Plan du chapitre. Introduction — 1. Ensemble de définition — 2. Fonctions paires, fonctions impaires — 3. Variations d’une fonction — 4. Fonctions majorées, minorées, bornées ; extremums — 5. Fonctions polynômes du second degré — 6. Fonctions homographiques — 7. Résolution graphique et algébrique d’équations et d’inéquations — 8. Fonctions x↦x+a, x↦ax3, f+c, cf — 9. Image d’un intervalle — 10. Composée de deux fonctions — 11. Fonctions périodiques — 12. Fonction partie entière — Résumé.
Cadre. Ce chapitre prolonge le tronc commun ; il n’utilise ni dérivées ni limites : les variations s’étudient avec la définition ou le taux de variation, et les tableaux de variations ne portent aucune valeur aux bornes infinies. Les résultats du chapitre 03 (images, composition, bijection) sont réinvestis.
Introduction
Une fonction numériquef associe à chaque réel x de son ensemble de définition Df un unique réel noté f(x), appelé image de x ; on note f:x↦f(x). Tout réel x tel que f(x)=b est un antécédent de b : pour trouver les antécédents de b, on résout l’équation f(x)=b. Une fonction numérique est donc une application de Df vers R (chapitre 03).
I. Généralités sur les fonctions numériques
1. Ensemble de définition d’une fonction numérique
Définition 1 : Ensemble de définition
L’ensemble de définition (ou domaine) de f, noté Df, est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe dans R.
Remarque
En pratique : tout dénominateur doit être non nul, toute expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.
On dit que f est définie sur I lorsque I⊂Df.
Propriété
Soient P et Q deux fonctions polynômes.
Fonction
Ensemble de définition
f polynôme
Df=R
f(x)=Q(x)P(x)
Df={x∈R/Q(x)=0}
f(x)=P(x)
Df={x∈R/P(x)≥0}
f(x)=Q(x)P(x)
Df={x∈R/Q(x)>0}
Exemple 1
Déterminer Df dans chacun des cas suivants :
f1(x)=x+3 ; f2(x)=x+31 ; f3(x)=x+31 ; f4(x)=x2+x−6x−4 ; f5(x)=x2+x−6 ; f6(x)=x−2x+3 ; f7(x)=x2+5 ; f8(x)=x2+42x+1 ; f9(x)=5−2x ; f10(x)=x−2x+1.
Voir la solution
Df1=[−3;+∞[ ; Df2=R∖{−3} ; Df3=]−3;+∞[. Comme x2+x−6=(x+3)(x−2) : Df4=R∖{−3;2} et Df5=]−∞;−3]∪[2;+∞[ (le trinôme est positif à l’extérieur des racines). Df6={x/x≥−3 et x=2}=[−3;2[∪]2;+∞[. x2+5>0 et x2+4>0 : Df7=Df8=R. 5−2x≥0⟺x≤25 : Df9=]−∞;25]. Enfin x−2x+1≥0 avec x=2 : tableau de signes, Df10=]−∞;−1]∪]2;+∞[.
Remarque — égalité de deux fonctions
Deux fonctions f et g sont égales (f=g) si Df=Dg et f(x)=g(x) pour tout x∈Df. Par exemple x↦x−1x2−1 et x↦x+1 ne sont pas égales (domaines R∖{1} et R).
Remarque — courbe représentative
Dans un repère (O;;), la courbe(Cf) est l’ensemble des points M(x;f(x)) avec x∈Df : M(x;y)∈(Cf)⟺(x∈Df et y=f(x)).
Les points d’intersection de (Cf) avec l’axe des abscisses sont les points M(x;0) tels que f(x)=0 ; si 0∈Df, (Cf) coupe l’axe des ordonnées en B(0;f(0)).
2. Fonctions paires et fonctions impaires
Définition 2 : Partie symétrique par rapport à 0
Une partie D de R est symétrique par rapport à zéro si : (∀x∈D)−x∈D.
Exemple 2
Parmi les parties suivantes, lesquelles sont symétriques par rapport à zéro ?
[−3;3] ; [−3;2] ; [−4;−1]∪[1;4] ; ]1;5[ ; R ; {−3;4;6;3;−6;−4;0} ; R∖{3} ; R∖{−3;3} ; R∗ ; [−4;−1]∪[1;3] ; ]−2;2[ ; ]−∞;0] ; {−3;4;6;3;−6;0}.
Voir la solution
Symétriques : [−3;3], [−4;−1]∪[1;4], R, {−3;4;6;3;−6;−4;0}, R∖{−3;3}, R∗, ]−2;2[.
Non symétriques (contre-exemple) : [−3;2] (−3 y est, pas 3) ; ]1;5[ (2 y est, pas −2) ; R∖{3} (−3 y est, pas 3) ; [−4;−1]∪[1;3] (−4 y est, pas 4) ; ]−∞;0] (−1 y est, pas 1) ; {−3;4;6;3;−6;0} (4 y est, pas −4).
Définition 3 : Parité
Soit f une fonction d’ensemble de définition Df.
f est paire si Df est symétrique par rapport à zéro et si (∀x∈Df)f(−x)=f(x).
f est impaire si Df est symétrique par rapport à zéro et si (∀x∈Df)f(−x)=−f(x).
Exemple 3
Étudier la parité de : f1(x)=3x2−2 ; f2(x)=x−x2 ; f3(x)=∣x∣−2 ; f4(x)=x3−x+2 ; f5(x)=x+1.
Voir la solution
Df1=R symétrique et f1(−x)=3x2−2=f1(x) : f1 est paire.
Df2=R∗ symétrique et f2(−x)=−x+x2=−f2(x) : f2 est impaire.
Df3=R et ∣−x∣=∣x∣ : f3 est paire.
Df4=R ; f4(2)=8 et f4(−2)=−4 : f4(−2)=f4(2) et f4(−2)=−f4(2), donc f4 n’est ni paire ni impaire (remarque : x=1 ne suffit pas, car f4(−1)=f4(1)=2).
Df5=[−1;+∞[ n’est pas symétrique (2∈Df5, −2∈/Df5) : f5 n’est ni paire ni impaire.
Remarque
cos est paire ; sin et tan sont impaires.
Dans un repère orthogonal, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
3. Variations d’une fonction numérique
Définition 4 : Sens de variation
Soient f une fonction et I un intervalle inclus dans Df. Pour tous x,y∈I :
f est croissante sur I si x<y⟹f(x)≤f(y) ; strictement croissante si x<y⟹f(x)<f(y) ;
f est décroissante sur I si x<y⟹f(x)≥f(y) ; strictement décroissante si x<y⟹f(x)>f(y) ;
f est constante sur I si f(x)=f(y).
Remarque
f est monotone (resp. strictement monotone) sur I si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement) sur I.
On résume les variations dans un tableau de variations : une flèche montante indique que f est croissante, une flèche descendante qu’elle est décroissante.
Définition 5 : Taux de variation
Pour deux réels distincts x et y de Df, le taux de variation de f entre x et y est T(x;y)=x−yf(x)−f(y).
Propriété
Soit f définie sur un intervalle I. Si, pour tous x=y de I : T(x;y)≥0 (resp. >0, ≤0, <0, =0), alors f est croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante, constante) sur I.
Propriété — variations et parité
Soit f une fonction dont le domaine est symétrique par rapport à 0, I⊂R+ un intervalle inclus dans Df et J={−x/x∈I} son symétrique.
Si f est paire : f croissante sur I⟺f décroissante sur J (et inversement).
Si f est impaire : f a le même sens de variation sur I et sur J.
Exemple 4
Soit f(x)=x+x9.
Déterminer Df.
Vérifier que f est impaire.
Montrer que, pour tous x=y de Df : x−yf(x)−f(y)=1−xy9.
Étudier les variations de f sur [3;+∞[ et sur ]0;3].
En déduire les variations de f sur ]−∞;−3] et sur [−3;0[.
Dresser le tableau de variations de f.
Voir la solution
Df=R∗.
R∗ est symétrique et f(−x)=−x−x9=−f(x) : f est impaire.
f(x)−f(y)=(x−y)+9xyy−x=(x−y)(1−xy9) ; on divise par x−y=0.
