2-2x+2y-18=0$ . Méthode 2 : centre $\Omega(1;-1)$ (milieu), $R=\frac{AB}2=\frac{\sqrt{64+16}}2=2\sqrt5$ , $c=1+1-20=-18$ .
Le rayon est la distance du centre à la tangente : $R=\frac{|3+2+5|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ ; $c=1+4-10=-5$ : $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ .

Application 4

Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$ :

de centre $\Omega(3;-2)$ et de rayon $4$ ;
de centre $\Omega(1;-3)$ passant par $A(4;1)$ ;
de diamètre $[AB]$ , avec $A(2;-1)$ et $B(2;3)$ ;
de centre $\Omega(2;1)$ et tangent à $(\Delta):3x+4y+5=0$ ;
circonscrit au triangle $ABC$ , avec $A(5;5)$ , $B(-2;4)$ et $C(6;-2)$ ;
passant par $A(3;4)$ et $B(-1;0)$ , et dont le centre appartient à $(D):2x-y-3=0$ .

Voir la solution

$c=9+4-16=-3$ : $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ .
$R=\sqrt{9+16}=5$ , $c=1+9-25=-15$ : $x^2+y^2-2x+6y-15=0$ .
$(x-2)^2+(y+1)(y-3)=0\iff x^2+y^2-4x-2y+1=0$ .
$R=\frac{|6+4+5|}{5}=3$ , $c=4+1-9=-4$ : $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ .
On cherche $x^2+y^2+ax+by+c=0$ : $A$ : $5a+5b+c=-50$ ; $B$ : $-2a+4b+c=-20$ ; $C$ : $6a-2b+c=-40$ . Par différences : $7a+b=-30$ et $8a-6b=-20$ , d’où $a=-4$ , $b=-2$ , puis $c=-20$ : $x^2+y^2-4x-2y-20=0$ (centre $(2;1)$ , rayon $5$ ).
Le centre est sur la médiatrice de $[AB]$ : milieu $(1;2)$ , $\V{AB}(-4;-4)$ , d’où $x+y-3=0$ . Avec $2x-y-3=0$ : $\Omega(2;1)$ , $R=\Omega B=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ : $x^2+y^2-4x-2y-5=0$ .

2. Ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$

Activité 5

Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels et $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$ .

Montrer que $M\in(\Gamma)\iff\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\dfrac{a^2+b^2-4c}{4}$ .
Soit $\Omega\left(-\frac a2;-\frac b2\right)$ . En déduire que $M\in(\Gamma)\iff\Omega M^2=\dfrac{a^2+b^2-4c}4$ .
En déduire la nature de $(\Gamma)$ selon le signe de $a^2+b^2-4c$ .

Voir la solution

Forme canonique : $x^2+ax=\left(x+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4$ , de même pour $y$ . 2. Immédiat. 3. Voir ci-dessous.

À retenir 5

Soit $(\Gamma):x^2+y^2+ax+by+c=0$ , avec $(a;b;c)\in\R^3$ , et $\Omega\left(-\frac a2;-\frac b2\right)$ .

Si $a^2+b^2-4c>0$ : $(\Gamma)$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$ .
Si $a^2+b^2-4c=0$ : $(\Gamma)=\{\Omega\}$ .
Si $a^2+b^2-4c<0$ : $(\Gamma)=\varnothing$ .

Exemple 7

Déterminer la nature de $(\Gamma)$ : 1. $x^2+y^2-6x+2y+1=0$ ; 2. $x^2+y^2+2x+8y+20=0$ ; 3. $x^2+y^2-8x+6y+25=0$ .

Voir la solution

Méthode 1 : $a^2+b^2-4c=36+4-4=36>0$ : cercle de centre $\Omega(3;-1)$ , de rayon $\frac{6}{2}=3$ . Méthode 2 : $(x-3)^2-9+(y+1)^2-1+1=0\iff(x-3)^2+(y+1)^2=9$ .
$4+64-80=-12<0$ : $(\Gamma)=\varnothing$ (en effet $(x+1)^2+(y+4)^2=-3$ ).
$64+36-100=0$ : $(x-4)^2+(y+3)^2=0\iff x=4$ et $y=-3$ : $(\Gamma)=\{\Omega(4;-3)\}$ .

Application 5

Déterminer la nature de $(\Gamma)$ : 1. $x^2+y^2+3x-2y+4=0$ ; 2. $x^2+y^2+4x-6y-3=0$ ; 3. $(x+3)^2+(y-1)^2=0$ ; 4. $x^2+y^2=4$ .

Voir la solution

$9+4-16=-3<0$ : $\varnothing$ .
$16+36+12=64>0$ : cercle de centre $(-2;3)$ , de rayon $4$ .
$\{(-3;1)\}$ .
Cercle de centre $O$ , de rayon $2$ .

3. Intérieur et extérieur d’un cercle

À retenir 6

Soit $(C)$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ , d’équation $x^2+y^2+ax+by+c=0$ , et $M(x_M;y_M)$ .

$M\in(C)\iff\Omega M=R\iff x_M^2+y_M^2+ax_M+by_M+c=0$ .
$M$ est intérieur à $(C)\iff\Omega M<R\iff x_M^2+y_M^2+ax_M+by_M+c<0$ .
$M$ est extérieur à $(C)\iff\Omega M>R\iff x_M^2+y_M^2+ax_M+by_M+c>0$ . (En effet $x_M^2+y_M^2+ax_M+by_M+c=\Omega M^2-R^2$ .)

Exemple 8

Position de $M$ par rapport à $(C)$ : a. $\mathcal C(\Omega(1;-2);2)$ et $M(3;1)$ ; b. $(C):x^2+y^2+4x-2y=0$ et $M(-1;1)$ .
a. Déterminer l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ . b. Résoudre graphiquement $x^2+y^2+2x-4y-4<0$ . c. Résoudre graphiquement $x+y>0$ . d. Résoudre graphiquement le système $\begin{cases}x^2+y^2+2x-4y-4<0\\x+y>0\end{cases}$ .

Voir la solution

a. $\Omega M=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}>2$ : $M$ est extérieur. b. $1+1-4-2=-4<0$ : $M$ est intérieur.
a. $4+16+16=36>0$ : cercle $(C)$ de centre $\Omega(-1;2)$ et de rayon $3$ . b. Les solutions sont les couples $(x;y)$ des points intérieurs à $(C)$ (cercle exclu). c. $(D):x+y=0$ ; le point $(1;0)$ vérifie $1>0$ : solutions = demi-plan ouvert situé du côté de $(1;0)$ , droite exclue. d. Intersection de l’intérieur du disque et du demi-plan (région colorée, frontières exclues) :

Application 6

Position de $A$ par rapport à $(C)$ : a. $\mathcal C(\Omega(2;-1);\sqrt{13})$ et $A(-1;1)$ ; b. $(C):x^2+y^2-4x+2y-4=0$ et $A(4;2)$ .
a. Déterminer la nature de $(\Gamma):x^2+y^2-4x-2y+1=0$ . b. Résoudre graphiquement $x^2+y^2-4x-2y+1<0$ .
a. Résoudre graphiquement $x-y-1<0$ . b. En déduire les solutions du système $\begin{cases}x^2+y^2-4x-2y+1<0\\x-y-1<0\end{cases}$ .

