Plan du chapitre. I. Coordonnées d’un point, coordonnées d’un vecteur — II. Colinéarité de deux vecteurs — III. Coplanarité de trois vecteurs (déterminant) — IV. Étude analytique d’une droite — V. Étude analytique d’un plan — VI. Positions relatives — Résumé.
Prérequis. Vecteurs de l’espace (Ch. 15), droites du plan, systèmes linéaires. Dans tout le chapitre, l’espace est muni d’un repère (O;i;j;k) (non nécessairement orthonormé).
I. Coordonnées d’un point — coordonnées d’un vecteur
1) Base et repère
Définition 1
Trois vecteurs non coplanaires (i;j;k) forment une base de l’ensemble V3 des vecteurs de l’espace ; avec un point O, ils forment un repère(O;i;j;k). Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet (x;y;z)∈R3 tel que u=xi+yj+zk : ce sont les coordonnées de u. Les coordonnées d’un point M sont celles de OM.
u+v(x+x′;y+y′;z+z′), αu(αx;αy;αz) ; u=v⟺x=x′, y=y′ et z=z′.
AB(xB−xA;yB−yA;zB−zA) ; le milieu I de [AB] a pour coordonnées (2xA+xB;2yA+yB;2zA+zB).
Exemple 1
Soient A(1;0;2) et B(3;−2;4). Déterminer les coordonnées de AB et du milieu I de [AB].
Voir la solution
A(1;0;2), B(3;−2;4) : AB(2;−2;2) et le milieu de [AB] est I(2;−1;3).
II. Colinéarité de deux vecteurs
Définition 2
Les déterminants extraits de u(x;y;z) et v(x′;y′;z′) sont xyx′y′, xzx′z′, yzy′z′, où abcd=ad−bc.
Propriété 2
u et v sont colinéaires ⟺ leurs trois déterminants extraits sont nuls. En conséquence, A, B, C sont alignés ⟺ les déterminants extraits de AB et AC sont tous nuls.
Exemple 2
Les vecteurs u(2;−1;3) et v(−4;2;−6) sont-ils colinéaires ?
Voir la solution
u(2;−1;3) et v(−4;2;−6) : les trois déterminants valent 2×2−(−1)(−4)=0, 2(−6)−3(−4)=0, (−1)(−6)−3×2=0 ; ils sont colinéaires (v=−2u).
III. Coplanarité de trois vecteurs
Définition 3
Le déterminant de u(x;y;z), v(x′;y′;z′), w(x′′;y′′;z′′) est
det(u;v;w)=xyzx′y′z′x′′y′′z′′=xy′z′y′′z′′−yx′z′x′′z′′+zx′y′x′′y′′.
Propriété 3
u, v, w sont coplanaires ⟺det(u;v;w)=0. Quatre points A,B,C,D sont coplanaires ⟺det(AB;AC;AD)=0. Trois vecteurs forment une base ⟺ leur déterminant est non nul.
Exemple 3
Montrer que les vecteurs i+j, j+k et i+k forment une base.
Voir la solution
Pour i+j, j+k, i+k : 110011101=1(1−0)−1(0−1)+0=2=0 : ces trois vecteurs forment une base.
IV. Étude analytique d’une droite
1) Représentation paramétrique
Propriété 4
La droite D(A;u), avec A(xA;yA;zA) et u(a;b;c)=0, a pour représentation paramétrique⎩⎨⎧x=xA+aty=yA+btz=zA+ct(t∈R).
2) Équations cartésiennes d’une droite
Propriété 5
En éliminant t : si abc=0, D:ax−xA=by−yA=cz−zA ; si c=0 et ab=0, D:ax−xA=by−yA et z=zA ; si a=b=0, D:x=xA et y=yA. Une droite est toujours définie par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans).
Exemple 4
Donner une représentation paramétrique, puis un système d’équations cartésiennes, de la droite passant par A(1;0;−2) et dirigée par u(2;−1;3).
Voir la solution
La droite passant par A(1;0;−2) dirigée par u(2;−1;3) : x=1+2t, y=−t, z=−2+3t(t∈R), soit 2x−1=−1y=3z+2.
V. Étude analytique d’un plan
1) Représentation paramétrique
Propriété 6
Le plan P(A;u;v), avec u(a;b;c) et v(a′;b′;c′) non colinéaires, a pour représentation paramétrique x=xA+aα+a′β, y=yA+bα+b′β, z=zA+cα+c′β((α;β)∈R2).