Si x,y≥3 distincts, xy>9, donc T>0 : f est strictement croissante sur [3;+∞[. Si x,y∈]0;3] distincts, 0<xy<9, donc xy9>1 et T<0 : f est strictement décroissante sur ]0;3].
f étant impaire, elle est strictement croissante sur ]−∞;−3] et strictement décroissante sur [−3;0[.
f(3)=6 et f(−3)=−6 :
Remarque
Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d’étudier ses variations sur DE=Df∩R+, appelé domaine d’étude, puis de conclure par symétrie.
a. Montrer que (∀x∈]−∞;0[)f(x)≤−4 (on dit que f est majorée par −4 sur ]−∞;0[).
b. En déduire que f est majorée par −3 sur ]−∞;0[.
a. Montrer que (∀x∈R)g(x)≥−3, puis que (∀x∈R)g(x)≥−5.
b. Résoudre dans R les équations g(x)=−3 et g(x)=−5.
c. En déduire que −3 est la valeur minimale de g sur R.
Voir la solution
a. Pour x<0 : f(x)+4=xx2+4x+4=x(x+2)2≤0 (numérateur positif, dénominateur négatif). b. f(x)≤−4≤−3.
a. g(x)=(x−2)2−3≥−3≥−5. b. g(x)=−3⟺(x−2)2=0⟺x=2 ; g(x)=−5⟺(x−2)2=−2 : pas de solution. c. g(x)≥−3 pour tout x et g(2)=−3 : −3 est la valeur minimale de g ; −5 est un minorant qui n’est pas atteint.
Définition 6 : Fonction majorée, minorée, bornée
Soit f définie sur un intervalle I.
f est majorée sur I s’il existe un réel M tel que (∀x∈I)f(x)≤M ;
f est minorée sur I s’il existe un réel m tel que (∀x∈I)f(x)≥m ;
f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I.
Exemple 5
Soient f(x)=2−3−x et g(x)=x2+9.
Déterminer Df et Dg.
Montrer que f est majorée par 2 sur Df.
Montrer que g est minorée par 3 sur Dg.
Voir la solution
Df=]−∞;3] ; Dg=R (car x2+9>0).
3−x≥0, donc f(x)≤2 pour tout x∈Df.
x2+9≥9 et la racine carrée est croissante sur R+ : g(x)≥9=3.
Remarque
f est bornée sur I⟺(∃m,M∈R)(∀x∈I)m≤f(x)≤M⟺(∃K∈R+)(∀x∈I)∣f(x)∣≤K.
Si f est majorée par M sur I, (Cf) est au-dessous de la droite y=M sur I ; si f est minorée par m, (Cf) est au-dessus de la droite y=m.
Définition 7 : Extremums
Soient f définie sur un intervalle I et a∈I.
f(a) est la valeur maximale (le maximum) de f sur I si (∀x∈I)f(x)≤f(a) ;
f(a) est la valeur minimale (le minimum) de f sur I si (∀x∈I)f(x)≥f(a) ;
un extremum est un maximum ou un minimum.
Propriété
M est le maximum de f sur I⟺[(∀x∈I)f(x)≤M]et l’équation f(x)=M a au moins une solution dans I.
m est le minimum de f sur I⟺[(∀x∈I)f(x)≥m]et l’équation f(x)=m a au moins une solution dans I.
Remarque
Lecture d’un tableau de variations sur I=[a;b] (à gauche : f(c) est le minimum ; à droite : f(c) est le maximum) :
Un extremum sur tout Df est dit global ; un extremum atteint en c est local s’il ne l’est que pour les x de Df assez proches de c.
f est positive sur I (f≥0) si (∀x∈I)f(x)≥0 ; négative si (∀x∈I)f(x)≤0.
II. Fonctions usuelles et résolution graphique
1. Fonctions polynômes du second degré
Activité 2
Soit f(x)=−x2+4x−3.
Déterminer Df.
Montrer que f n’est ni paire ni impaire.
Dresser le tableau de variations de f ; en déduire un extremum et préciser sa valeur.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Cf).
Tracer (Cf) dans un repère orthonormé.
Voir la solution
Df=R (polynôme).
f(1)=0 et f(−1)=−8 : f(−1)=f(1) et f(−1)=−f(1).
Pour x=y : T=x−y−(x2−y2)+4(x−y)=−(x+y)+4. Si x,y≤2 distincts, x+y<4 et T>0 ; si x,y≥2 distincts, T<0. Ainsi f est strictement croissante sur ]−∞;2] et strictement décroissante sur [2;+∞[ ; f(2)=1 est le maximum de f sur R (en effet f(x)=1−(x−2)2≤1).
f(x)=−(x−2)2+1 : (Cf) est la parabole de sommet Ω(2;1), d’axe de symétrie la droite x=2, tournée vers le bas (a=−1<0). Elle coupe (Ox) en (1;0) et (3;0), et (Oy) en (0;−3).
Voir la figure.
Propriété
Soient a,b,c∈R avec a=0, α=−2ab et β=f(α). Dans un repère, la courbe de f:x↦ax2+bx+c est une parabole de sommet Ω(α;β) et d’axe la droite x=α, car f(x)=a(x−α)2+β.
Si a>0 : f est décroissante sur ]−∞;α], croissante sur [α;+∞[ ; β est le minimum de f sur R.
Si a<0 : f est croissante sur ]−∞;α], décroissante sur [α;+∞[ ; β est le maximum de f sur R.
Remarque
(Cf) est symétrique par rapport à la droite (Δ):x=α : il suffit de la tracer pour x∈[α;+∞[, puis de compléter par la symétrie d’axe (Δ).
2. Fonctions homographiques
Activité 3
Soit g(x)=x+13x−3.
Déterminer Dg.
Dresser le tableau de variations de g.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Cg).
Tracer (Cg) dans un repère orthonormé.
Voir la solution
Dg=R∖{−1}.
g(x)=3−x+16. Pour x=y dans Dg : T=(x+1)(y+1)6. Si x,y sont dans le même intervalle ]−∞;−1[ ou ]−1;+∞[, (x+1)(y+1)>0 et T>0 : g est strictement croissante sur chacun de ces intervalles.
(Cg) est l’hyperbole de centre Ω(−1;3), associée aux droites d’équations x=−1 et y=3 ; Ω est un centre de symétrie de (Cg). Elle passe par (1;0) et (0;−3).
Voir la figure.
Propriété
Soient a,b,c,d∈R avec c=0 et Δ=ad−bc=0. La fonction f:x↦cx+dax+b est dite homographique ; Df=R∖{−cd} et, pour x∈Df, f(x)=ca−c2(x+cd)Δ. Sa courbe est l’hyperbole de centre Ω(−cd;ca), associée aux droites d’équations x=−cd et y=ca.
Si Δ>0 : f est strictement croissante sur ]−∞;−cd[ et sur ]−cd;+∞[.
Si Δ<0 : f est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.
Remarque
(Cf) est symétrique par rapport à son centre Ω(−cd;ca). Attention : f n’est pas monotone sur Df tout entier (ce n’est pas un intervalle).
3. Équations et inéquations : résolution graphique et algébrique
Activité 4
Les fonctions f et g définies sur R sont représentées ci-dessous.
f(x)<3 : S=]0;4[ ; g(x)≥2 : S=[3;+∞[ ; f(x)>g(x) : (Cf) strictement au-dessus de (Cg), S=]−∞;1[∪]4;+∞[.
(Ici f(x)=x2−4x+3 et g(x)=x−1 : on peut contrôler par le calcul.)
Propriété
Soient f, g représentées par (Cf), (Cg) dans un même repère, et m∈R.
Les solutions de f(x)=m sont les abscisses des points d’intersection de (Cf) et de la droite y=m.
Les solutions de f(x)≥m (resp. ≤m) sont les abscisses des points de (Cf) situés sur ou au-dessus (resp. au-dessous) de la droite y=m.
Les solutions de f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de (Cf) et (Cg).
Les solutions de f(x)≥g(x) (resp. ≤) sont les x∈Df∩Dg pour lesquels (Cf) est au-dessus (resp. au-dessous) de (Cg), points d’intersection compris.