Voir la solution

a. $\Omega A=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ : $A\in(C)$ . b. $16+4-16+4-4=4>0$ : $A$ extérieur.
a. $16+4-4=16>0$ : cercle de centre $(2;1)$ , de rayon $2$ . b. Intérieur de ce cercle.
a. $O$ vérifie $-1<0$ : demi-plan ouvert contenant $O$ , limité par $y=x-1$ . b. Intersection des deux régions (le centre $(2;1)$ est sur la droite : c’est un demi-disque ouvert) :

4. Représentation paramétrique d’un cercle

Activité 6

Soit $(C)$ le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R$ .

Partie 1. Soit $M(x;y)\in(C)$ et $\theta$ une mesure de $\ang{\vec\imath}{\V{\Omega M}}$ .

Montrer que $\vec\imath\cdot\V{\Omega M}=R\cos\theta$ et $\vec\jmath\cdot\V{\Omega M}=R\sin\theta$ (on remarquera que $\ang{\vec\jmath}{\V{\Omega M}}\equiv\theta-\frac\pi2$ ).
Exprimer aussi $\vec\imath\cdot\V{\Omega M}$ et $\vec\jmath\cdot\V{\Omega M}$ à l’aide de $x$ , $y$ , $a$ , $b$ , et en déduire $x=a+R\cos\theta$ , $y=b+R\sin\theta$ .

Partie 2. Montrer que : $M(x;y)\in(C)\iff\exists\theta\in\R:\begin{cases}x=a+R\cos\theta\\y=b+R\sin\theta\end{cases}$

Voir la solution

Partie 1. 1. $\vec\imath\cdot\V{\Omega M}=1\times R\cos\theta$ ; $\vec\jmath\cdot\V{\Omega M}=R\cos\left(\theta-\frac\pi2\right)=R\sin\theta$ . 2. $\V{\Omega M}(x-a;y-b)$ donne $\vec\imath\cdot\V{\Omega M}=x-a$ et $\vec\jmath\cdot\V{\Omega M}=y-b$ . Partie 2. Le sens direct est la partie 1. Réciproquement, si $x=a+R\cos\theta$ et $y=b+R\sin\theta$ , alors $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=R^2$ : $M\in(C)$ .

À retenir 7

Le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $R$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=a+R\cos\theta\\y=b+R\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .

Exemple 9

Donner une représentation paramétrique du cercle : a. de centre $\Omega(-1;4)$ et de rayon $3$ ; b. $(C):x^2+y^2+4x-2y-11=0$ .
Déterminer l’ensemble $(C)$ défini par $\begin{cases}x=2+\sqrt3\cos\theta\\y=-1+\sqrt3\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .
Déterminer une équation cartésienne de $(C):\begin{cases}x=-2+4\cos t\\y=3+4\sin t\end{cases}$ , $t\in\R$ .

Voir la solution

a. $\begin{cases}x=-1+3\cos\theta\\y=4+3\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ . b. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ : centre $(-2;1)$ , rayon $4$ ; $\begin{cases}x=-2+4\cos\theta\\y=1+4\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .
$(x-2)^2+(y+1)^2=3(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=3$ ; et réciproquement (retenir 7) : cercle de centre $(2;-1)$ et de rayon $\sqrt3$ .
$(x+2)^2+(y-3)^2=16\iff x^2+y^2+4x-6y-3=0$ .

Application 7

Représentation paramétrique du cercle : a. de centre $\Omega(-2;3)$ et de rayon $\sqrt5$ ; b. $(x+1)^2+(y-4)^2=4$ ; c. $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ .
Équation cartésienne du cercle : a. $\begin{cases}x=-3+2\cos\theta\\y=1+2\sin\theta\end{cases}$ ; b. $\begin{cases}x=2+\cos t\\y=\sin t\end{cases}$ ( $\theta,t\in\R$ ).

Voir la solution

a. $x=-2+\sqrt5\cos\theta$ , $y=3+\sqrt5\sin\theta$ . b. $x=-1+2\cos\theta$ , $y=4+2\sin\theta$ . c. $(x-2)^2+(y+5)^2=9$ : $x=2+3\cos\theta$ , $y=-5+3\sin\theta$ ( $\theta\in\R$ ).
a. $(x+3)^2+(y-1)^2=4\iff x^2+y^2+6x-2y+6=0$ . b. $(x-2)^2+y^2=1\iff x^2+y^2-4x+3=0$ .

5. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

À retenir 8

Soient $(C)$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ , $(D)$ une droite et $d=d(\Omega;(D))$ .

$d>R$	$d=R$	$d<R$
$(D)$ extérieure : $(D)\cap(C)=\varnothing$	$(D)$ tangente : $(D)\cap(C)=\{H\}$	$(D)$ sécante : $(D)\cap(C)=\{A;B\}$

Exemple 10

Étudier l’intersection de $(D)$ et $(C)$ :

$(D):x+y-3=0$ ; $(C):x^2+y^2-2x+4y-5=0$ ;
$(D):x-2y+6=0$ ; $(C):(x+1)^2+(y-5)^2=5$ ;
$(D):x=3$ ; $(C):x^2+y^2=4$ .

Voir la solution

$\Omega(1;-2)$ , $R=\sqrt{1+4+5}=\sqrt{10}$ ; $d=\frac{|1-2-3|}{\sqrt2}=2\sqrt2<\sqrt{10}$ : sécante. $M\in(D)\cap(C)\iff\begin{cases}y=3-x\\x^2+(3-x)^2-2x+4(3-x)-5=0\end{cases}\iff\begin{cases}y=3-x\\2x^2-12x+16=0\end{cases}$ ; $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ : points $A(2;1)$ et $B(4;-1)$ .
$\Omega(-1;5)$ , $R=\sqrt5$ , $d=\frac{|-1-10+6|}{\sqrt5}=\sqrt5=R$ : tangente. $x=2y-6$ donne $(2y-5)^2+(y-5)^2=5\iff5y^2-30y+45=0\iff(y-3)^2=0$ : point de contact $H(0;3)$ .
$\Omega=O$ , $R=2$ , $d=3>2$ : $(D)\cap(C)=\varnothing$ .

Application 8

Étudier l’intersection de $(D)$ et $(C)$ :

$(D):x-y+1=0$ ; $(C):x^2+y^2-4x-2y-5=0$ ;
$(D):3x+4y-30=0$ ; $(C):x^2+y^2+2x-4y-20=0$ ;
$(D):y=-x+5$ ; $(C):x^2+y^2=8$ .

Voir la solution

$\Omega(2;1)$ , $R=\sqrt{10}$ , $d=\frac{|2-1+1|}{\sqrt2}=\sqrt2<R$ : sécante ; $y=x+1$ donne $2x^2-4x-6=0\iff(x+1)(x-3)=0$ : points $(-1;0)$ et $(3;4)$ .
$\Omega(-1;2)$ , $R=5$ , $d=\frac{|-3+8-30|}{5}=5=R$ : tangente ; le point de contact est le projeté de $\Omega$ : $H=\Omega+\frac{25}{25}(3;4)=(2;6)$ (contrôle : $6+24-30=0$ ).
$d=\frac{|0+0-5|}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}2>2\sqrt2$ : intersection vide.

6. Tangente à un cercle en un point

Activité 7

Soient $(C)$ le cercle de centre $\Omega(a;b)$ , $A(x_A;y_A)\in(C)$ et $(T)$ la tangente à $(C)$ en $A$ .