2) Équation cartésienne
Théorème 1
M(x;y;z)∈P(A;u;v)⟺det(AM;u;v)=0. En développant, tout plan a une équation de la forme αx+βy+γz+δ=0 avec (α;β;γ)=(0;0;0) ; réciproquement, une telle équation définit un plan. Le vecteur w(p;q;r) est un vecteur du plan (directeur) ⟺αp+βq+γr=0.
Exemple 5
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(1;0;0) et dirigé par u(1;1;0) et v(0;1;1).
Voir la solution
Plan passant par A(1;0;0) dirigé par u(1;1;0) et v(0;1;1) : x−1yz110011=(x−1)−y+z=0, soit x−y+z−1=0.
VI. Positions relatives
1) Deux droites
Propriété 7
Soient D(A;u) et D′(B;v). Si u,v colinéaires : D et D′ sont confondues si A∈D′, strictement parallèles sinon. Si u,v non colinéaires : elles sont sécantes si det(AB;u;v)=0, non coplanaires sinon.
2) Une droite et un plan
Propriété 8
Soient D(A;u) et P(B;v;w). Si det(u;v;w)=0, D et P sont sécants en un point ; si det(u;v;w)=0, D est parallèle à P : D⊂P si A∈P, D∩P=∅ sinon. Avec une équation αx+βy+γz+δ=0 de P : D∥P⟺αa+βb+γc=0.
3) Deux plans
Propriété 9
P:ax+by+cz+d=0 et P′:a′x+b′y+c′z+d′=0. Si (a;b;c) et (a′;b′;c′) sont proportionnels, P et P′ sont parallèles (confondus si (a;b;c;d) et (a′;b′;c′;d′) sont proportionnels, strictement parallèles sinon) ; sinon ils sont sécants suivant une droite.
Méthode
Pour l’intersection d’une droite (paramétrée) et d’un plan (équation cartésienne), on remplace x,y,z par leurs expressions en t : on obtient une équation du premier degré en t. Pour l’intersection de deux plans sécants, on exprime deux inconnues en fonction de la troisième, prise comme paramètre.
Résumé
À retenir
Colinéarité : déterminants extraits nuls. Coplanarité : det=0. Droite : 1 paramètre ou 2 équations. Plan : 2 paramètres ou 1 équation ax+by+cz+d=0. Positions relatives : par colinéarité des vecteurs directeurs et calcul de déterminants.
Série d’exercices
Remarque — méthodes utilisées
Colinéarité : trois déterminants extraits nuls ; il suffit d’un déterminant extrait non nul pour conclure à la non-colinéarité.
Coplanarité : det(u;v;w)=0, développé selon la première colonne.
Positions relatives : on compare d’abord les vecteurs directeurs, puis on résout un système ; un système sans solution est une contradiction qui prouve l’absence de point commun.
Tous les résultats ont été contrôlés par calcul exact (Python/sympy, build/verif_lot4.py).
Cadre. Dans toute la série, l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). Les paramètres t, k, α, β, α′, β′ décrivent R ; m désigne un réel. Toute réponse doit être justifiée. Difficulté : de ★ à ★★★★★.
Exercice 1 — Coordonnées Facile★☆☆☆☆
On considère les points A(3;−4;0), B(−5;2;4) et C(1;4;−1).
Placer les points A, B, C dans le repère.
Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].
Déterminer les coordonnées des vecteurs u=AB, v=OA+OB et w=AB−2AC−BC.
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Voir la solution
1. Construction : on place le point de coordonnées (x;y) dans le plan (O;i;j) puis on se déplace de zk.
2.I(23−5;2−4+2;20+4)=I(−1;−1;2).
3.u=AB(−8;6;4) ; v(3−5;−4+2;0+4)=(−2;−2;4) ; AC(−2;8;−1), BC(6;2;−5), donc w(−8+4−6;6−16−2;4+2+5)=(−10;−12;11).
4.ABCD parallélogramme ⟺AB=DC⟺D=A+BC, soit D(3+6;−4+2;0−5)=D(9;−2;−5).
Exercice 2 — Colinéarité — alignement Facile★★☆☆☆
Étudier la colinéarité de u et v dans chacun des cas :
a. u(6;−1;−3) et v(−2;31;1) ;
b. u(2;−1;21) et v(−1;21;2).
Étudier l’alignement des points A, B, C dans chacun des cas :
a. A(1;2;3), B(2;0;−1), C(23;1;1) ;
b. A(−1;1;1), B(0;−2;3), C(1;2;−1) ;
c. A(1;1;0), B(2;0;−1), C(3;−1;m) (discuter selon m).
1. b.−121212=−2−41=−49=0 : non colinéaires.
2. a.AB(1;−2;−4), AC(21;−1;−2) : AB=2AC, donc A, B, C alignés.
2. b.AB(1;−3;2), AC(2;1;−2) : 1−321=7=0 : non alignés.