Exemple 6
Avec la fonction f(x)=−x2+4x−3 de l’activité 2 :
a. Résoudre graphiquement puis algébriquement f(x)=−3 et f(x)=0.
b. Résoudre graphiquement puis algébriquement f(x)≤−3 et f(x)>0.
a. Représenter (Cf) et (Cg) dans un même repère, g étant la fonction de l’activité 3.
b. Résoudre graphiquement f(x)=g(x) et f(x)≥g(x).
Montrer que (∀x∈R∖{−1})f(x)−g(x)=x+1−x(x−1)(x−2).
Résoudre algébriquement f(x)=g(x) et f(x)≥g(x).
Voir la solution
a. Graphiquement (figure de l’activité 2), la droite y=−3 coupe (Cf) aux abscisses 0 et 4. Algébriquement : −x2+4x−3=−3⟺x(4−x)=0⟺x∈{0;4}. De même f(x)=0⟺−(x−1)(x−3)=0⟺x∈{1;3}.
b. f(x)≤−3⟺x(4−x)≤0⟺x∈]−∞;0]∪[4;+∞[ ; f(x)>0⟺(x−1)(x−3)<0⟺x∈]1;3[.
a. Voir la figure. b. Les courbes se coupent aux points d’abscisses 0, 1 et 2 ; (Cf) est au-dessus de (Cg) pour x∈]−1;0]∪[1;2].
f(x)=g(x)⟺x(x−1)(x−2)=0 (avec x=−1) : S={0;1;2}. Tableau de signes de x+1−x(x−1)(x−2) (racines −1, 0, 1, 2) : f(x)≥g(x)⟺x∈]−1;0]∪[1;2], conforme à la lecture graphique.
4. Fonctions x↦x+a, x↦ax3, x↦f(x)+c, x↦cf(x)
Activité 5
Soient f(x)=x+4 et g(x)=3x3.
Déterminer Df et Dg.
a. Montrer que le taux de variation de f entre deux réels distincts x, y de Df est T1=x+4+y+41.
b. En déduire que f est strictement croissante sur Df.
a. Montrer que le taux de variation de g entre x=y est T2=3[(x+2y)2+43y2].
b. En déduire que g est strictement croissante sur R.
Soient h(x)=f(x)−2 et k(x)=−31g(x).
a. Montrer que le taux de variation de h est T3=T1.
b. Montrer que le taux de variation de k est T4=−31T2.
c. En déduire les variations de h et k.
Voir la solution
Df=[−4;+∞[, Dg=R.
a. x−yx+4−y+4=(x−y)(x+4+y+4)(x+4)−(y+4)=T1 (le dénominateur x+4+y+4 est non nul car x=y). b. T1>0.
a. x−y3x3−3y3=3(x2+xy+y2)=3[(x+2y)2+43y2]. b. Ce nombre est >0 : il serait nul seulement si y=0 et x=0, ce qui contredit x=y.
a. x−y(f(x)−2)−(f(y)−2)=T1. b. x−y−31g(x)+31g(y)=−31T2. c. h est strictement croissante sur [−4;+∞[ ; k est strictement décroissante sur R.
Propriété
Fonction x↦x+a (a∈R) : Df=[−a;+∞[ et f est strictement croissante sur Df, de minimum f(−a)=0. Sa courbe est l’image de celle de x↦x par la translation de vecteur −a.
Fonction x↦ax3 (a=0) : Df=R, f est impaire ; elle est strictement croissante sur R si a>0, strictement décroissante si a<0.
Exemple 7
Soient f(x)=x+5 et g(x)=−2x3.
Étudier les variations de f et de g.
Construire (Cf) et (Cg) dans un repère orthonormé.
Résoudre graphiquement l’inéquation x+5+2x3<0 sur [−5;+∞[.
Voir la solution
f est strictement croissante sur [−5;+∞[ (cas a=5) ; g est strictement décroissante sur R (cas a=−2<0).
Voir la figure : les courbes se coupent en A(−1;2) (f(−1)=4=2 et g(−1)=2).
x+5+2x3<0⟺f(x)<g(x) : (Cf) est strictement au-dessous de (Cg) à gauche de A. Comme f croît et g décroît, A est le seul point commun, et S=[−5;−1[.
Remarque — fonctions f+c et cf
Soient f une fonction et c un réel.
h:x↦f(x)+c : Dh=Df et h a le même sens de variation que f sur tout intervalle où f est monotone ; (Ch) est l’image de (Cf) par la translation de vecteur c.
k:x↦cf(x) : Dk=Df ; si c>0, k et f ont le même sens de variation ; si c<0, des sens contraires ; si c=0, k est nulle.
Exemple 8
À l’aide des tableaux de variations de f(x)=−x2+4x−3 et g(x)=x+13x−3 (activités 2 et 3), dresser les tableaux de variations de h(x)=f(x)+2 et k(x)=x+1−6x+6.
Voir la solution
h=f+2 a les variations de f, avec h(2)=3. Et k(x)=−2g(x) avec −2<0 : k est strictement décroissante sur ]−∞;−1[ et sur ]−1;+∞[.
III. Image d’un intervalle et composée de fonctions
1. Image d’un intervalle par une fonction
Définition 8 : Image d’un intervalle
Soit f définie sur un intervalle I. L’image de I par f est l’ensemble des valeurs prises par f(x) lorsque x parcourt I : f(I)={f(x)/x∈I} (image directe, chapitre 03).
Propriété (admise)
Pour les fonctions étudiées dans ce chapitre (polynômes, fonctions homographiques, fonctions racines et leurs composées), si f admet sur un intervalle fermé borné I un minimum m et un maximum M, alors f(I)=[m;M]. En particulier, si f est croissante sur [a;b], f([a;b])=[f(a);f(b)] ; si elle est décroissante, f([a;b])=[f(b);f(a)].
Exemple 9
La figure représente une fonction f définie sur [−3;3]. Déterminer f([−1;1]), f([1;3]), f([−3;−1]) et f(]−1;2[).
Voir la solution
f([−1;1])=[−1;3] ; f([1;3])=[−1;2] ; f([−3;−1])=[1;3] ; f(]−1;2[)=[−1;3[ (la valeur −1 est atteinte en 1, la valeur 3 n’est atteinte qu’en −1, exclu).
Remarque
On détermine f(I) à partir de la courbe, du tableau de variations ou par une méthode algébrique.
Méthode algébrique : f(I)=J⟺[(∀x∈I)f(x)∈J] et [tout élément de J a au moins un antécédent dans I].
Exemple 10
On reprend f(x)=−x2+4x−3 (activité 2). Déterminer par deux méthodes f(I) pour I=[0;1], I=[−1;4], I=[3;+∞[ et I=R.
Déterminer par deux méthodes l’image de I=[1;+∞[ par la fonction g de l’activité 3.
Voir la solution
Par le tableau.f croît sur ]−∞;2] et décroît sur [2;+∞[, f(0)=−3, f(1)=0, f(−1)=−8, f(2)=1, f(3)=0, f(4)=−3. Donc f([0;1])=[−3;0] ; sur [−1;4] le minimum est −8 et le maximum 1 : f([−1;4])=[−8;1] ; f([3;+∞[)=]−∞;0] ; f(R)=]−∞;1].
Algébriquement.f(x)=y⟺(x−2)2=1−y. Pour y≤1, les solutions sont 2±1−y. Par exemple pour I=[3;+∞[ : si x≥3, (x−2)2≥1 donc f(x)≤0 ; réciproquement, pour y≤0, x=2+1−y≥3 convient. De même pour [0;1] : x∈[0;1]⟺x−2∈[−2;−1]⟺(x−2)2∈[1;4] (sur R− le carré est décroissant), d’où f(x)∈[−3;0], chaque valeur étant atteinte par x=2−1−y.
Par le tableau :g croît sur [1;+∞[, g(1)=0, et g(x)=3−x+16<3 : g([1;+∞[)=[0;3[. Algébriquement : pour y=3, g(x)=y⟺x=3−yy+3, et 3−yy+3≥1⟺3−y2y≥0⟺0≤y<3. Donc g([1;+∞[)=[0;3[.