Donner un vecteur normal à $(T)$ .
En déduire que $M\in(T)\iff\V{A\Omega}\cdot\V{AM}=0$ , puis que $M(x;y)\in(T)\iff(a-x_A)(x-x_A)+(b-y_A)(y-y_A)=0$ .

Voir la solution

La tangente en $A$ est perpendiculaire au rayon $[\Omega A]$ : $\V{A\Omega}$ est normal à $(T)$ . 2. Retenir 2, puis écriture analytique du produit scalaire.

À retenir 9

La tangente $(T)$ au cercle $(C)$ de centre $\Omega$ au point $A\in(C)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\V{A\Omega}\cdot\V{AM}=0$ .

Exemple 11

Vérifier que $A\in(C)$ , puis déterminer une équation de la tangente à $(C)$ en $A$ :

$(C):x^2+y^2-4x+2y=0$ , $A(4;0)$
$(C):(x+1)^2+(y-2)^2=9$ , $A(2;2)$
$(C):x^2+y^2=1$ , $A\left(\frac{\sqrt2}2;-\frac{\sqrt2}2\right)$ .

Voir la solution

$16-16=0$ : $A\in(C)$ ; $\Omega(2;-1)$ , $\V{A\Omega}(-2;-1)$ , $\V{AM}(x-4;y)$ : $-2(x-4)-y=0\iff2x+y-8=0$ .
$9+0=9$ : $A\in(C)$ ; $\V{A\Omega}(-3;0)$ : $-3(x-2)=0\iff x-2=0$ .
$\frac12+\frac12=1$ : $A\in(C)$ ; $\V{A\Omega}\left(-\frac{\sqrt2}2;\frac{\sqrt2}2\right)$ : $-\frac{\sqrt2}2\left(x-\frac{\sqrt2}2\right)+\frac{\sqrt2}2\left(y+\frac{\sqrt2}2\right)=0\iff-x+y+\sqrt2=0$ , soit $x-y-\sqrt2=0$ .

Application 9

Vérifier que $A\in(C)$ , puis déterminer une équation de la tangente à $(C)$ en $A$ :

$(C):x^2+y^2+4x-2y-20=0$ , $A(1;5)$
$(C):(x-1)^2+(y+2)^2=25$ , $A(4;2)$
$(C):x^2+y^2=10$ , $A(3;-1)$ .

Voir la solution

$1+25+4-10-20=0$ ; $\Omega(-2;1)$ , $\V{A\Omega}(-3;-4)$ : $-3(x-1)-4(y-5)=0\iff3x+4y-23=0$ .
$9+16=25$ ; $\V{A\Omega}(-3;-4)$ : $3x+4y-20=0$ .
$9+1=10$ ; $\V{A\Omega}(-3;1)$ : $-3(x-3)+(y+1)=0\iff3x-y-10=0$ .

7. Exercices de synthèse

Application 10 — synthèse

Déterminer les tangentes au cercle $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=25$ qui sont parallèles à la droite $(D):4x+3y=0$ .

Voir la solution

Une telle tangente a une équation $4x+3y+c=0$ et vérifie $d(\Omega;(T))=5$ avec $\Omega(1;-2)$ : $\frac{|4-6+c|}{5}=5\iff|c-2|=25\iff c=27$ ou $c=-23$ . Réciproquement, ces droites sont parallèles à $(D)$ et à distance $R$ du centre : ce sont des tangentes. Réponse : $4x+3y+27=0$ et $4x+3y-23=0$ .

Application 11 — synthèse

Vérifier que $A(4;-3)$ est extérieur au cercle $(C):(x-1)^2+(y-1)^2=5$ , puis déterminer les tangentes à $(C)$ passant par $A$ .

Voir la solution

$\Omega A=\sqrt{9+16}=5>\sqrt5$ : $A$ est extérieur. La droite verticale $x=4$ est à la distance $3\neq\sqrt5$ de $\Omega$ : ce n’est pas une tangente. Les autres droites passant par $A$ s’écrivent $y+3=m(x-4)$ , soit $mx-y-4m-3=0$ . Tangente $\iff\frac{|m-1-4m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5\iff(3m+4)^2=5(m^2+1)\iff4m^2+24m+11=0$ ; discriminant $576-176=400$ , $m=-\frac12$ ou $m=-\frac{11}2$ . Tangentes : $x+2y+2=0$ et $11x+2y-38=0$ .

Application 12 — synthèse

Pour $m\in\R$ , soit $(C_m)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+(2m-2)x+(2m+2)y-4m-2=0$ .

Montrer que $(C_m)$ est un cercle ; préciser son centre $\Omega_m$ et son rayon $R_m$ .
Déterminer l’ensemble $(D)$ des centres $\Omega_m$ lorsque $m$ décrit $\R$ .
Montrer que tous les cercles $(C_m)$ passent par deux points fixes $A$ et $B$ .
Montrer que $(D)\perp(AB)$ .

Voir la solution

$a^2+b^2-4c=(2m-2)^2+(2m+2)^2+16m+8=8m^2+16m+16=8\big((m+1)^2+1\big)>0$ : cercle de centre $\Omega_m(1-m;-1-m)$ et de rayon $R_m=\sqrt{2(m+1)^2+2}$ .
Si $\Omega_m(x;y)$ : $x-y=2$ . Réciproquement, tout point $(x;x-2)$ est $\Omega_m$ pour $m=1-x$ . Donc $(D):x-y-2=0$ .
L’équation s’écrit $x^2+y^2-2x+2y-2+2m(x+y-2)=0$ . Un point est sur tous les $(C_m)$ $\iff$ $x+y-2=0$ et $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ ; avec $y=2-x$ : $2x^2-8x+6=0\iff x=1$ ou $x=3$ . Points fixes : $A(1;1)$ et $B(3;-1)$ .
$\V{AB}(2;-2)$ et $\vec u(1;1)$ dirige $(D)$ : $\V{AB}\cdot\vec u=0$ , donc $(D)\perp(AB)$ .

IV. Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire

Activité 8

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.

Montrer que $\nv{\vec u}\,\nv{\vec v}\ge|\vec u\cdot\vec v|$ , avec égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
En déduire que, pour tous réels $x,y,x',y'$ : $(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)\ge(xx'+yy')^2$ .
Montrer que $\nv{\vec u+\vec v}\le\nv{\vec u}+\nv{\vec v}$ , avec égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens ou l’un d’eux est nul.
En déduire que $\nv{\vec u-\vec v}\ge\big|\nv{\vec u}-\nv{\vec v}\big|$ .
Soient $n\in\N^*$ et $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ des vecteurs. Montrer par récurrence que $\nv{\sum_{i=1}^n\vec u_i}\le\sum_{i=1}^n\nv{\vec u_i}$ .

