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Chapitre 3 — Projection

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Projection sur une droite parallèlement à une autre droite — II. Propriétés de la projection — III. Théorème de Thalès et traduction vectorielle.

Dans tout le chapitre, on travaille dans le plan ; les lettres $k$ , $x$ désignent des nombres réels.

I. Projection sur une droite parallèlement à une autre droite

1. Définition

Définition 1 : Projeté d’un point

On considère deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes, et un point $M$ du plan.

La droite passant par $M$ et parallèle à $(\Delta)$ coupe la droite $(D)$ en un unique point $M'$ . Ce point $M'$ s’appelle le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ .

L’application qui associe à chaque point $M$ du plan son projeté $M'$ s’appelle la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ .

Remarque

Si $M$ appartient à $(D)$ , alors son projeté est $M$ lui-même : $M'=M$ (c’est le cas du point $N$ de la figure).
Si $M\neq M'$ , alors la droite $(MM')$ est parallèle à $(\Delta)$ .
Les droites $(D)$ et $(\Delta)$ doivent être sécantes : si elles étaient parallèles, la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ ne couperait pas $(D)$ (ou serait confondue avec elle).

2. Projection orthogonale

Définition 2

Lorsque $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(D)$ , la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ s’appelle la projection orthogonale sur $(D)$ . Le projeté $M'$ d’un point $M$ est alors le pied de la perpendiculaire à $(D)$ passant par $M$ .

Exemple 1

On considère un triangle $ABC$ . Construire le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ ; on note $H$ ce projeté. Que représente la droite $(AH)$ pour le triangle $ABC$ ?

Voir la solution

On considère un triangle $ABC$ et la hauteur $(AH)$ issue de $A$ (avec $H\in(BC)$ ). Le point $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ .

Application 1

On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ . Déterminer :

le projeté de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ ;
le projeté de $C$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ ;
le projeté de $O$ sur $(BD)$ parallèlement à $(AC)$ .

Voir la solution

La parallèle à $(BC)$ passant par $D$ est la droite $(AD)$ (car $(AD)\parallel(BC)$ ) ; elle coupe $(AB)$ en $A$ . Le projeté de $D$ est $A$ .
La parallèle à $(BC)$ passant par $C$ est la droite $(BC)$ elle-même ; elle coupe $(AB)$ en $B$ . Le projeté de $C$ est $B$ .
$O$ appartient à la droite $(BD)$ : son projeté est $O$ .

II. Propriétés de la projection

1. Conservation du milieu

Propriété 1

On considère une projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ , deux points $A$ et $B$ de projetés $A'$ et $B'$ , et le milieu $I$ de $[AB]$ . Alors le projeté $I'$ de $I$ est le milieu de $[A'B']$ .

On dit que la projection conserve le milieu.

2. Conservation du coefficient de colinéarité

Propriété 2

On considère une projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ , et quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $E$ de projetés respectifs $A'$ , $B'$ , $C'$ , $E'$ . Pour tout réel $k$ : $\text{si}\quad\overrightarrow{CE}=k\,\overrightarrow{AB},\qquad\text{alors}\qquad\overrightarrow{C'E'}=k\,\overrightarrow{A'B'}.$

Remarque

La réciproque est fausse : deux vecteurs non colinéaires peuvent avoir des projetés colinéaires (les projetés sont tous sur la même droite $(D)$ ).
Cas particulier très utile : si $M$ est le point de la droite $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ , alors $\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}$ .
La propriété 1 est le cas $k=\tfrac12$ : $\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$ donne $\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}$ .

Exemple 2

On considère un triangle $ABC$ et le point $M$ défini par $\overrightarrow{BM}=\tfrac23\overrightarrow{BC}$ . On note $N$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ . Exprimer $\overrightarrow{BN}$ en fonction de $\overrightarrow{BA}$ .

Voir la solution

Par la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ :

$B\in(AB)$ , donc son projeté est $B$ ;
la parallèle à $(AC)$ passant par $C$ est $(AC)$ , qui coupe $(AB)$ en $A$ : le projeté de $C$ est $A$ ;
le projeté de $M$ est $N$ .

Comme $\overrightarrow{BM}=\tfrac23\overrightarrow{BC}$ , la propriété 2 donne $\overrightarrow{BN}=\tfrac23\overrightarrow{BA}$ .

Application 2

On considère un triangle $ABC$ , le milieu $I$ de $[BC]$ et le point $E$ défini par $\overrightarrow{AE}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ . On note $F$ le projeté de $E$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ , et $J$ le projeté de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ .

Exprimer $\overrightarrow{AF}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ .
Montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$ .