Exemple 11
Une fonction f définie sur [−2;3], strictement monotone sur chaque intervalle du tableau, a le tableau de variations suivant :
Déterminer les extremums de f sur [−2;3].
Comparer f(21) et f(1).
Déterminer f([−2;0]), f([−2;2]) et f([0;3]).
Prolonger la restriction de f à [0;3] en une fonction paire h sur [−3;3] et dresser le tableau de variations de h.
Voir la solution
Maximum 3 (atteint en 2), minimum −4 (atteint en 0).
0<21<1≤2 et f est strictement croissante sur [0;2] : f(21)<f(1).
Df=R∗, Dg=R∖{21}. x∈Dg∘f⟺x=0 et x1=21⟺x∈/{0;2} : Dg∘f=R∖{0;2}.
Pour x∈Dg∘f : (g∘f)(x)=x2−1x1+2=2−x1+2x.
Propriété — variations d’une composée
Soient f monotone sur un intervalle I et g monotone sur un intervalle J contenant f(I).
Si f et g ont le même sens de variation (sur I et J), g∘f est croissante sur I.
Si elles ont des sens contraires, g∘f est décroissante sur I.
Voir la solution
Preuve (cas f croissante, g décroissante). Soient x<y dans I : f(x)≤f(y), ces deux réels sont dans J et g y est décroissante, donc g(f(x))≥g(f(y)). Les autres cas sont analogues.
Exemple 14
Soient f(x)=−x2+4x−3 et g(x)=x+13x−3.
Déterminer (g∘f)(x) pour tout x∈Dg∘f.
À l’aide des tableaux de variations de f et g, déterminer les variations de g∘f sur I=[2;3].
Voir la solution
x∈Dg∘f⟺f(x)=−1⟺x2−4x+2=0⟺x∈/{2−2;2+2}. Alors (g∘f)(x)=f(x)+13f(x)−3=−x2+4x−2−3(x−2)2=x2−4x+23(x−2)2.
I=[2;3]⊂Dg∘f (car 2+2>3). f est décroissante sur [2;3] et f([2;3])=[f(3);f(2)]=[0;1]⊂]−1;+∞[, intervalle où g est croissante. Les sens sont contraires : g∘f est décroissante sur [2;3].
Exemple 15
Soient f(x)=x2+2x−2 et g(x)=x+3x−1.
Donner Df, Dg et Dg∘f.
Déterminer (g∘f)(x) pour tout x∈Dg∘f.
Dresser les tableaux de variations de f et de g.
Déterminer f(]−∞;−1]) et f([−1;+∞[).
Étudier les variations de g∘f sur ]−∞;−1[ et sur ]−1;+∞[.
Voir la solution
Df=R, Dg=R∖{−3}. f(x)=−3⟺(x+1)2=0⟺x=−1, donc Dg∘f=R∖{−1}.
(g∘f)(x)=x2+2x+1x2+2x−3=(x+1)2(x+3)(x−1).
f(x)=(x+1)2−3 : décroissante sur ]−∞;−1], croissante sur [−1;+∞[, minimum −3. g(x)=1−x+34 (Δ=1×3−(−1)×1=4>0) : croissante sur ]−∞;−3[ et sur ]−3;+∞[.
Pour y≥−3, f(x)=y⟺x=−1±y+3, et −1−y+3≤−1≤−1+y+3 : f(]−∞;−1])=f([−1;+∞[)=[−3;+∞[.
Sur ]−∞;−1[ : f est décroissante et f(]−∞;−1[)=]−3;+∞[, où g est croissante ; donc g∘f est décroissante. Sur ]−1;+∞[ : f croissante, f(]−1;+∞[)=]−3;+∞[, g croissante : g∘f est croissante.
IV. Fonctions périodiques et fonction partie entière
1. Fonctions périodiques
Activité 6
La figure représente une fonction f définie sur R.
Vérifier que f(−2)=f(1), f(0)=f(3) et f(1)=f(4).
Pour x∈R, quelle relation semble lier f(x+3) et f(x) ?
Voir la solution
Par lecture : f(−2)=f(1)=2, f(0)=f(3)=−1, f(1)=f(4)=2.
La courbe se reproduit identique tous les 3 unités : f(x+3)=f(x) pour tout x.
Définition 10 : Fonction périodique
Soient f définie sur D et T>0. f est périodique de période T (ou T-périodique) si :
pour tout x∈D : x+T∈D et x−T∈D ;
pour tout x∈D : f(x+T)=f(x).
Exemple 16 — fonctions trigonométriques
Montrer que cos et sin sont 2π-périodiques, et que tan est π-périodique sur D=R∖{2π+kπ/k∈Z}.
Voir la solution
cos et sin sont 2π-périodiques : pour tout x∈R, x±2π∈R, cos(x+2π)=cosx et sin(x+2π)=sinx.
tan est π-périodique : pour x∈D=R∖{2π+kπ/k∈Z}, x±π∈D et tan(x+π)=tanx.
Exemple 17
Montrer que f(x)=sin2x et g(x)=cos(2πx), définies sur R, sont périodiques de périodes respectives π et 4.
Si f est T-périodique : pour tout entier k≥1, kT est aussi une période ; (Cf) est invariante par toute translation de vecteur kT (k∈Z). Il suffit donc d’étudier f sur un intervalle de longueur T, souvent [0;T] ou [−2T;2T].
2. Fonction partie entière
Définition 11 : Partie entière
Pour x∈R, la partie entière de x, notée E(x) (ou [x]), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x :
E(x)≤x<E(x)+1etE(x)=m⟺{m∈Zm≤x<m+1.
Exemple 18
Calculer E(3), E(−π), E(7,2), E(−7,2) et E(−4).
Voir la solution
1≤3<2 : E(3)=1. −4≤−π<−3 : E(−π)=−4. E(7,2)=7. −8≤−7,2<−7 : E(−7,2)=−8 (et non −7). E(−4)=−4.
Exemple 19
Montrer que (∀x∈R)x−1<E(x)≤x.
Montrer que (∀x∈R)(∀n∈Z)E(x+n)=E(x)+n.
Montrer que (∀x∈R)(∃r∈[0;1[)x=E(x)+r.
Tracer la courbe de x↦E(x) sur [−3;3[.
Voir la solution
De E(x)≤x<E(x)+1 on tire E(x)≤x et x−1<E(x).
E(x)+n∈Z et E(x)+n≤x+n<E(x)+n+1 ; par caractérisation, E(x+n)=E(x)+n.
r=x−E(x) vérifie 0≤r<1 et x=E(x)+r.
Sur chaque [k;k+1[, E(x)=k : la courbe est un « escalier » (point plein à gauche, creux à droite).
(∀x∈R)(∀k∈Z)x∈[k;k+1[⟺E(x)=k ; la fonction E est constante sur chaque intervalle [k;k+1[, k∈Z.
Exemple 20
Résoudre dans R l’équation E(3x+2)=2x−1.
Voir la solution
Si x est solution, k=2x−1 est un entier et x=2k+1. L’équation devient E(32k+3)=k, soit k≤32k+3<k+1⟺3k≤2k+3<3k+3⟺0<k≤3. Donc k∈{1;2;3} et, réciproquement, ces valeurs conviennent : S={3;5;7}. (Contrôle : E(37)=2=25−1.)
Résumé : fonctions numériques
Notion
À retenir
Domaine
dénominateurs =0, radicandes ≥0
Parité
Df symétrique ; paire : f(−x)=f(x) ; impaire : f(−x)=−f(x)
Variations
T(x;y)=x−yf(x)−f(y) : signe de T⇒ sens de variation
Majorée / minorée
f≤M / f≥m sur I ; extremum : borne atteinte
ax2+bx+c
parabole de sommet (−2ab;f(−2ab))
cx+dax+b
hyperbole de centre (−cd;ca), sens donné par le signe de ad−bc
x+a ; ax3
croissante sur [−a;+∞[ ; impaire, sens de variation = signe de a
f+c ; cf
mêmes variations ; variations identiques (c>0) ou contraires (c<0)
Résolution graphique
f(x)=m : intersections avec y=m ; f(x)≥g(x) : (Cf) au-dessus de (Cg)
Composée
Dg∘f={x∈Df/f(x)∈Dg} ; même sens ⇒ croissante
Périodique
f(x+T)=f(x) et x±T∈D
Partie entière
E(x)=m⟺m∈Z et m≤x<m+1
Série d’exercices
Remarque — méthodes utilisées
Variations : on calcule le taux de variation T(x;y)=x−yf(x)−f(y) pour x=y dans l’intervalle et on étudie son signe ; ou bien on écrit f comme composée de fonctions de référence.