Voir la solution

Si l’un est nul, c’est clair. Sinon $|\vec u\cdot\vec v|=\nv{\vec u}\nv{\vec v}|\cos\theta|\le\nv{\vec u}\nv{\vec v}$ , avec égalité $\iff|\cos\theta|=1\iff\theta\equiv0$ ou $\pi\ [2\pi]$ $\iff$ colinéaires.
On applique 1 à $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ et on élève au carré (quantités positives).
$\nv{\vec u+\vec v}^2=\nv{\vec u}^2+2\vec u\cdot\vec v+\nv{\vec v}^2\le\nv{\vec u}^2+2\nv{\vec u}\nv{\vec v}+\nv{\vec v}^2=(\nv{\vec u}+\nv{\vec v})^2$ ; égalité $\iff\vec u\cdot\vec v=\nv{\vec u}\nv{\vec v}$ , i.e. colinéaires de même sens (ou un vecteur nul).
$\nv{\vec u}=\nv{(\vec u-\vec v)+\vec v}\le\nv{\vec u-\vec v}+\nv{\vec v}$ , et de même en échangeant les rôles.
Vrai pour $n=1$ ; si c’est vrai au rang $n$ , alors $\nv{\sum_{i=1}^{n+1}\vec u_i}\le\nv{\sum_{i=1}^{n}\vec u_i}+\nv{\vec u_{n+1}}\le\sum_{i=1}^{n+1}\nv{\vec u_i}$ (question 3 puis hypothèse de récurrence).

À retenir 10

Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ :

Inégalité de Cauchy-Schwarz : $\ |\vec u\cdot\vec v|\le\nv{\vec u}\,\nv{\vec v}$ ; égalité $\iff\vec u$ et $\vec v$ colinéaires.
Inégalité triangulaire : $\ \nv{\vec u+\vec v}\le\nv{\vec u}+\nv{\vec v}$ ; égalité $\iff$ colinéaires de même sens, ou l’un des deux nul.

Remarque 3 — généralisation de l’inégalité triangulaire

Pour tout $n\in\N^*$ et tous vecteurs $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ : $\ \nv{\sum_{i=1}^n\vec u_i}\le\sum_{i=1}^n\nv{\vec u_i}$ .

Application 13

Soient $x,y,z,t$ des réels. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que : a. $(4+x^2)(1+y^2)\ge(x+2y)^2$ ; b. $(x^2+y^2)\big((x+z)^2+(y+t)^2\big)\ge(xt-yz)^2$ .
À l’aide de l’inégalité triangulaire, montrer que, pour tous réels $x$ et $y$ : $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-2)^2}\ge2\sqrt2$ .

Voir la solution

a. $\vec u(x;2)$ et $\vec v(1;y)$ : $\vec u\cdot\vec v=x+2y$ , $\nv{\vec u}^2=x^2+4$ , $\nv{\vec v}^2=1+y^2$ ; Cauchy-Schwarz élevée au carré donne le résultat. b. $\vec u(x;y)$ et $\vec v(y+t;-(x+z))$ : $\vec u\cdot\vec v=x(y+t)-y(x+z)=xt-yz$ et $\nv{\vec v}^2=(x+z)^2+(y+t)^2$ .
$\vec u(x-2;y)$ et $\vec v(-x;2-y)$ : $\vec u+\vec v=(-2;2)$ , de norme $2\sqrt2$ ; donc $\nv{\vec u}+\nv{\vec v}\ge\nv{\vec u+\vec v}=2\sqrt2$ .

Résumé : analytique du produit scalaire

Notion	Formule (repère orthonormé)
Produit scalaire, norme	$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ ; $\nv{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}$ ; $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Angle	$\cos\ang{\vec u}{\vec v}=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ ; $\sin\ang{\vec u}{\vec v}=\frac{\det(\vec u;\vec v)}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$
Aire d’un triangle	$S=\frac12\left\vert \det(\V{AB};\V{AC})\right\vert$
Droite	$ax+by+c=0$ : $\vec n(a;b)$ normal, $\vec u(-b;a)$ directeur ; $(D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0$
Distance point–droite	$d(A;(D))=\frac{\vert ax_A+by_A+c\vert }{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cercle	$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; diamètre $[AB]$ : $\V{MA}\cdot\V{MB}=0$
$x^2+y^2+ax+by+c=0$	cercle, point ou vide selon le signe de $a^2+b^2-4c$
Représentation paramétrique	$x=a+R\cos\theta$ , $y=b+R\sin\theta$ , $\theta\in\R$
Droite et cercle	comparer $d(\Omega;(D))$ et $R$
Tangente en $A$	$\V{A\Omega}\cdot\V{AM}=0$
Inégalités	$\vert \vec u\cdot\vec v\vert \le\nv{\vec u}\nv{\vec v}$ ; $\nv{\vec u+\vec v}\le\nv{\vec u}+\nv{\vec v}$

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Repère orthonormé : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ , $\cos=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ , $\sin=\frac{\det(\vec u;\vec v)}{\nv{\vec u}\nv{\vec v}}$ , aire $=\frac12|\det(\V{AB};\V{AC})|$ .
Droites : $\vec n(a;b)$ normal à $ax+by+c=0$ ; droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$ : $\vec n\cdot\V{AM}=0$ ; $d(A;(D))=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .
Cercles : forme canonique ; tangente en $A$ : $\V{A\Omega}\cdot\V{AM}=0$ ; une droite est tangente $\iff d(\Omega;(D))=R$ .
Régionnement : intérieur d’un cercle $\iff$ $x^2+y^2+ax+by+c<0$ ; demi-plan : test d’un point.
Tous les calculs ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot3.py).

Consignes. Dans toute la série, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ ; $x$ , $y$ désignent des réels et $m$ un paramètre réel. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole $\iff$ n’est employé que si chaque étape est réversible. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Triangle, distance, cercle et tangente Facile ★★☆☆☆

On considère les points $A(0;1)$ , $B(2;-1)$ , $C(1+\sqrt3;\sqrt3)$ et $D(3;0)$ .

Calculer les distances $AB$ et $AC$ , puis le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{AB}$ .
Calculer $\cos\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ et $\sin\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ .
Déterminer la nature du triangle $ABC$ .
Montrer que $x+y-1=0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$ .
Calculer la distance $d(C;(AB))$ du point $C$ à la droite $(AB)$ .
En déduire l’aire du triangle $ABC$ par deux méthodes différentes.
Soit $(C)$ le cercle de centre $A$ passant par $C$ . a. Montrer que $x^2+y^2-2y-7=0$ est une équation cartésienne de $(C)$ . b. Montrer que $B\in(C)$ , puis déterminer une équation cartésienne de la tangente à $(C)$ en $B$ . c. Soit $(\Delta)$ la droite passant par $D$ et parallèle à $(AB)$ . Montrer que $x+y-3=0$ est une équation cartésienne de $(\Delta)$ . d. Étudier l’intersection de $(\Delta)$ et du cercle $(C)$ .

Voir la solution

1. $\V{AB}(2;-2)$ , $\V{AC}(1+\sqrt3;\sqrt3-1)$ . $AB=\sqrt8=2\sqrt2$ ; $AC^2=(4+2\sqrt3)+(4-2\sqrt3)=8$ , donc $AC=2\sqrt2$ . $\ \V{AC}\cdot\V{AB}=2(1+\sqrt3)-2(\sqrt3-1)=4$ .

2. $\cos\ang{\V{AC}}{\V{AB}}=\frac{4}{8}=\frac12$ . $\ \det(\V{AC};\V{AB})=(1+\sqrt3)(-2)-2(\sqrt3-1)=-4\sqrt3$ , donc $\sin\ang{\V{AC}}{\V{AB}}=\frac{-4\sqrt3}{8}=-\frac{\sqrt3}2$ .