2. c.AB(1;−1;−1), AC(2;−2;m). Le premier déterminant extrait vaut −2+2=0 ; les deux autres valent m+2 et −m−2. Donc A,B,C alignés ⟺m+2=0⟺m=−2.
Exercice 3 — Coplanarité Facile★★☆☆☆
Étudier la coplanarité de u, v, w dans chacun des cas :
a. u(2;1;0), v(1;0;−1), w(0;1;2) ;
b. u(1;0;1), v(2;4;1), w(2;1;−1).
Étudier la coplanarité des points A, B, C, D dans chacun des cas :
a. A(1;1;1), B(1;−3;4), C(2;5;1), D(−1;2;3) ;
b. A(2;−4;−1), B(−3;−1;1), C(0;−2;−1), D(1;−2;2) ;
c. A(m;1;−1), B(−3;−1;0), C(3;−3;1), D(0;1;2) (discuter selon m).
3.(D′) : on cherche un vecteur (p;q;r) vérifiant p−q=0 et 21p+14q−r=0 : v(1;1;35), et B(0;3;42)∈(D′). u(−1;0;2) et v non colinéaires. On remplace la paramétrisation de (D) dans les équations de (D′) : (1−t)−2+3=0⟺t=2, et 21(1−t)+28−(3+2t)=46−23t=0⟺t=2. Les deux équations sont compatibles : sécantes au point (−1;2;7).
4.(D) : x=t, y=t, z=3t−2 (vecteur (1;1;3)) ; (D′) : x=k, y=−1, z=k+1 (vecteur (1;0;1)), non colinéaires. Un point commun vérifierait t=k, t=−1, 3t−2=k+1, soit −5=0 : contradiction. Pas de point commun et non parallèles : non coplanaires (contrôle : det=−5=0).
5.(D) : A(−1;−1;−3), u(3;0;2) ; (D′) : B(1;−1;−2), v(2;1;3) non colinéaires ; det(AB;u;v)=−1=0 : non coplanaires.
Exercice 6 — Équation cartésienne et représentation paramétrique d’un plan Moyen★★★☆☆
Déterminer une équation cartésienne du plan (P) passant par A et dirigé par u et v :
a. A(−1;3;4), u(−1;0;1), v(3;−4;2) ;
b. A(0;2;1), u=i, v=k ;
c. A(0;−1;0), u=i+j, v=i−j−k.
Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique du plan (ABC) :
a. A(0;2;1), B(1;−1;1), C(−3;1;0) ;
b. A(0;0;1), B(−1;21;0), C(21;1;21).
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les droites (D):x=1+3t,y=2+2t,z=−3−2t(t∈R) et (D′):x=−2+3β,y=−1+2β,z=3−2β(β∈R), après avoir justifié qu’il existe.
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(2;2;1) et contenant la droite x=1+2t,y=2−3t,z=−3+2t(t∈R).
3. Les deux droites sont dirigées par u(3;2;−2) : elles sont parallèles, et B(−2;−1;3)∈/(D) (t=−1 par x donne y=0=−1). Deux droites strictement parallèles définissent un unique plan, dirigé par u et AB(−3;−3;6) avec A(1;2;−3) : (P):2x−4y−z+3=0.
4. La droite passe par B(1;2;−3), dirigée par u(2;−3;2) ; AB(−1;0;−4) non colinéaire à u (A hors de la droite). Plan P(A;u;AB) : 4x+2y−z−11=0.
Exercice 7 — Position relative d’une droite et d’un plan Moyen★★★☆☆
Étudier la position relative de (D) et (P) :
a. (D):x=1+3t,y=−1+t,z=2+t(t∈R) et (P):x=3+α+2β,y=−1+2α+β,z=2+3α+β((α;β)∈R2) ;
b. (D):x−y+1=0 et 2x−z+1=0 ; (P):3x+y−z+5=0 ;
c. (D):2x−1=1y+1=4z+2 et (P):x=3+α+β,y=−1+α−2β,z=1+α+3β((α;β)∈R2).
a. Déterminer une équation cartésienne du plan (P) passant par A(−1;0;3) et contenant la droite (D):3x+1=y−2=3z−1.
b. Étudier l’intersection de (P) et de (Δ):x=1−2t,y=3,z=4+t(t∈R).
Voir la solution
1. a.det((3;1;1);(1;2;3);(2;1;1))=3(2−3)−1(1−6)+1(1−4)=−1=0 : sécants. En résolvant 1+3t=3+α+2β, −1+t=−1+2α+β, 2+t=2+3α+β, on trouve α=0, β=2, t=2 : point (7;1;4).