Extremum :M est le maximum de f sur I si f(x)≤M pour tout x∈IetM est atteint ; un majorant non atteint n’est pas un maximum.
Image d’un intervalle : lecture du tableau de variations (propriété admise du cours), confirmée si besoin par la résolution de f(x)=y.
Tous les calculs ont été contrôlés avec sympy (développements, factorisations, solutions d’équations, signes).
Consignes. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;;). Les variations s’étudient à l’aide de la définition ou du taux de variation (ni dérivées, ni limites) ; les tableaux de variations ne portent pas de valeurs aux bornes infinies. E désigne la fonction partie entière. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole ⟺ n’est employé que si chaque étape est réversible. Difficulté : de ★ à ★★★★★.
Exercice 1 — Ensemble de définition Facile★☆☆☆☆
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f dans chacun des cas suivants :
a. f(x)=3−x ; b. f(x)=∣x2−2∣−71 ; c. f(x)=2−∣x+1∣1 ; d. f(x)=x2−4+9−x21.
Voir la solution
a.f(x) existe ⟺3−x≥0⟺x≤3 : Df=]−∞;3].
b.f(x) existe ⟺∣x2−2∣=7. Or ∣x2−2∣=7⟺x2−2=7 ou x2−2=−7⟺x2=9 ou x2=−5 ; la seconde est impossible. Donc Df=R∖{−3;3}.
c.f(x) existe ⟺2−∣x+1∣>0⟺∣x+1∣<2⟺−2<x+1<2⟺−3<x<1 : Df=]−3;1[.
d.f(x) existe ⟺x2−4≥0 et 9−x2>0⟺∣x∣≥2 et ∣x∣<3 : Df=]−3;−2]∪[2;3[.
Exercice 2 — Lecture graphique Facile★☆☆☆☆
La courbe ci-dessous représente une fonction f.
Déterminer l’ensemble de définition Df.
Déterminer graphiquement les extremums de f sur Df et préciser où ils sont atteints.
Déterminer graphiquement f([−2;1]), f([−2;3]), f([1;5]) et f([3;5]).
Dresser le tableau de variations de f.
Voir la solution
1) La courbe est tracée pour x allant de −2 à 5 : Df=[−2;5].
2) Le point le plus haut est (1;4) et le plus bas (3;−2) : le maximum de f est 4, atteint en 1 ; le minimum est −2, atteint en 3.
Exercice 3 — Tableau de variations, parité Facile★★☆☆☆
Une fonction f définie sur [−2;3], strictement monotone sur chacun des intervalles [−2;0], [0;2] et [2;3], a pour tableau de variations :
Déterminer les extremums de f sur [−2;3].
Comparer f(1) et f(23).
Déterminer f([2;3]), f([0;2]) et f([−2;3]).
On note h la fonction paire définie sur [−3;3] qui coïncide avec f sur [0;3]. Dresser le tableau de variations de h.
Voir la solution
1) D’après le tableau, −1≤f(x)≤4 pour tout x∈[−2;3], avec f(0)=4 et f(−2)=f(2)=−1 : le maximum est 4 (en 0) et le minimum est −1 (en −2 et en 2).
2)1 et 23 appartiennent à [0;2], où f est strictement décroissante, et 1<23 : donc f(1)>f(23).
3)f est croissante sur [2;3] : f([2;3])=[f(2);f(3)]=[−1;2]. f est décroissante sur [0;2] : f([0;2])=[−1;4]. Enfin f([−2;3])=[−1;4] d’après la question 1.
4) Pour x∈[−3;0[, h(x)=f(−x). Une fonction paire a des sens de variation contraires sur deux intervalles symétriques : f est croissante sur [2;3], donc h est décroissante sur [−3;−2] ; f est décroissante sur [0;2], donc h est croissante sur [−2;0] ; enfin h=f sur [0;3]. Avec h(−3)=f(3)=2 et h(−2)=f(2)=−1 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2+1x2−2.
Vérifier que (∀x∈R)f(x)=1−x2+13.
Montrer que f est majorée par 1 sur R. Le réel 1 est-il le maximum de f ?
Montrer que f est minorée par −2 sur R, et que −2 est le minimum de f.
Montrer que, pour tous réels distincts x et y : x−yf(x)−f(y)=(x2+1)(y2+1)3(x+y).
En déduire les variations de f sur R+ puis sur R−, et dresser son tableau de variations.
Voir la solution
1)1−x2+13=x2+1x2+1−3=f(x) (et x2+1>0, donc Df=R).
2)x2+13>0, donc f(x)<1 pour tout x : f est majorée par 1. L’équation f(x)=1 équivaut à x2+13=0, impossible : 1 n’est pas atteint, ce n’est pas le maximum de f.
3)x2+1≥1, donc 0<x2+13≤3 et f(x)≥1−3=−2. De plus f(0)=−2 : −2 est le minimum de f sur R.
4)f(x)−f(y)=y2+13−x2+13=(x2+1)(y2+1)3(x2−y2)=(x2+1)(y2+1)3(x−y)(x+y) ; on divise par x−y=0.
5) Si x,y∈R+ sont distincts, x+y>0 et T>0 : f est strictement croissante sur R+. Si x,y∈R− sont distincts, x+y<0 et T<0 : f est strictement décroissante sur R− (ce qui est cohérent avec la parité de f).
Exercice 5 — Étude et composition Moyen★★★☆☆
Soient f(x)=x+3 et g(x)=x2−4x.
Déterminer Df et Dg.
Dresser les tableaux de variations de f et de g.
Montrer que g admet un minimum global que l’on précisera.
Déterminer les points d’intersection de (Cf) avec les axes du repère.
Déterminer les points d’intersection de (Cg) avec les axes du repère.
Soit φ(x)=x2−4∣x∣. Montrer que φ est paire et que φ(x)=g(x) pour x≥0 ; tracer (Cf), (Cg) et (Cφ) dans le même repère.
Résoudre graphiquement l’inéquation g(x)≥0.
Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation g(x)=m.
Soit h=g∘f. Déterminer Dh et h(x), puis étudier les variations de h sur [−3;1] et sur [1;+∞[.
Voir la solution
1)Df=[−3;+∞[ ; Dg=R.
2)f est strictement croissante sur [−3;+∞[ (fonction x↦x+a). g(x)=(x−2)2−4 est un trinôme avec a=1>0 : décroissant sur ]−∞;2], croissant sur [2;+∞[.
3)g(x)=(x−2)2−4≥−4 pour tout réel x, et g(2)=−4 : −4 est le minimum global de g.
4)f(x)=0⟺x+3=0⟺x=−3 : (Cf) coupe l’axe des abscisses en (−3;0). f(0)=3 : elle coupe l’axe des ordonnées en (0;3).
5)g(x)=0⟺x(x−4)=0⟺x∈{0;4} : points (0;0) et (4;0) ; g(0)=0 : (Cg) coupe l’axe des ordonnées en O.
6)Dφ=R est symétrique et φ(−x)=x2−4∣x∣=φ(x) : φ est paire. Pour x≥0, ∣x∣=x donc φ(x)=x2−4x=g(x). On trace (Cφ) en gardant (Cg) pour x≥0 et en la complétant par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
7)(Cg) est au-dessus de l’axe des abscisses (ou sur cet axe) pour x≤0 ou x≥4 : S=]−∞;0]∪[4;+∞[ (en accord avec le signe de x(x−4)).