3. Une mesure de $\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ est $-\frac\pi3$ ; le triangle est isocèle en $A$ ( $AB=AC$ ) avec un angle au sommet de $\frac\pi3$ : il est équilatéral.

4. $0+1-1=0$ et $2-1-1=0$ : $A$ et $B$ vérifient l’équation, qui est bien celle d’une droite ; c’est donc une équation de $(AB)$ .

5. $d(C;(AB))=\frac{|1+\sqrt3+\sqrt3-1|}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt6$ .

6. Méthode 1 : $S=\frac12AB\times d(C;(AB))=\frac12\times2\sqrt2\times\sqrt6=2\sqrt3$ . Méthode 2 : $S=\frac12|\det(\V{AC};\V{AB})|=\frac12\times4\sqrt3=2\sqrt3$ .

7. a. Rayon $AC=2\sqrt2$ : $x^2+(y-1)^2=8\iff x^2+y^2-2y-7=0$ .

7. b. $4+1+2-7=0$ : $B\in(C)$ . $\V{BA}(-2;2)$ est normal à la tangente $(T)$ en $B$ : $-2(x-2)+2(y+1)=0\iff x-y-3=0$ .

7. c. $(\Delta)\parallel(AB)$ : $(\Delta):x+y+c=0$ ; $D\in(\Delta)$ donne $3+c=0$ . D’où $x+y-3=0$ .

7. d. $d(A;(\Delta))=\frac{|0+1-3|}{\sqrt2}=\sqrt2<2\sqrt2$ : $(\Delta)$ coupe $(C)$ en deux points. Avec $y=3-x$ : $x^2+(3-x)^2-2(3-x)-7=0\iff2x^2-4x-4=0\iff x^2-2x-2=0$ , d’où $x=1\pm\sqrt3$ . Points d’intersection : $\left(1+\sqrt3;2-\sqrt3\right)$ et $\left(1-\sqrt3;2+\sqrt3\right)$ .

Exercice 2 — Angle, distance, cercles, régionnement Moyen ★★★☆☆

On considère les points $A(1;2)$ , $B(4;1)$ , $C(3;3)$ et $D(2;0)$ .

Calculer les distances $AB$ et $AC$ , puis le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{AB}$ .
Calculer $\cos\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ et $\sin\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ .
En déduire la mesure principale de l’angle orienté $\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $B$ et perpendiculaire à $(AD)$ .
Montrer que la distance du point $A$ à la droite $(D)$ est égale à $\sqrt5$ .
Montrer que le cercle $(C)$ de centre $A$ et tangent à la droite $(D)$ admet pour équation cartésienne $x^2+y^2-2x-4y=0$ .
Déterminer une représentation paramétrique de $(C)$ .
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ .
Étudier l’intersection de $(\Gamma)$ avec la droite $(\Delta)$ d’équation $y=-x+4$ .
Résoudre graphiquement le système $\begin{cases}y<-x+4\\x^2+y^2-4x+2y-4<0\end{cases}$ .

Voir la solution

1. $\V{AB}(3;-1)$ , $\V{AC}(2;1)$ : $AB=\sqrt{10}$ , $AC=\sqrt5$ , $\V{AC}\cdot\V{AB}=6-1=5$ .

2. $\cos=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}2$ ; $\det(\V{AC};\V{AB})=2\times(-1)-1\times3=-5$ , $\sin=-\frac{\sqrt2}2$ .

3. Mesure principale : $-\frac\pi4$ .

4. $\V{AD}(1;-2)$ est normal à $(D)$ : $(x-4)-2(y-1)=0\iff x-2y-2=0$ .

5. $d(A;(D))=\frac{|1-4-2|}{\sqrt5}=\frac5{\sqrt5}=\sqrt5$ .

6. $(C)$ est tangent à $(D)$ $\iff$ son rayon vaut $d(A;(D))=\sqrt5$ . Équation : $(x-1)^2+(y-2)^2=5\iff x^2+y^2-2x-4y=0$ .

7. $\begin{cases}x=1+\sqrt5\cos\theta\\y=2+\sqrt5\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .

8. $(x-2)^2+(y+1)^2=4+1+4=9$ : $(\Gamma)$ est le cercle de centre $\Omega(2;-1)$ et de rayon $3$ .

9. $d(\Omega;(\Delta))=\frac{|2-1-4|}{\sqrt2}=\frac{3}{\sqrt2}<3$ : sécante. Avec $y=4-x$ : $x^2+(4-x)^2-4x+2(4-x)-4=0\iff2x^2-14x+20=0\iff(x-2)(x-5)=0$ . Points : $(2;2)$ et $(5;-1)$ .

10. $y<-x+4$ : demi-plan ouvert contenant $O$ ; la seconde inéquation : intérieur de $(\Gamma)$ . Solution : la partie colorée, frontières exclues.

Exercice 3 — Médiatrices et centre du cercle circonscrit Facile ★★☆☆☆

On considère les points $A(-2;-1)$ , $B(1;8)$ et $C(5;6)$ .

Déterminer les coordonnées des milieux $I$ , $J$ et $K$ des segments $[AB]$ , $[BC]$ et $[CA]$ respectivement.
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\V{AB}$ , $\V{BC}$ et $\V{CA}$ .
Soit $(D_1)$ la médiatrice du segment $[AB]$ . a. Donner un point de $(D_1)$ et un vecteur normal à cette droite. b. En déduire que les médiatrices $(D_1)$ , $(D_2)$ et $(D_3)$ des segments $[AB]$ , $[BC]$ et $[CA]$ ont pour équations respectives $(D_1):x+3y-10=0$ , $(D_2):2x-y+1=0$ et $(D_3):x+y-4=0$ . c. Montrer que ces trois médiatrices sont concourantes en un point $\Omega$ dont on précisera les coordonnées. d. On admet que $\Omega(1;3)$ . Montrer que $\Omega A=\Omega B=\Omega C$ et interpréter ce résultat.

Voir la solution

1. $I\left(-\frac12;\frac72\right)$ , $J(3;7)$ , $K\left(\frac32;\frac52\right)$ .

2. $\V{AB}(3;9)$ , $\V{BC}(4;-2)$ , $\V{CA}(-7;-7)$ .

3. a. $(D_1)$ passe par $I$ et admet $\V{AB}(3;9)$ , ou $\vec n_1(1;3)$ , pour vecteur normal.

3. b. $(D_1)$ : $(x+\frac12)+3(y-\frac72)=0\iff x+3y-10=0$ . De même, $(D_2)$ passe par $J$ , de vecteur normal $\frac12\V{BC}=(2;-1)$ : $2(x-3)-(y-7)=0\iff2x-y+1=0$ . $(D_3)$ passe par $K$ , de vecteur normal $-\frac17\V{CA}=(1;1)$ : $x+y-4=0$ .

3. c. $(D_1)\cap(D_2)$ : $y=2x+1$ donne $x+6x+3-10=0$ , $x=1$ , $y=3$ . Et $1+3-4=0$ : $(1;3)\in(D_3)$ . Les trois médiatrices sont concourantes en $\Omega(1;3)$ .

3. d. $\Omega A^2=9+16=25$ , $\Omega B^2=0+25=25$ , $\Omega C^2=16+9=25$ : $\Omega A=\Omega B=\Omega C=5$ . $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ (rayon $5$ ).