Voir la solution

Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A$ a pour projeté $A$ , $B$ a pour projeté $C$ (la droite $(BC)$ coupe $(AC)$ en $C$ ), $E$ a pour projeté $F$ . De $\overrightarrow{AE}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ , on déduit $\overrightarrow{AF}=\tfrac14\overrightarrow{AC}$ .
Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ : $B$ a pour projeté $A$ , $C$ a pour projeté $C$ . Comme $I$ est le milieu de $[BC]$ , son projeté $J$ est le milieu de $[AC]$ (conservation du milieu).

III. Théorème de Thalès

1. Théorème de Thalès

Théorème 1 : Thalès

On considère un triangle $ABC$ , un point $M$ de la droite $(AB)$ et un point $N$ de la droite $(AC)$ . Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Exemple 3

Dans la figure ci-dessus, on donne $AB=5$ , $AC=4$ , $BC=6$ et $AM=2$ , avec $(MN)\parallel(BC)$ . Calculer $AN$ et $MN$ .

Voir la solution

D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac25=\dfrac{AN}{4}=\dfrac{MN}{6}$ .

Donc $AN=\dfrac{2\times4}{5}=\dfrac85$ et $MN=\dfrac{2\times6}{5}=\dfrac{12}5$ .

2. Réciproque du théorème de Thalès

Théorème 2 : Réciproque

On considère un triangle $ABC$ , un point $M$ de la droite $(AB)$ et un point $N$ de la droite $(AC)$ , tels que les points $A$ , $M$ , $B$ soient dans le même ordre que les points $A$ , $N$ , $C$ . Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},$ alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Attention

La condition sur l’ordre des points est indispensable : si $M\in[AB]$ et si $N$ est sur la demi-droite opposée à $[AC)$ , l’égalité des rapports ne suffit pas.

Exemple 4

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=9$ et $AC=6$ , un point $E$ de $[AB]$ tel que $AE=3$ et un point $F$ de $[AC]$ tel que $AF=2$ . Montrer que $(EF)\parallel(BC)$ .

Voir la solution

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac39=\dfrac13$ et $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac26=\dfrac13$ . Les rapports sont égaux, et les points $A$ , $E$ , $B$ sont dans le même ordre que $A$ , $F$ , $C$ ( $E\in[AB]$ et $F\in[AC]$ ). D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(EF)\parallel(BC)$ .

3. Traduction vectorielle

Propriété 3 : Thalès vectoriel

On considère un triangle $ABC$ et un réel $k$ . On considère le point $M$ défini par $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et le projeté $N$ de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ . Alors $\overrightarrow{AN}=k\,\overrightarrow{AC}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{MN}=k\,\overrightarrow{BC}.$ Réciproquement, si $M$ et $N$ vérifient $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ , avec $k\neq0$ , alors $(MN)\parallel(BC)$ .

Voir la solution

Démonstration. La projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ envoie $A$ sur $A$ , $B$ sur $C$ et $M$ sur $N$ ; la propriété 2 donne $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ . Ensuite : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}=k\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=k\overrightarrow{BC}.$ Pour la réciproque, le même calcul donne $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$ , donc $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires et $(MN)\parallel(BC)$ .

Remarque

La version vectorielle contient l’information sur l’ordre des points : le signe de $k$ indique si $M$ est du même côté que $B$ par rapport à $A$ ( $k>0$ ) ou du côté opposé ( $k<0$ ). C’est pourquoi elle s’applique sans précaution supplémentaire.

Application 3

On considère un parallélogramme $ABCD$ , le point $E$ défini par $\overrightarrow{AE}=\tfrac25\overrightarrow{AC}$ , et le projeté $F$ de $E$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ .

Montrer que $\overrightarrow{AF}=\tfrac25\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{FE}=\tfrac25\overrightarrow{AD}$ .
On donne $AB=5$ et $AD=3$ . Calculer $AF$ et $FE$ .

Voir la solution

On applique la propriété 3 dans le triangle $ACB$ : projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ , qui envoie $C$ sur $B$ et $E$ sur $F$ . De $\overrightarrow{AE}=\tfrac25\overrightarrow{AC}$ on déduit $\overrightarrow{AF}=\tfrac25\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{FE}=\tfrac25\overrightarrow{BC}.$ Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ , donc $\overrightarrow{FE}=\tfrac25\overrightarrow{AD}$ .
$AF=\tfrac25\times5=2$ et $FE=\tfrac25\times3=\tfrac65$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

Projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ : intersection de $(D)$ et de la parallèle à $(\Delta)$ passant par $M$ .
La projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : $\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{AB}\Longrightarrow\overrightarrow{C'E'}=k\overrightarrow{A'B'}$ .
Thalès : $(MN)\parallel(BC)\Longrightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ ; réciproque avec l’ordre des points.
Thalès vectoriel : $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ et $N$ projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ $\Longrightarrow\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Projection et coefficient de colinéarité Facile ★☆☆☆☆

On considère un triangle $ABC$ et le point $M$ défini par $\overrightarrow{AM}=\tfrac34\overrightarrow{AB}$ . On note $M'$ le projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ .

Montrer que $\overrightarrow{AM'}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$ .
En déduire que $\overrightarrow{MM'}=\tfrac34\overrightarrow{BC}$ .

Voir la solution

1) On utilise la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A$ a pour projeté $A$ (car $A\in(AC)$ ), $B$ a pour projeté $C$ (la droite $(BC)$ coupe $(AC)$ en $C$ ), et $M$ a pour projeté $M'$ .

Comme $\overrightarrow{AM}=\tfrac34\overrightarrow{AB}$ , la conservation du coefficient de colinéarité donne $\overrightarrow{AM'}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$ .

2) $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM'}=-\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AC}=\tfrac34\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac34\overrightarrow{BC}$ .

Exercice 2 — Projections successives Facile ★★☆☆☆

On considère un triangle $ABC$ et le point $M$ défini par $\overrightarrow{BM}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ . On note $P$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ , et $Q$ le projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ .

Faire une figure.
Exprimer $\overrightarrow{AP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , et $\overrightarrow{AQ}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ .
Montrer que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$ .

Voir la solution

1) Figure :

2) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ : $B\mapsto B$ , $C\mapsto A$ , $M\mapsto P$ . De $\overrightarrow{BM}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ on tire $\overrightarrow{BP}=\tfrac13\overrightarrow{BA}$ , donc $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}-\tfrac13\overrightarrow{AB}=\tfrac23\overrightarrow{AB}.$ Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ : $B\mapsto A$ , $C\mapsto C$ , $M\mapsto Q$ . Donc $\overrightarrow{AQ}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ .

3) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\tfrac13\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\tfrac23\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$ .

(Le quadrilatère $APMQ$ est donc un parallélogramme.)

Exercice 3 — Projection et parallélisme Facile ★★☆☆☆

On considère un triangle $ABC$ et les points $E$ et $F$ définis par $\overrightarrow{AE}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{AF}=\tfrac23\overrightarrow{AC}.$ On note $I$ le projeté de $F$ sur $(AB)$ parallèlement à $(EC)$ , et $J$ le projeté de $E$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BF)$ .

Faire une figure.
Exprimer $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AE}$ .
Exprimer $\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AF}$ .
Montrer que $\overrightarrow{AI}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AJ}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ .
En déduire que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Voir la solution

1) Figure :

2) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(EC)$ : $A\mapsto A$ , $C\mapsto E$ , $F\mapsto I$ . De $\overrightarrow{AF}=\tfrac23\overrightarrow{AC}$ on tire $\overrightarrow{AI}=\tfrac23\overrightarrow{AE}$ .

3) Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BF)$ : $A\mapsto A$ , $B\mapsto F$ , $E\mapsto J$ . De $\overrightarrow{AE}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$ on tire $\overrightarrow{AJ}=\tfrac12\overrightarrow{AF}$ .

4) $\overrightarrow{AI}=\tfrac23\times\tfrac12\overrightarrow{AB}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\tfrac12\times\tfrac23\overrightarrow{AC}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ .

5) $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\tfrac13\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AC}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ : les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires, donc $(IJ)\parallel(BC)$ .

Exercice 4 — Rectangle et projections Moyen ★★★☆☆

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=6$ et $AD=4$ , et le point $M$ défini par $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ . On note $N$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ , et $E$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(DC)$ .

Faire une figure.
On note $C'$ le projeté de $C$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ . Montrer que $\overrightarrow{AC'}=2\overrightarrow{AB}$ .
En déduire que $\overrightarrow{AN}=\tfrac23\overrightarrow{AB}$ , puis calculer $AN$ .
Calculer la distance $ME$ .

Voir la solution

1) Figure :

2) La parallèle à $(BD)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $C'$ ; alors $(CC')\parallel(DB)$ et $(DC)\parallel(BC')$ , donc $DBC'C$ est un parallélogramme et $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ . D’où $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=2\overrightarrow{AB}.$

3) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ : $A\mapsto A$ , $C\mapsto C'$ , $M\mapsto N$ . De $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ on tire $\overrightarrow{AN}=\tfrac13\overrightarrow{AC'}=\tfrac23\overrightarrow{AB},\qquad AN=\tfrac23\times6=4.$

4) $(ME)\perp(DC)$ et $(AD)\perp(DC)$ , donc $(ME)\parallel(AD)$ . Dans le triangle $CAD$ , avec $M\in(CA)$ et $E\in(CD)$ , le théorème de Thalès donne $\dfrac{ME}{AD}=\dfrac{CM}{CA}$ .