8) Les solutions de g(x)=m sont les abscisses des points communs à (Cg) et à la droite y=m :
si m<−4 : aucune solution ;
si m=−4 : une solution (x=2) ;
si m>−4 : deux solutions (symétriques par rapport à 2).
9)x∈Dh⟺x∈Df et f(x)∈Dg=R : Dh=[−3;+∞[, et h(x)=(x+3)2−4x+3=x+3−4x+3.
Sur [−3;1] : f est croissante et f([−3;1])=[0;2]⊂]−∞;2], où g est décroissante ; donc h est décroissante sur [−3;1].
Sur [1;+∞[ : f est croissante et f([1;+∞[)=[2;+∞[, où g est croissante ; donc h est croissante sur [1;+∞[. (h(−3)=0, h(1)=−4.)
Exercice 6 — Second degré, fonction impaire Moyen★★★☆☆
Partie A. Soit f(x)=x2−2x−8.
Factoriser f(x) et résoudre l’équation f(x)=0.
Déterminer les points d’intersection de (Cf) avec les axes du repère.
Montrer que le taux de variation de f entre deux réels distincts x et y est x+y−2.
En déduire les variations de f sur ]−∞;1] et sur [1;+∞[.
Déterminer le minimum de f sur R.
Préciser la nature de (Cf) et ses éléments caractéristiques.
Partie B. Soit g(x)=∣x∣+23x.
Déterminer Dg.
Montrer que g est impaire.
Écrire g(x) sans valeur absolue pour x∈R+, puis vérifier que g(x)=3−x+26 sur R+.
Étudier les variations de g sur R+.
En déduire les variations de g sur R−, puis dresser son tableau de variations sur R.
Tracer (Cf) et (Cg) dans le même repère.
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=g(x).
4) Si x,y≤1 distincts : x+y<2, T<0 : f est strictement décroissante sur ]−∞;1]. Si x,y≥1 distincts : x+y>2, T>0 : f est strictement croissante sur [1;+∞[.
5)f(x)=(x−1)2−9≥−9 et f(1)=−9 : le minimum de f sur R est −9.
6)(Cf) est une parabole tournée vers le haut, de sommet Ω(1;−9) et d’axe de symétrie la droite d’équation x=1.
Partie B.
1)∣x∣+2≥2>0 : Dg=R.
2)R est symétrique et g(−x)=∣x∣+2−3x=−g(x) : g est impaire.
3) Pour x≥0 : g(x)=x+23x, et 3−x+26=x+23x+6−6=g(x).
4) Pour x=y dans R+ : g(x)−g(y)=y+26−x+26=(x+2)(y+2)6(x−y), donc T=(x+2)(y+2)6>0 : g est strictement croissante sur R+.
5)g étant impaire, elle a le même sens de variation sur R− : strictement croissante. Ainsi g est strictement croissante sur R (avec g(0)=0 ; pour x<0, g(x)<0).
6) Voir la figure.
7) Les courbes ont exactement deux points communs : l’un d’abscisse comprise entre −2 et −1, l’autre d’abscisse comprise entre 4 et 5. L’équation f(x)=g(x) admet donc deux solutions (valeurs approchées obtenues par calcul : x≈−1,76 et x≈4,32).
Exercice 7 — Périodicité Facile★☆☆☆☆
Montrer que la fonction f:x↦sin(4x−1) est périodique de période 2π.
Voir la solution
Df=R ; pour tout x∈R, x±2π∈R et
f(x+2π)=sin(4x+2π−1)=sin(4x−1)=f(x),
car sin est 2π-périodique. Donc f est périodique de période 2π.
Exercice 8 — Homographique et cube Moyen★★★☆☆
Soient f(x)=2x−17x+10 et g(x)=x3.
Déterminer Df et vérifier que f(x)=27+2(2x−1)27 ; préciser la nature et les éléments caractéristiques de (Cf).
Dresser le tableau de variations de f.
Dresser le tableau de variations de g.
Vérifier que les points A(−1;−1) et B(2;8) appartiennent à (Cf) et à (Cg).
Montrer que (∀x∈Df)f(x)−g(x)=2x−1−(x+1)(x−2)(2x2+x+5).
Résoudre dans Df l’inéquation f(x)≤−1.
Déterminer f(]−∞;21[) et f(]21;+∞[).
Tracer (Cf) et (Cg) dans le même repère.
Résoudre graphiquement, puis algébriquement, l’inéquation f(x)≥g(x).
Soit h(x)=(2x−17x+10)3. Écrire h comme la composée de deux fonctions et déterminer Dh.
Étudier les variations de h sur ]−∞;21[ et sur ]21;+∞[.
Voir la solution
1)Df=R∖{21}. 27+2(2x−1)27=2(2x−1)7(2x−1)+27=2(2x−1)14x+20=f(x). (Cf) est l’hyperbole de centre Ω(21;27), associée aux droites d’équations x=21 et y=27 (Ω est centre de symétrie de (Cf)).
2)Δ=ad−bc=7×(−1)−10×2=−27<0 : f est strictement décroissante sur ]−∞;21[ et sur ]21;+∞[.
3)g:x↦ax3 avec a=1>0 : g est strictement croissante sur R.
4)f(−1)=−33=−1=g(−1) et f(2)=324=8=g(2) : A et B sont sur les deux courbes.
5)f(x)−g(x)=2x−17x+10−x3(2x−1)=2x−1−2x4+x3+7x+10. Or (x+1)(x−2)=x2−x−2 et (x2−x−2)(2x2+x+5)=2x4−x3−7x−10. D’où l’égalité.
6) Pour x=21 : f(x)+1=2x−19x+9=2x−19(x+1). Tableau de signes (racines −1 et 21) : f(x)≤−1⟺x∈[−1;21[.
7) Pour y=27 et x=21 : f(x)=y⟺7x+10=y(2x−1)⟺x(2y−7)=y+10⟺x=2y−7y+10, et ce réel est bien différent de 21 ; la valeur 27 n’est jamais prise (question 1). De plus 2y−7y+10−21=2(2y−7)27 est négatif si et seulement si y<27. Donc
f(]−∞;21[)=]−∞;27[ et f(]21;+∞[)=]27;+∞[.
8) Voir la figure.
9)Graphiquement :(Cf) est au-dessus de (Cg) à gauche de A, et entre la droite d’équation x=21 et B : S=]−∞;−1]∪]21;2].
Algébriquement :2x2+x+5>0 (discriminant 1−40<0), donc f(x)−g(x) a le signe de 2x−1−(x+1)(x−2).
x
−∞
−1
21
2
+∞
−(x+1)(x−2)
−
0
+
+
0
−
2x−1
−
−
0
+
+
f(x)−g(x)
+
0
−
∥
+
0
−
Donc f(x)≥g(x)⟺x∈]−∞;−1]∪]21;2].
10)h(x)=(f(x))3=g(f(x)) : h=g∘f et Dh={x∈Df/f(x)∈R}=R∖{21}.
11) Sur ]−∞;21[ : f est décroissante et g est croissante sur R⊃f(]−∞;21[) : h est décroissante. De même sur ]21;+∞[, h est décroissante.
Déterminer Df et Dg, puis les variations de f et de g.
Vérifier que (Cf) et (Cg) se coupent au point A(−2;1).
Tracer (Cf) et (Cg) dans le même repère.
Résoudre dans [−3;+∞[ l’inéquation (x+3)x+3≤1.
Soit h=f∘g. Déterminer Dh et h(x).
Étudier les variations de h ; montrer que h est minorée par 0 et admet un maximum que l’on déterminera.
Voir la solution
1)Df=R∖{−3}, Dg=[−3;+∞[. f(x)=x+30⋅x+1 est homographique avec Δ=0×3−1×1=−1<0 : f est strictement décroissante sur ]−∞;−3[ et sur ]−3;+∞[. g est strictement croissante sur [−3;+∞[.
2)f(−2)=1 et g(−2)=1=1 : A(−2;1) appartient aux deux courbes.
3) Voir la figure.
4) Pour x≥−3, posons t=x+3≥0 : l’inéquation s’écrit t3≤1. La fonction cube est strictement croissante, donc t3≤1⟺t≤1⟺x+3≤1⟺x≤−2. Ainsi S=[−3;−2]. (Graphiquement, pour x>−3 l’inéquation équivaut à g(x)≤f(x) : (Cg) est au-dessous de (Cf) à gauche de A.)