Exercice 4 — Hauteurs, orthocentre, aire Facile ★★☆☆☆

On considère à nouveau les points $A(-2;-1)$ , $B(1;8)$ et $C(5;6)$ .

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\V{AB}$ , $\V{BC}$ et $\V{CA}$ .
Soit $(D_A)$ la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$ . a. Donner un point de $(D_A)$ et un vecteur normal à cette droite. b. En déduire que les hauteurs $(D_A)$ , $(D_B)$ et $(D_C)$ , issues respectivement de $A$ , $B$ et $C$ , ont pour équations $(D_A):2x-y+3=0$ , $(D_B):x+y-9=0$ et $(D_C):x+3y-23=0$ . c. Montrer que ces trois hauteurs sont concourantes en un point $H$ dont on précisera les coordonnées. d. Que représente $H$ pour le triangle $ABC$ ?
a. Montrer que $3x-y+5=0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$ . b. Déterminer les coordonnées du point $E$ , intersection des droites $(D_C)$ et $(AB)$ . c. On admet que $E\left(\frac45;\frac{37}5\right)$ . Calculer l’aire du triangle $ABC$ par deux méthodes différentes.

Voir la solution

1. $\V{AB}(3;9)$ , $\V{BC}(4;-2)$ , $\V{CA}(-7;-7)$ .

2. a. $(D_A)$ passe par $A$ et admet $\V{BC}(4;-2)$ (ou $(2;-1)$ ) comme vecteur normal.

2. b. $(D_A)$ : $2(x+2)-(y+1)=0\iff2x-y+3=0$ . $(D_B)$ : par $B$ , normal $(1;1)$ : $(x-1)+(y-8)=0\iff x+y-9=0$ . $(D_C)$ : par $C$ , normal $(1;3)$ : $(x-5)+3(y-6)=0\iff x+3y-23=0$ .

2. c. $(D_A)\cap(D_B)$ : par addition, $3x-6=0$ , $x=2$ , $y=7$ ; et $2+21-23=0$ : $(2;7)\in(D_C)$ . Les hauteurs sont concourantes en $H(2;7)$ .

2. d. $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$ .

3. a. $-6+1+5=0$ et $3-8+5=0$ : $A$ et $B$ vérifient cette équation de droite.

3. b. $y=3x+5$ dans $x+3y-23=0$ : $10x-8=0$ , $x=\frac45$ , $y=\frac{37}5$ : $E\left(\frac45;\frac{37}5\right)$ .

3. c. Méthode 1 : $E$ est le pied de la hauteur issue de $C$ . $AB=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ ; $\V{EC}\left(\frac{21}5;-\frac75\right)$ , $CE=\frac75\sqrt{10}$ . $S=\frac12\times3\sqrt{10}\times\frac75\sqrt{10}=21$ . Méthode 2 : $\det(\V{AB};\V{AC})=3\times7-9\times7=-42$ , $S=\frac12\times42=21$ .

Exercice 5 — Résolution graphique de systèmes Facile ★★☆☆☆

Résoudre graphiquement les systèmes suivants, d’inconnue $(x;y)\in\R^2$ :

$\begin{cases}x^2+y^2-2x-4y+1<0\\x+y-2>0\\x-2y+4>0\end{cases}$
$\begin{cases}x^2+y^2-2x-4y+1<0\\x^2+y^2-6x-4y+9<0\end{cases}$

Voir la solution

1. $x^2+y^2-2x-4y+1<0\iff(x-1)^2+(y-2)^2<4$ : intérieur du cercle de centre $\Omega(1;2)$ et de rayon $2$ . Le centre vérifie $1+2-2>0$ et $1-4+4>0$ : on garde, pour chaque droite, le demi-plan ouvert contenant $\Omega$ . Les deux droites se coupent en $(0;2)$ , intérieur au disque. Solution : la partie colorée, frontières exclues.

2. La seconde inéquation s’écrit $(x-3)^2+(y-2)^2<4$ : intérieur du cercle de centre $\Omega_2(3;2)$ , de rayon $2$ . Les deux cercles se coupent en $(2;2-\sqrt3)$ et $(2;2+\sqrt3)$ (on retranche les équations : $4x-8=0$ ). Solution : la lentille commune aux deux disques ouverts.

Exercice 6 — Cercle et tangentes Facile ★★☆☆☆

Soit $(C)$ le cercle d’équation $x^2+y^2-2x-6y-15=0$ .

Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(C)$ .
Déterminer les coordonnées des points d’intersection $A$ et $B$ de $(C)$ avec l’axe des abscisses (on notera $A$ celui d’abscisse négative).
Déterminer une équation cartésienne de chacune des tangentes à $(C)$ en $A$ et en $B$ .
Déterminer les équations cartésiennes des tangentes à $(C)$ de vecteur directeur $\vec u(4;3)$ , puis les coordonnées de leurs points de contact avec $(C)$ .

Voir la solution

1. $(x-1)^2+(y-3)^2=1+9+15=25$ : $\Omega(1;3)$ , $R=5$ .

2. $y=0$ : $x^2-2x-15=0\iff(x+3)(x-5)=0$ : $A(-3;0)$ , $B(5;0)$ .

3. En $A$ : $\V{A\Omega}(4;3)$ : $4(x+3)+3y=0\iff4x+3y+12=0$ . En $B$ : $\V{B\Omega}(-4;3)$ : $-4(x-5)+3y=0\iff4x-3y-20=0$ .

4. Une droite de vecteur directeur $\vec u(4;3)$ a un vecteur normal $(3;-4)$ : $3x-4y+c=0$ . Elle est tangente $\iff\frac{|3-12+c|}{5}=5\iff|c-9|=25\iff c=34$ ou $c=-16$ . Tangentes : $(T_1):3x-4y+34=0$ et $(T_2):3x-4y-16=0$ . Le point de contact est le projeté orthogonal de $\Omega$ : $\Omega+\lambda(3;-4)$ avec $3(1+3\lambda)-4(3-4\lambda)+c=0$ . Pour $c=34$ : $\lambda=-1$ , contact $(-2;7)$ ; pour $c=-16$ : $\lambda=1$ , contact $(4;-1)$ .

Exercice 7 — Lignes de niveau Facile ★★☆☆☆

Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=5$ , et $H$ le point de $[AB]$ tel que $\V{AB}\cdot\V{AH}=10$ . Déterminer, dans chacun des cas suivants, l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan vérifiant :

$\V{AB}\cdot\V{AM}=10$ ;
$\V{AB}\cdot\V{AM}=-5$ .

Voir la solution

1. $\V{AB}\cdot\V{AH}=10$ avec $H\in[AB]$ : $AB\times AH=10$ , donc $AH=2$ . Alors $\V{AB}\cdot\V{AM}=10\iff\V{AB}\cdot\V{AM}=\V{AB}\cdot\V{AH}\iff\V{AB}\cdot\V{HM}=0$ : $(\Gamma_1)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ en $H$ .

2. Soit $K$ le point de $(AB)$ tel que $\V{AK}=-\frac15\V{AB}$ ( $AK=1$ , $K$ hors de $[AB]$ , du côté de $A$ ) : $\V{AB}\cdot\V{AK}=-\frac15\times25=-5$ . Comme en 1, $\V{AB}\cdot\V{AM}=-5\iff\V{AB}\cdot\V{KM}=0$ : $(\Gamma_2)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ en $K$ .