Or $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ , donc $CM=\tfrac23CA$ . Ainsi $ME=\tfrac23\times4=\tfrac83$ .

Exercice 5 — Parallélogramme inscrit Moyen ★★★☆☆

On considère un parallélogramme $ABCD$ et le point $M$ défini par $\overrightarrow{AM}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ . On note $N$ le projeté de $M$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ , et $P$ le projeté de $N$ sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$ .

Faire une figure.
Montrer que $\overrightarrow{BN}=\tfrac34\overrightarrow{BC}$ .
Montrer que $\overrightarrow{CP}=\tfrac14\overrightarrow{CD}$ .
On considère le point $Q$ défini par $\overrightarrow{AQ}=\tfrac14\overrightarrow{AD}$ . Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

Voir la solution

1) Figure :

2) Projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ : $A\mapsto C$ , $B\mapsto B$ , $M\mapsto N$ . Or $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}-\tfrac14\overrightarrow{BA}=\tfrac34\overrightarrow{BA}$ , donc $\overrightarrow{BN}=\tfrac34\overrightarrow{BC}$ .

3) $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CB}-\tfrac34\overrightarrow{CB}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$ .

Projection sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$ : $C\mapsto C$ , $B\mapsto D$ , $N\mapsto P$ . Donc $\overrightarrow{CP}=\tfrac14\overrightarrow{CD}$ .

4) On exprime tout en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ , avec $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AD}.$ $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}=\tfrac34\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\tfrac14\overrightarrow{AB}=\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AD}.$ Donc $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ : $MNPQ$ est un parallélogramme.

Exercice 6 — Thalès et rapports Difficile ★★★★☆

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=6$ et $AC=4$ , et un point $M$ du segment $[BC]$ , distinct de $B$ et de $C$ . On note $N$ le projeté de $M$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ , $P$ le projeté de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ , et on pose $t=\dfrac{BM}{BC}$ .

Faire une figure.
Montrer que $\dfrac{BN}{BA}=t$ .
Montrer que $\dfrac{CP}{CA}=1-t$ .
En déduire que $AN=6(1-t)$ et $AP=4t$ .
Déterminer $t$ pour que le parallélogramme $ANMP$ soit un losange.

Voir la solution

1) Figure :

2) $(MN)\parallel(AC)$ , avec $N\in(BA)$ et $M\in(BC)$ : d’après le théorème de Thalès dans le triangle $BAC$ , $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}=t$ .

3) $(MP)\parallel(AB)$ , avec $P\in(CA)$ et $M\in(CB)$ : d’après le théorème de Thalès dans le triangle $CAB$ , $\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{CM}{CB}$ . Comme $M\in[BC]$ , $CM=CB-BM$ , donc $\dfrac{CM}{CB}=1-t$ .

4) $N\in[AB]$ et $P\in[AC]$ (car $M\in[BC]$ ). Donc : $AN=AB-BN=6-6t=6(1-t)\qquad\text{et}\qquad AP=AC-CP=4-4(1-t)=4t.$

5) $(AN)\parallel(MP)$ et $(AP)\parallel(NM)$ , donc $ANMP$ est un parallélogramme. C’est un losange lorsque deux côtés consécutifs sont égaux : $AN=AP$ , soit $6-6t=4t$ , d’où $t=\tfrac35$ .

Le parallélogramme $ANMP$ est un losange lorsque $BM=\tfrac35BC$ .

Exercice 7 — Réciproque de Thalès Moyen ★★★☆☆

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=6$ , $AC=9$ et $BC=8$ , le point $E$ du segment $[AB]$ tel que $AE=2$ et le point $F$ du segment $[AC]$ tel que $AF=3$ .

Faire une figure.
a) Comparer les rapports $\dfrac{AE}{AB}$ et $\dfrac{AF}{AC}$ . b) En déduire que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Calculer la longueur $EF$ .

Voir la solution

1) On trace le triangle, puis $E$ sur $[AB]$ à $2$ de $A$ , et $F$ sur $[AC]$ à $3$ de $A$ .

2) a) $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac26=\dfrac13$ et $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac39=\dfrac13$ : les deux rapports sont égaux.

b) Les points $A$ , $E$ , $B$ sont dans le même ordre que $A$ , $F$ , $C$ ( $E\in[AB]$ , $F\in[AC]$ ), et les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(EF)\parallel(BC)$ .

3) D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac13$ , donc $EF=\dfrac83$ .

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