5)x∈Dh⟺x≥−3 et x+3=−3, toujours vrai : Dh=[−3;+∞[ et h(x)=x+3+31.
6)g est croissante sur [−3;+∞[ et g([−3;+∞[)=[0;+∞[⊂]−3;+∞[, intervalle où f est décroissante : h est décroissante sur [−3;+∞[. Pour tout x∈Dh, h(x)>0 (minorée par 0) et, h étant décroissante, h(x)≤h(−3)=31 : le maximum de h est 31, atteint en −3.
Exercice 10 — Changement d’écriture Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=x−4x+2+6.
Déterminer Df.
Vérifier que (∀x∈Df)f(x)=(x+2−2)2.
Étudier les variations de f sur [−2;2] et sur [2;+∞[ ; en déduire le minimum de f.
Voir la solution
1)Df=[−2;+∞[.
2)(x+2−2)2=(x+2)−4x+2+4=x−4x+2+6=f(x).
3)f=v∘u avec u(x)=x+2 (croissante sur Df) et v(t)=(t−2)2 (décroissante sur ]−∞;2], croissante sur [2;+∞[).
Sur [−2;2] : u([−2;2])=[0;2]⊂]−∞;2] : sens contraires, f est décroissante.
Sur [2;+∞[ : u([2;+∞[)=[2;+∞[ : même sens, f est croissante.
Comme f(x)≥0 et f(2)=0, le minimum de f est 0, atteint en 2.
Exercice 11 — Problème de synthèse Difficile★★★★☆
Partie 1. Soit f(x)=x2+2x+4x2−2x+4.
Déterminer Df.
Montrer que (∀x∈Df)f(x)≤3 et que 3 est le maximum de f.
Montrer que (∀x∈Df)f(x)≥31 et que 31 est le minimum de f.
Vérifier que (∀x∈Df)f(x)=1−x2+2x+44x.
Montrer que, pour x=y : x−yf(x)−f(y)=(x2+2x+4)(y2+2y+4)4(xy−4).
En déduire les variations de f sur [−2;2] et sur [2;+∞[.
Dresser le tableau de variations de f sur [−2;+∞[.
Partie 2. Soient g(x)=x+2 et (D) la droite d’équation y=21x+1.
Calculer g(−2) et g(2).
Déterminer g([−2;−1]) et g([2;+∞[).
Tracer (Cg) et (D) dans le même repère.
Résoudre dans [−2;+∞[ l’équation g(x)=21x+1.
Étudier la position relative de (Cg) et (D) sur [−2;2].
Partie 3. Soit h(x)=x+6+2x+2x+6−2x+2.
Déterminer Dh et montrer que h=f∘g.
En déduire les variations de h sur [−2;2] et sur [2;+∞[.
Voir la solution
Partie 1.
1)x2+2x+4=(x+1)2+3>0 : Df=R.
2)3−f(x)=x2+2x+43(x2+2x+4)−(x2−2x+4)=x2+2x+42(x+2)2≥0 ; et f(−2)=412=3 : 3 est le maximum de f.
3)f(x)−31=3(x2+2x+4)3(x2−2x+4)−(x2+2x+4)=3(x2+2x+4)2(x−2)2≥0 ; et f(2)=124=31 : 31 est le minimum de f.
4)1−x2+2x+44x=x2+2x+4x2+2x+4−4x=f(x).
5) Notons A=x2+2x+4, B=y2+2y+4. Ax−By=ABx(y2+2y+4)−y(x2+2x+4)=ABxy(y−x)+4(x−y)=AB(x−y)(4−xy). Donc f(x)−f(y)=−4(Ax−By)=AB4(x−y)(xy−4), d’où le résultat.
6)AB>0. Si x=y sont dans [−2;2] : ∣xy∣≤4, et xy=4 imposerait x=y=2 ou x=y=−2 ; donc xy<4 et T<0 : f est strictement décroissante sur [−2;2]. Si x=y sont dans [2;+∞[, l’un d’eux est >2, donc xy>4 et T>0 : f est strictement croissante sur [2;+∞[.
7)
Partie 2.
1)g(−2)=0 ; g(2)=2.
2)g est croissante sur [−2;+∞[ : g([−2;−1])=[g(−2);g(−1)]=[0;1]. Pour y≥2, g(x)=y⟺x=y2−2, et y2−2≥2 ; réciproquement x≥2⇒g(x)≥2 : g([2;+∞[)=[2;+∞[.
3) Voir la figure.
4) Pour x≥−2, les deux membres sont positifs (21x+1=2x+2≥0), donc
x+2=2x+2⟺x+2=4(x+2)2⟺(x+2)(x+2−4)=0⟺x∈{−2;2}.
5) Pour x∈[−2;2] : g(x)−2x+2=x+2(1−2x+2)=2x+2(2−x+2)≥0, car 0≤x+2≤2. Donc (Cg) est au-dessus de (D) sur [−2;2] (points communs en −2 et 2).
Partie 3.
1)Df=R, donc Df∘g=Dg=[−2;+∞[. Pour x≥−2, avec t=x+2, t2=x+2 :
f(t)=t2+2t+4t2−2t+4=x+6+2x+2x+6−2x+2=h(x). Le dénominateur est >0 : Dh=[−2;+∞[ et h=f∘g.
2) Sur [−2;2] : g est croissante et g([−2;2])=[0;2]⊂[−2;2], où f est décroissante : h est décroissante. Sur [2;+∞[ : g([2;+∞[)=[2;+∞[, où f est croissante : h est croissante.
Exercice 12 — Bornes et composition Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=x+33x+1.
Déterminer Df et vérifier que f(x)=3−x+38.
Montrer que f est majorée par 3 et minorée par 31 sur Df.
Soit v(x)=x+33x+1. Écrire f à l’aide de v et étudier les variations de f.
Voir la solution
1)Df=R+ (x+3>0). 3−x+38=x+33x+9−8=f(x).
2)x+38>0 donc f(x)<3. Et x+3≥3 donne x+38≤38, donc f(x)≥3−38=31.
3)f(x)=v(x) : f=v∘r avec r(x)=x. r est croissante sur R+ et r(R+)=R+⊂]−3;+∞[ ; v est homographique avec Δ=3×3−1×1=8>0, donc croissante sur ]−3;+∞[. Même sens : f est croissante sur R+.
Exercice 13 — Expression conjuguée Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=x+5−x−3.
Déterminer Df.
Montrer que (∀x∈Df)f(x)=x+5+x−38.
En déduire que f(x)>0 pour tout x∈Df.
Le réel 0 est-il le minimum de f sur Df ? Justifier.
Montrer que f admet un maximum sur Df que l’on déterminera.
Montrer que, pour x=y : x−yf(x)−f(y)=(x2+4)(y2+4)4(4−xy).
Étudier les variations de f sur [0;2] et sur [2;+∞[, puis dresser son tableau de variations sur R.
Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a+b≥23. Montrer que a+b(a+b)2+4≥383.
Soit g la restriction de f à [2;+∞[. Montrer que g est une bijection de [2;+∞[ vers ]0;1] et déterminer g−1(y) pour y∈]0;1].
Voir la solution
1)x2+4>0 : Df=R, symétrique, et f(−x)=−f(x) : f est impaire.
2)1−f(x)=x2+4x2−4x+4=x2+4(x−2)2≥0.
3) Pour x=0 : f(x4)=x216+4x16=16+4x216x=x2+44x=f(x).
4)f(1)=f(4)=54 (question 3 avec x=1) et 1=4 : f n’est pas injective. Le réel 2 n’a pas d’antécédent puisque f(x)≤1 : f n’est pas surjective.
5)f(x)−f(y)=(x2+4)(y2+4)4x(y2+4)−4y(x2+4)=(x2+4)(y2+4)4(x−y)(4−xy) ; on divise par x−y.