Exercice 8 — Tangentes de direction donnée Facile ★★☆☆☆

Déterminer les équations cartésiennes des tangentes au cercle $(C)$ d’équation $(x+2)^2+(y-1)^2=9$ qui sont parallèles à la droite $(D)$ d’équation $4x-3y=0$ .

Voir la solution

$\Omega(-2;1)$ , $R=3$ . Une parallèle à $(D)$ s’écrit $4x-3y+c=0$ ; elle est tangente $\iff\frac{|-8-3+c|}{5}=3\iff|c-11|=15\iff c=26$ ou $c=-4$ . Tangentes : $4x-3y+26=0$ et $4x-3y-4=0$ .

Exercice 9 — Tangentes issues d’un point Moyen ★★★☆☆

Vérifier que le point $A(3;0)$ est extérieur au cercle $(C)$ d’équation $(x+1)^2+(y-2)^2=10$ , puis déterminer les équations cartésiennes des tangentes à $(C)$ passant par $A$ .

Voir la solution

$\Omega(-1;2)$ , $R=\sqrt{10}$ ; $\Omega A^2=16+4=20>10$ : $A$ est extérieur. La droite $x=3$ est à distance $4\neq\sqrt{10}$ de $\Omega$ : pas tangente. Les autres droites passant par $A$ s’écrivent $mx-y-3m=0$ . Tangente $\iff\frac{|-m-2-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{10}\iff(4m+2)^2=10(m^2+1)\iff3m^2+8m-3=0\iff m=\frac13$ ou $m=-3$ . Tangentes : $x-3y-3=0$ et $3x+y-9=0$ .

Exercice 10 — Bissectrice d’un angle Facile ★★☆☆☆

On considère les points $A(5;2)$ , $B(1;-1)$ et $C(1;4)$ .

Placer les points $A$ , $B$ et $C$ , puis construire la bissectrice de l’angle $\widehat{ABC}$ .
Déterminer une équation cartésienne de cette bissectrice.

Voir la solution

1. $BA=\sqrt{16+9}=5$ et $BC=5$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ , donc la bissectrice de $\widehat{ABC}$ est la médiane issue de $B$ : on construit le milieu $I(3;3)$ de $[AC]$ et on trace $(BI)$ . (Autre construction : on complète le losange $BAPC$ , la bissectrice est $(BP)$ .)

2. $\V{BI}(2;4)$ dirige la bissectrice, d’où le vecteur normal $(2;-1)$ : $2(x-1)-(y+1)=0\iff2x-y-3=0$ .

Exercice 11 — Cercles soumis à des conditions Difficile ★★★★☆

Déterminer une équation cartésienne de chacun des cercles tangents à l’axe $(Ox)$ et passant par les points $A(-1;2)$ et $B(6;9)$ .
Déterminer les équations cartésiennes des cercles tangents à la droite $(D)$ d’équation $x+y-11=0$ et passant par les points $A(2;5)$ et $B(-4;-1)$ .

Voir la solution

1. Soit $\Omega(a;b)$ le centre. Tangence à $(Ox)$ : $R=|b|$ (et $b\neq0$ ). Passage par $A$ et $B$ : $(a+1)^2+(b-2)^2=b^2$ et $(a-6)^2+(b-9)^2=b^2$ , soit $4b=a^2+2a+5$ et $18b=a^2-12a+117$ . En éliminant $b$ : $9(a^2+2a+5)=2(a^2-12a+117)\iff7a^2+42a-189=0\iff a^2+6a-27=0\iff a=3$ ou $a=-9$ .

$a=3$ : $b=5$ , $R=5$ : $(x-3)^2+(y-5)^2=25$ , soit $x^2+y^2-6x-10y+9=0$ .
$a=-9$ : $b=17$ , $R=17$ : $(x+9)^2+(y-17)^2=289$ , soit $x^2+y^2+18x-34y+81=0$ .

2. Le centre est sur la médiatrice de $[AB]$ : milieu $(-1;2)$ , vecteur normal $(1;1)$ : $x+y-1=0$ , d’où $\Omega(a;1-a)$ . Alors $d(\Omega;(D))=\frac{|a+1-a-11|}{\sqrt2}=5\sqrt2$ , donc $R^2=50$ . Condition $\Omega A^2=50$ : $(a-2)^2+(a+4)^2=50\iff a^2+2a-15=0\iff a=3$ ou $a=-5$ . Cercles : $\Omega(3;-2)$ : $x^2+y^2-6x+4y-37=0$ ; $\Omega(-5;6)$ : $x^2+y^2+10x-12y+11=0$ .

Exercice 12 — Problème — cercle d’Euler Difficile ★★★★☆

On considère les points $A(-2;-1)$ , $B(1;8)$ et $C(5;6)$ .

Déterminer les coordonnées des milieux $I$ , $J$ et $K$ des segments $[AB]$ , $[BC]$ et $[CA]$ respectivement.
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de chacun des segments $[AB]$ , $[BC]$ et $[CA]$ .
Montrer que ces médiatrices sont concourantes en un unique point $\Omega$ .
Déterminer une équation cartésienne de chacune des hauteurs du triangle $ABC$ .
Montrer que ces hauteurs sont concourantes en un unique point $H$ .
Déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ (on pourra utiliser les coordonnées du barycentre).
Montrer que $\V{\Omega H}=3\V{\Omega G}$ .
Déterminer les coordonnées des projetés orthogonaux $H_1$ , $H_2$ et $H_3$ de $H$ sur les droites $(AB)$ , $(BC)$ et $(CA)$ respectivement.
Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\mathcal E)$ circonscrit au triangle $IJK$ .
Vérifier que $H_1$ , $H_2$ et $H_3$ appartiennent à $(\mathcal E)$ et que le centre de $(\mathcal E)$ est le milieu du segment $[\Omega H]$ .

Voir la solution

1. $I\left(-\frac12;\frac72\right)$ , $J(3;7)$ , $K\left(\frac32;\frac52\right)$ .

2. (Voir l’exercice 3.) $x+3y-10=0$ ; $2x-y+1=0$ ; $x+y-4=0$ .

3. Leur point commun est $\Omega(1;3)$ (exercice 3), unique car $(D_1)$ et $(D_2)$ ne sont pas parallèles ( $1\times(-1)-3\times2\neq0$ ).

4. (Voir l’exercice 4.) $2x-y+3=0$ ; $x+y-9=0$ ; $x+3y-23=0$ .

5. Point commun $H(2;7)$ , unique car $\det\big((2;-1);(1;1)\big)=3\neq0$ .

6. $G\left(\frac{-2+1+5}3;\frac{-1+8+6}3\right)=\left(\frac43;\frac{13}3\right)$ .

7. $\V{\Omega H}(1;4)$ et $\V{\Omega G}\left(\frac13;\frac43\right)$ : $\V{\Omega H}=3\V{\Omega G}$ ( $\Omega$ , $G$ , $H$ sont alignés : droite d’Euler).

8. $H_1$ : $H\in(D_C)$ , perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ ; donc $H_1=(D_C)\cap(AB)=E\left(\frac45;\frac{37}5\right)$ . $H_2=(D_A)\cap(BC)$ avec $(BC):x+2y-17=0$ : $y=2x+3$ donne $5x-11=0$ , $H_2\left(\frac{11}5;\frac{37}5\right)$ . $H_3=(D_B)\cap(CA)$ avec $(CA):x-y+1=0$ : $H_3(4;5)$ .