6) Si x=y sont dans [0;2] : 0≤xy<4, donc T>0 : f est strictement croissante sur [0;2]. Si x=y sont dans [2;+∞[ : xy>4, T<0 : f est strictement décroissante sur [2;+∞[. Par imparité : croissante sur [−2;0], décroissante sur ]−∞;−2]. f(2)=1, f(−2)=−1 :
7) Posons t=a+b≥23>0. Alors tt2+4=f(t)4. Comme 2≤23≤t et f est décroissante sur [2;+∞[ : 0<f(t)≤f(23)=1683=23. Donc f(t)4≥38=383.
8) Pour x≥2 : g(x)>0 et g(x)≤1, donc g est à valeurs dans ]0;1]. Soit y∈]0;1] : g(x)=y⟺yx2−4x+4y=0. Le discriminant réduit est 4−4y2≥0 ; les racines sont x1=y2−21−y2 et x2=y2+21−y2, de produit x1x2=4. On a x2≥y2≥2, donc x1=x24≤2, avec égalité seulement si y=1, cas où x1=x2=2. Ainsi l’équation a une unique solution dans [2;+∞[ : g est bijective et
g−1:]0;1]→[2;+∞[,g−1(y)=y2+21−y2.
Exercice 15 — Fonctions bornées Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=x+24x−3. Déterminer Df et vérifier que f(x)=4−x+211.
Montrer que f est minorée par −23 et majorée par 4 sur Df.
Soit g(x)=x2+4xcosx. Montrer que (∀x∈R)x2+4x≤41, puis que g est bornée sur R.
Voir la solution
1)Df=R+ ; 4−x+211=x+24x+8−11=f(x).
2)x+211>0 donc f(x)<4. x+2≥2 donne x+211≤211, donc f(x)≥4−211=−23 (atteint en 0).
3)41−x2+4∣x∣=4(x2+4)x2−4∣x∣+4=4(x2+4)(∣x∣−2)2≥0. Donc ∣g(x)∣=x2+4∣x∣∣cosx∣≤41×1 : −41≤g(x)≤41, g est bornée sur R.
Exercice 16 — Extremums Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=x2+3x−1.
Déterminer Df.
Montrer que −21 est le minimum de f sur Df.
Montrer que 61 est le maximum de f sur Df.
En déduire que (∀x∈Df)∣f(x)∣≤21.
Interpréter graphiquement le résultat de la question 4.
Voir la solution
1)x2+3>0 : Df=R.
2)f(x)+21=2(x2+3)2x−2+x2+3=2(x2+3)(x+1)2≥0, et f(−1)=4−2=−21 : −21 est le minimum de f.
3)61−f(x)=6(x2+3)x2+3−6x+6=6(x2+3)(x−3)2≥0, et f(3)=122=61 : 61 est le maximum de f.
4)−21≤f(x)≤61≤21, donc ∣f(x)∣≤21.
5)(Cf) est entièrement située dans la bande comprise entre les droites d’équations y=−21 et y=21 ; elle touche la première au point (−1;−21).
Exercice 17 — Partie entière, domaine Facile★★☆☆☆
Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions :
f(x)=E(x)+21 ;
g(x)=x−E(x)1.
Voir la solution
1)f(x) existe ⟺E(x)=−2⟺x∈/[−2;−1[ : Df=]−∞;−2[∪[−1;+∞[.
2)g(x) existe ⟺x−E(x)>0. Comme x−E(x)≥0, avec égalité si et seulement si x est entier : Dg=R∖Z.
Exercice 18 — Équation avec partie entière Moyen★★★☆☆
Résoudre dans R l’équation E(4x+3)=3x+1.
Voir la solution
Si x est solution, k=3x+1 est un entier et x=3k−1. L’équation devient E(43k+2)=k, soit k≤43k+2<k+1⟺4k≤3k+2<4k+4⟺−2<k≤2. Donc k∈{−1;0;1;2} ; réciproquement, ces valeurs conviennent. S={−4;−1;2;5}. (Contrôle : x=5 : E(2)=2=36.)
Exercice 19 — Partie entière, encadrements Moyen★★★☆☆
Montrer que la fonction x↦x−E(x) est bornée sur R.
Soit g(x)=x+1x−E(x). Déterminer Dg.
Montrer que (∀x∈Dg)0≤g(x)<1.
Calculer, pour n∈N : E(n+12n+1) et E(2n+1n).
Voir la solution
1)E(x)≤x<E(x)+1 donne 0≤x−E(x)<1 : la fonction est bornée.
2)g(x) existe ⟺x+1>0 : Dg=]−1;+∞[.
3)g(x)≥0 car numérateur ≥0 et dénominateur >0.
Si x∈]−1;0[ : E(x)=−1 et g(x)=x+1x+1=x+1<1.
Si x≥0 : x+1≥1, donc g(x)≤x−E(x)<1.
Ainsi 0≤g(x)<1 sur Dg.
4)n+12n+1=2−n+11 et 0<n+11≤1, donc 1≤n+12n+1<2 : E(n+12n+1)=1. Et 0≤2n+1n<21<1 : E(2n+1n)=0.
Exercice 20 — Partie entière, périodicité Moyen★★★☆☆
Soit f(x)=x−E(x)+1E(x)−x+2.
Déterminer Df.
Montrer que f est périodique de période 1.
Écrire f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[.
Tracer (Cf) sur [−1;3[.
Voir la solution
1)x−E(x)+1≥1>0 : Df=R.
2) Pour tout x, x±1∈R et E(x+1)=E(x)+1, donc E(x+1)−(x+1)=E(x)−x et (x+1)−E(x+1)=x−E(x) : f(x+1)=f(x).
3) Pour x∈[0;1[, E(x)=0 : f(x)=x+12−x.
4) On trace l’arc d’hyperbole y=x+12−x sur [0;1[ (de (0;2) inclus à (1;21) exclu), puis on le translate de −1, 1 et 2 unités horizontalement.
Exercice 21 — Partie entière, tracé Facile★★☆☆☆
Soit f(x)=E(x)+1−x.
Montrer que f est périodique de période 1.
Écrire f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[.
Tracer (Cf) sur [−1;2].
Voir la solution
1)f(x+1)=E(x)+1+1−(x+1)=E(x)+1−x=f(x).
2) Pour x∈[0;1[ : f(x)=1−x.
3) Segments de pente −1 allant de (k;1) (inclus) à (k+1;0) (exclu) :
Exercice 22 — Fonction « dents de scie » Difficile★★★★☆
Soit f(x)=(−1)E(x)(2x−2E(x)−1)+1.
Montrer que f est périodique de période 2.
Écrire f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[, puis pour x∈[1;2[.
Tracer (Cf) sur [−3;5].
Voir la solution
1)E(x+2)=E(x)+2, donc (−1)E(x+2)=(−1)E(x) et 2(x+2)−2E(x+2)−1=2x−2E(x)−1 : f(x+2)=f(x).
2) Pour x∈[0;1[ : E(x)=0, f(x)=2x−1+1=2x. Pour x∈[1;2[ : E(x)=1, f(x)=−(2x−3)+1=4−2x.
3) Sur [0;2] on obtient un « triangle » joignant (0;0), (1;2) et (2;0) ; par périodicité, la courbe est une ligne brisée en dents de scie.
Exercice 23 — Fonction bornée : caractérisation Moyen★★★☆☆
Soit f une fonction définie sur une partie D de R. Montrer que f est bornée sur D si et seulement s’il existe un réel K≥0 tel que (∀x∈D)∣f(x)∣≤K.
Montrer que la fonction g:x↦x2−6x+1 est minorée mais n’est pas bornée sur R.
Voir la solution
1)(⇒) Si m≤f(x)≤M sur D, posons K=max(∣m∣;∣M∣)≥0 : −K≤m≤f(x)≤M≤K, donc ∣f(x)∣≤K.
(⇐) Si ∣f(x)∣≤K, alors −K≤f(x)≤K : f est minorée par −K et majorée par K.
2)g(x)=(x−3)2−8≥−8 : g est minorée. Supposons g majorée par un réel M. Pour x=3+∣M∣+9 : g(x)=∣M∣+9−8=∣M∣+1>M, contradiction. Donc g n’est pas majorée, donc pas bornée.