9. Équation $x^2+y^2+ax+by+c=0$ : $I$ : $-\frac12a+\frac72b+c=-\frac{25}2$ ; $J$ : $3a+7b+c=-58$ ; $K$ : $\frac32a+\frac52b+c=-\frac{17}2$ . On obtient $a=-3$ , $b=-10$ , $c=21$ : $(\mathcal E):x^2+y^2-3x-10y+21=0$ , de centre $\omega\left(\frac32;5\right)$ et de rayon $\frac52$ .

10. $H_1$ : $\frac{16}{25}+\frac{1369}{25}-\frac{12}5-74+21=\frac{1385-60-1325}{25}=0$ . $H_2$ : $\frac{121}{25}+\frac{1369}{25}-\frac{33}5-74+21=\frac{1490-165-1325}{25}=0$ . $H_3$ : $16+25-12-50+21=0$ . Et le milieu de $[\Omega H]$ est $\left(\frac{1+2}2;\frac{3+7}2\right)=\left(\frac32;5\right)=\omega$ . ( $(\mathcal E)$ est le cercle d’Euler, de rayon moitié de celui du cercle circonscrit.)

Exercice 13 — Diamètre perpendiculaire à une droite Facile ★☆☆☆☆

Déterminer une équation cartésienne de la droite portant le diamètre du cercle d’équation $x^2+y^2-6x+2y-6=0$ qui est perpendiculaire à la droite d’équation $3x-4y+1=0$ .

Voir la solution

Centre $\Omega(3;-1)$ ( $9+1+6=16>0$ : c’est bien un cercle). La droite cherchée passe par $\Omega$ et a pour vecteur normal un vecteur directeur de $3x-4y+1=0$ , soit $(4;3)$ : $4(x-3)+3(y+1)=0\iff4x+3y-9=0$ .

Exercice 14 — Famille de droites Difficile ★★★★☆

Pour tout $m\in\R$ , on considère la droite $(D_m)$ d’équation $(1-m^2)x+2my+5m^2+2m+1=0$ . Montrer qu’il existe un point $M_0$ équidistant de toutes les droites $(D_m)$ .

Voir la solution

Soit $M_0(a;b)$ . On a $(1-m^2)^2+4m^2=(1+m^2)^2$ , donc $d(M_0;(D_m))=\dfrac{|(5-a)m^2+(2b+2)m+(a+1)|}{1+m^2}$ . Cherchons $a,b$ tels que le numérateur soit proportionnel à $1+m^2$ : il suffit que $5-a=a+1$ et $2b+2=0$ , soit $a=2$ , $b=-1$ . Alors, pour tout $m\in\R$ , $d(M_0;(D_m))=\frac{3m^2+3}{1+m^2}=3$ : le point $M_0(2;-1)$ est à la distance $3$ de toutes les droites $(D_m)$ .

Exercice 15 — Cercles tangents à deux droites Difficile ★★★★★

Déterminer les équations cartésiennes des cercles passant par l’origine $O$ et tangents aux droites d’équations $x+2y-10=0$ et $2x-y-5=0$ .
Déterminer les équations cartésiennes des cercles passant par $A(3;1)$ et tangents aux droites d’équations $4x+3y-15=0$ et $3x-4y+20=0$ .

Voir la solution

Dans les deux cas, les deux droites données sont perpendiculaires ( $1\times2+2\times(-1)=0$ ; $4\times3+3\times(-4)=0$ ), et le centre $\Omega(a;b)$ , équidistant des deux droites, est sur l’une des deux bissectrices : $|e_1|=|e_2|\iff e_1=e_2$ ou $e_1=-e_2$ (même dénominateur $\sqrt5$ , resp. $5$ ).

1. $e_1=a+2b-10$ , $e_2=2a-b-5$ , $R^2=a^2+b^2$ (passage par $O$ ) et $R^2=\frac{e_1^2}5$ .

$e_1=e_2\iff a=3b-5$ : $e_1=5b-15$ , et $5(b-3)^2=(3b-5)^2+b^2\iff5b^2=20\iff b=\pm2$ : $\Omega(1;2)$ , $R^2=5$ , ou $\Omega(-11;-2)$ , $R^2=125$ .
$e_1=-e_2\iff b=15-3a$ : $e_1=20-5a$ et $5(4-a)^2=a^2+(15-3a)^2\iff a^2-10a+29=0$ : discriminant $-16<0$ , pas de solution.

Cercles : $x^2+y^2-2x-4y=0$ et $x^2+y^2+22x+4y=0$ .

2. $e_1=4a+3b-15$ , $e_2=3a-4b+20$ , $R=\frac{|e_1|}5$ et $R^2=(a-3)^2+(b-1)^2$ .

$e_1=e_2\iff a=35-7b$ : $R=5|5-b|$ , et $25(5-b)^2=(32-7b)^2+(b-1)^2\iff25(b-4)^2=0$ : $\Omega(7;4)$ , $R=5$ .
$e_1=-e_2\iff b=7a+5$ : $R=5|a|$ , et $25a^2=(a-3)^2+(7a+4)^2\iff25(a+1)^2=0$ : $\Omega(-1;-2)$ , $R=5$ .

Cercles : $x^2+y^2-14x-8y+40=0$ et $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 30.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 6 — Produit scalaire analytique

Cours

I. Rappels

1. Repère du plan

2. Coordonnées d’un point, d’un vecteur, du milieu

3. Formule trigonométrique du produit scalaire

4. Déterminant de deux vecteurs

5. Vecteur directeur et équation cartésienne d’une droite

6. Représentation paramétrique d’une droite

7. Résolution graphique d’une inéquation du premier degré à deux inconnues

8. Valeurs trigonométriques usuelles et mesure principale

II. Expression analytique du produit scalaire ; droites

1. Expression analytique, normes, distances, cosinus et sinus

2. Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite

3. Distance d’un point à une droite

III. Étude analytique du cercle

1. Équation cartésienne d’un cercle

2. Ensemble des points M(x;y)M(x;y)M(x;y) tels que x2+y2+ax+by+c=0x^2+y^2+ax+by+c=0x2+y2+ax+by+c=0

3. Intérieur et extérieur d’un cercle

4. Représentation paramétrique d’un cercle

5. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

6. Tangente à un cercle en un point

7. Exercices de synthèse

IV. Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire

Résumé : analytique du produit scalaire

Série d’exercices

Exercice 1 — Triangle, distance, cercle et tangente Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Angle, distance, cercles, régionnement Moyen ★★★☆☆

Exercice 3 — Médiatrices et centre du cercle circonscrit Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Hauteurs, orthocentre, aire Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Résolution graphique de systèmes Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Cercle et tangentes Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Lignes de niveau Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Tangentes de direction donnée Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Tangentes issues d’un point Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Bissectrice d’un angle Facile ★★☆☆☆

Exercice 11 — Cercles soumis à des conditions Difficile ★★★★☆

Exercice 12 — Problème — cercle d’Euler Difficile ★★★★☆

Exercice 13 — Diamètre perpendiculaire à une droite Facile ★☆☆☆☆

Exercice 14 — Famille de droites Difficile ★★★★☆

Exercice 15 — Cercles tangents à deux droites Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

2. Ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$